§ 15. Равновесные тепловые флуктуации в непрерывных диссипативных системах

В ч. I, § 54 была приведена формулировка ФДТ для дискретных систем, состояние которых описывается совокупностью какого-то конечного числа обобщенных координат При помощи этой дискретной формы ФДТ можно получать результаты, относящиеся и к распределенным системам, — либо косвенным путем, как сделано в задаче 1, либо используя искусственную дискретизацию непрерывной системы, например разбиение пространства, занимаемого полем, на малые ячейки и замену дифференциальных операторов разностными. Именно с помощью последнего способа дискретная ФДТ применена к стохастическим уравнениям Максвелла в книге [3], гл. 13. Однако представляет больший интерес получить общую форму ФДТ для непрерывных систем, состояние которых описывается случайными полями — функциями Времени и точки пространства. Такое обобщение, удобное для приложений теоремы к полям равновесных тепловых флуктуаций любой физической природы — как электромагнитным, так и механическим (в аэро- и гидродинамике, теории упругости), температурным и энтропийным и т. можно осуществить следующим образом [4].

Пусть флуктуации в распределенной системе, занимающей объем V, описываются стационарным и однородным нолем . Для простоты мы берем случай одномерного поля. Обобщение на многомерное поле легко может быть получено, и соответствующий результат будет далее приведен. Пусть — объемная плотность поля обобщенной силы, сопряженной в лагранженом смысле с обобщенной координатой , причем спектральные амплитуды связаны между собой посредством линейных пространственных операторов А и

— взаимно обратные операторы, т. е. их произведение равно единичному оператору который оставляет функцию неизменной . В приложениях обычно задан оператор являющийся большей частью дифференциальным.

Если, например, мы имеем дело с волновым уравнением

частное решение которого равно, как известно,

то для спектральных амплитуд получаем

Таким образом,

Допустим теперь, что мы располагаем полной ортонормированной системой вещественных функций определенной для области V:

Разложим по функциям

или в спектральной форме:

где

и аналогично для . Заметим, что согласно (15.2) и (15.3) средняя мощность, диссипируемая в объеме V под действием силы , записывается в виде

Принимая за те дискретные переменные, которые описывают флуктуации в рассматриваемой системе, естественно распространить дискретную ФДТ на спектральные амплитуды . Единственное допущение, которое необходимо при этом сделать, заключается в том, что ФДТ остается в силе для бесконенного множества дискретных переменных Опираясь на это допущение, мы и иайдем теперь пространственные функции корреляции для спектральных амплитуд .

Как связаны между собой спектральные амплитуды Подставив (15.3 а, б) в первое уравнение (15.1), получаем

Умножим это равенство слева на и проинтегрируем по объему V. Учитывая (15.2), находим

    (15.6 а)

где величины

представляют собой, очевидно, не что иное, как коэффициенты разложения функции по базисным функциям , т. е.

    (15.8 а )

Точно такие же операции над вторым уравнением (15.1) приводят к обратной (15.6 а) системе уравнений:

    (15-66)

где

т. е. а — коэффициенты разложения по функции

Величины (15.7 а, б), являющиеся коэффициентами в уравнениях (15.6 а, б), связывающих , образуют, таким образом, элементы бесконечномерной матрицы обобщенной восприимчивости и обратной ей матрицы

Дискретная ФДТ дает следующие выражения для спектральных плотностей переменных и ланжевеновских сил (ч. I, (54.18) и (54.22); отметим, что перед правыми частями теперь стоит знак минус, посиольку мы пользовались ранее спектральным разложением с , а в данной книге перешли к разложению по ):

    (15.9а)

где средняя энергия квантового осциллятора:

    (15.10)

формулами (15.9 а, б) мы теперь и воспользуемся.

Согласно (15.4 а) и (15.9 а)

При помощи (15.8 а) можно записать это выражение в виде

причем оператор действует на фуикцни точки , а функции точки . Поэтому оба они могут быть выиесеиы за знак суммы, которая оказывается тогда разложением дельта-функции от по базисным функциям:

В результате

    (15.11а)

Совершенно аналогичным путем при помощи (15.46), (15.96) В (15.86) получается пространственная функция корреляции для электральной амплитуды силы :

    (15.116)

Поскольку дельта-функция зависит лишь от разности оба оператора можно выразить через компоненты . Равным образом можно и дифференциальные операторы (первый содержит , а второй v) записать через оператор .

Формулы (15.11а, 6), в которых уже никак не проявляются форма и размеры области V, и представляют ФДТ для одномерного однородного поля и соответствующего ему поля ланжевеновской силы .

Обобщение полученного результата на многомерное поле, т. е. на случай системы однородных и однородно связанных между собой полей почти очевидно. Вместо уравнений (15.1)

теперь будут системы линейных уравнений

    (15.12)

где — элементы прямой и обратной операторных матриц, а вместо выражения (15.5) для мощности, развиваемой силами , будет сумма

    (15.13)

Наконец, окончательные формулы (15.11 а, б) заменяются на корреляционные матрицы спектральных амплитуд

    (15.146)

где по-прежнему

Итак, в распределенных системах, как и в дискретных, ФДТ выражает корреляционные фуикции (матрицы) -амплитуд совершенно регулярным образом. Эти функции однозначно определены видом операторов , т. е. самими линеаризованными макроскопическими уравнениями рассматриваемой системы. Если это уравнения Максвелла, то формулы (15.14) позволяют найти пространственную корреляцию напряженностей флуктуацнонного поля и тех сторонних полей (индукций или токов), которые «создают» флуктуационное электромагнитное поле. Если же мы имеем дело, например, с уравнениями теории упругости, то при помощи тех же формул (15.14) определяется корреляция тепловых флуктуаций деформаций и температуры, равно как и соответствующих сторонних напряжений и источников тепла и т. д. Более точно: корреляционные матрицы флуктуационных и сторонних тепловых полей определяются антиэрмитовыми частями соответствующих линейных операторов, или иначе говоря, обусловлены диссипативными свойствами системы. В отсутствие поглощения энергии, т. е. в отсутствие диссипации,

операторы или операторные матрицы будут эрмитовыми и разности, стоящие в правых частях любой из формул, выражающих ФДТ, обращаются в нуль. Это означает, что в среде (или участке среды), не обладающей потерями, сторонних источников флуктуаций нет и, следовательно, нет и вклада от такого участка среды по флуктуационное поле. В формулах (15.11а) и (15.14а) учтен только этот вклад, и он в данном случае тоже обращается в нуль. Но флуктуационное поле может создаваться источниками, локализованными вне данного непоглощающего объема среды, т. е. может приходить в этот объем извне. Поэтому корреляционные функции флуктуационного поля, вообще говоря, отличны от нуля и в тех областях пространства, где среда не обладает поглощением.