§ 26. Эффективный поперечник рассеяния. Границы применимости приближения однократного рассеяния

Для скалярного монохроматического поля и удовлетворяющего уравнению Гельмгольца (24.1), в случае прозрачной среды, т. е. вещественной проницаемости выполняется соотношение

которое вытекает непосредственно из (24.1). Из (26.1) следует, что величину

удовлетворяющую в прозрачной среде закону сохранения

можно при подходящем выборе нормировочного множителя а интерпретировать как плотность потока энергии.

Найдем среднюю плотность потока энергии однократно рассеянного поля

Дифференцируй выражение (25.7), получаем

Единичный вектор направленный из точки рассеяния в точку наблюдения , можно при помощи разложения преобразовать к виду

где по-прежнему Принимая, что точка наблюдения достаточно далека от рассеивающей области , имеем . Кроме того, при заведомо выполнено неравенство . В результате выражение (26.5) сильно упрощается:

а формула (26.4) дает

Зная нетрудно найти эффективный поперечник (сечение) рассеяния а единичного объема в единичный телесный угол и направлении .

По определению

где средняя мощность, рассеиваемая в телесный угол в направлении рассеивающий объем, а модуль плотности потока энергии в первичной волне. Через обозначены полярный и азимутальный углы, отвечающие направлению

Мощность равна

    (26.9)

или, поскольку при выполнении условия (25.38) средняя интенсивность дается выражением (25.34),

    (26.10)

Плотность же потока энергии в первичной волне, будь то плоская, сферическая или направленная сферическая волна, согласно (26.2), равна (по модулю) так что (26.8) дает

    (26.11)

Рис. 28.

В соответствии со свойствами преобразования Фурье пространственный спектр (25.23) практически не зависит от q, если корреляционная функция отличается от нуля только в малой области В этом случае мелкомасштабных неоднородностей рассеяние изотропно:

    (26.12)

Напротив, в случае крупномасштабных неоднородностей спектральная плотность быстро уменьшается с ростом q, т. е. с ростом угла рассеяния 0, что отвечает преимущественному рассеянию вперед. Сектор углов в котором сосредоточено излучение, можно оценить из условия или Ниже мы проиллюстрируем эти особенности рассеяния несколькими примерами.

Величину (26.8) называют также дифференциальным сечением рассеяния — в отличие от полного поперечника рассеяния

    (26.13)

который представляет собой отношение средней полной рассеянной мощности к плотности потока энергии в

первичной волне в расчете на единицу объема:

Как так и имеют размерность обратной длины, сечение же рассеяния всего объема V, равное измеряется в единицах площади.

Согласно (26.8) и (26.9) для средней плотности потока рассеянной энергии и для средней интенсивности имеем

    (26.15)

В оптике обычно называют индикатрисой рассеяния, причем чаще всего имеется в виду величина — значение отнесенное либо к максимальному значению поперечника сттах, либо к полному сечению

    (26.16)

Полный поперечник рассеяния непосредственно связан с ослаблением первичной волны за счет рассеяния (так называемой зкстинкции). Представим себе малый цилиндр с осью вдоль волнового вектора первичной волны . Объем цилиндра равен , где — площадь поперечного сечения цилиндра, его длина. Мощность, приносимая первичной волной на передний торец цилиндра, равна , а на заднем торце она изменена до значения , где - мощность, рассеянная объемом равная, согласно (26.14),

Следовательно,

т. e. мощность первичной волны уменьшается по экспоненциальному закону . По такому же закону уменьшается и плотность потока энергии:

    (26.18)

Ослабление в с раз происходит на пути который называется длиной зкстинкции называют также коэффициентом зкстинкции). Произведение где — путь, пройденный волной в рассеивающей среде, называют оптической толщиной на пути

Теория однократного рассеяния строится в предположении, что амплитуда первичной волны на, а. стало быть, и плотность потока энергии практически постоянны в пределах рассеивающего объема. Согласно (26.18) это справедливо, если оптическая толщина, отвечающая размерам рассеивающего объема мала по сравнению с единицей:

    (26.19)

Условие (26.19) можно записать и в форме

    (26.20)

т. е. полное сечение рассеяния всего объема должно быть мало по сравнению с площадью порядка вырезаемой объемом V из фронта первичной волны.

Приведем несколько примеров вычисления поперечника рассеяния

1. Неоднородности с изотропной гауссовой корреляционной функцией:

    (26.21)

Пространственная спектральная плотность флуктуаций в рассматриваемом случае равна (см. (3.12))

    (26.22)

так что для эффективного поперечника рассеяния единичного объема по формуле (26.11) находим

    (26.23)

Полный поперечник рассеяния вычисляется интегрированием по единичной сфере и равен

    (26.24)

Условие (26.19) применимости приближения однократного рассеяния принимает в случае (26.21) вид (для простоты полагаем так что

    (26.25)

Это условие ограничивает величину произведения дисперсии

флуктуаций на . С ростом дисперсии или с увеличением L неравенство (26.25) рано или поздно нарушается. Функция

убывает, как . Следовательно, чем больше радиус корреляции тем жестче ограничена величина Поэтому рассеяние на крупных неоднородностях описывается борновским приближением лишь на сравнительно малых дистанциях. Увеличение же L требует учета многократного рассеяния. Соответствующие методы будут рассмотрены в гл. V—VII.

Рис. 29.

Рис. 30.

2. Обратное рассеяние на анизотропных (анизомерных) флуктуациях с гауссовой корреляционной функцией:

    (26.26)

Спектральная плотность таких флуктуаций дается выражением . Будем считать, что , т. е. что большая ось эллипсоидальных неоднородностей направлена по оси .

Пусть волновой вектор первичной волны - лежит в плоскости составляет угол с осью (рис. 29), так что При обратном рассеянии и, следовательно,

    (26.27)

Рассмотрим зависимость сечения обратного рассеяния от угла который иногда называют ракурсным углом. При называемое «ракурсное условие») волновой вектор первичной волны к, перпендикулярен к большой оси неоднородностей. Индикатриса рассеяния выражается формулой

    (26.28)

Она имеет максимум при (рис. 30) и минимум при параллелен большой оси неоднородностей).

Этот (так называемой ракурсной чувствительности) особенно отчетливо выражен при сильно вытянутых неоднородностях, когда . В этом случае индикатрису (26.28) можно аппроксимировать выражением

    (26.29)

т. е. узкой гауссовой кривой с шириной

    (26.30)

3. Рассеяние на турбулентных флуктуациях в атмосфере. В инерционном интервале полиопых чисел соответствующем колмогоровскому закону 2/3 (§ 4), спектральная плотность турбулентных флуктуаций описывается степенным законом

    (26.31)

Для такого спектра поперечник рассеяния единицы объема в единичный телесный угол равен (полагаем

    (26.32)

Полный поперечник рассеяния оказывается в этом случае бесконечным, так как интеграл

расходится при малых углах рассеяния в. Объясняется тем, что выражение для спектральной плотности (26.31), отвечающей инерционному интервалу непригодно при малых значениях . Расчет полного сечения рассеяния для другой модели спектра (4.20), принимающего при конечные значении, приведен в задаче 2.