§ 49. Среднее поле точечного источника в неограниченной случайно-неоднородной среде

Рассмотрим уравнение Дайсона (48.15а):

Если применить к нему оператор то, в силу равенства

мы получим уравнение

Из сравнения (49.3) с (49.2) видно, что, в отличие от , функция G удовлетворяет не дифференциальному, а интегро-дифференциальному уравнению. Уравнение вида (49.3) получается, например, из уравнений Максвелла в том случае, когда связь между электрической индукцией D и напряженностью поля Е и изотропной среде имеет пространственно нелокальный характер:

где Р — поляризация, а — поляризуемость среды. Действительно, из уравнений Максвелла мы получаем тогда для напряженности Е уравнение

Сравнивая это уравнение с (49.3), мы виднм, что величину

можно трактовать как поляризуемость среды с пространственной дисперсией. Найденный результат легко понять и с физической точки зрения, поскольку он выражает тот факт, что среднее поле в некоторой точке зависит и от окружающих эту точку неоднородностей.

Рассмотрим статистически однородную среду, т. е. предположим, что . Если обратиться к разложению (48.12а) для , то легко убедиться, что в этом случае ядро Q тоже зависит только от

Наконец, поскольку функция Грина тоже зависит лишь от разности своих аргументов, и средняя функция Грина в неоднородной среде имеет вид При этих условиях уравнение (49.1) можно разрешить относительно G, воспользовавшись преобразованиями Фурье

Для имеем выражение

В знаменатель этой дроби введена бесконечно малая мнимая добавка обеспечивающая при вычислении интегралов (49.4) присутствие только расходящихся волн. Величину можно, конечно, рассматривать как бесконечно малое поглощение .

В рассматриваемом случае уравнение (49.1) имеет вид

т. е. двукратный интеграл представляет собой теперь двойную свертку. Поэтому при преобразовании Фурье он дает произведение трансформант Фурье и уравнение (49.6) приводит к чисто алгебраическому уравнению

Разрешая это уравнение относительно g, получаем с учетом (49.5)

Подставив (49.8) в (49.4) и выразив при помощи обратного преобразования Фурье через мы получаем формулу

которая в явном виде выражает G через

Хотя формула (49.9) является точной, выражение для Q известно лишь в виде ряда, просуммировать который в общем случае не удается. Поэтому формула (49.9) полезна лишь в том

отношении, что она позволяет по тому или иному приближенному выражению для Q получить соответствующее приближение для G.

Одно из простейших приближений, которое в дальнейшем будет рассмотрено подробнее, — так называемое приближение Бурре — заключается в том, что для Q берется первый член ряда (48.12а), т. е. полагается

    (49.10)

Соответствующее приближение С, для С мы будем изображать графически как

Если в (4.8.14) подставить вместо Q диаграмму (49.10), то получится следующее диаграммное представление

    (49.11)

Следовательно, подстановка (49.10) в (49.9) и последующее вычисление интеграла позволяет найти , т. е. просуммировать ряд (49.11).

Если случайно-неоднородная среда не только статистически однородна, но и статистически изотропна, то, очевидно, . В этом случае формула (49.9) может быть еще более упрощена посредством перехода к сферическим координатам (как по , так и по ) и выполнения интегрирования по всем угловым переменным. В результате (49.9) преобразуется к виду

Уравнение Дайсона (49.1) можно преобразовать к виду, в котором вместо функции Грина невозмущенной среды будет фигурировать уже частично просуммированная бесконечная подпоследовательность ряда для G [3, 4]. Такое преобразование Позволяет улучшить сходимость ряда для G. Для его осуществления запишем сначала уравнение Дайсона в операторном виде.

Введем для этого линейные интегральные операторы М, и Q с ядрами

Запись означает, что функция f преобразуется оператором в функцию значение которой берется в точке .

Если умножить (49.1) на и проинтегрировать по то полученное равенство можно записать в следующей операторной форме:

Так как это равенство справедлива при любой функции f, его можно записать и как уравнение для оператора М:

    (49.1а)

В предыдущем параграфе было показано, что функция (еще не усредненная) симметрична: . После усреднения это равенство, естественно, сохраняется:

В операторном виде последнее равенство означает, что транспонированный оператор совпадает с М:

    (49.13)

Из симметрии функции вытекает такое же равенство и для оператора

    (49.14)

На диаграммном языке равенство (49.13) означает, что каждая диаграмма, входящая в ряд для 5, либо симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через центр диаграммы, либо, если она несимметрична, входит в G в сумме с другой диаграммой, которая получается из исходной несимметричной диаграммы путем отражения относительно вертикальной оси. Например, в (48.7а) входят симметричные диаграммы 1-6, 10, 13 и 17—20 и пары несимметричных диаграмм (7, Р), (8, 12), (11, ]5), (14, 16).

Из симметрии следует, что и , так как диаграммы для Q имеют тот же тип симметрии, что и

диаграммы для G. Следовательно,

    (49.15)

Известно, что при транспонировании произведения операторов порядок их следования меняется на обратный: . Применим операцию транспонирования к уравнению (49.1а). С учетом получаем уравнение

    (49.16)

Предположим, что нам известно какое-либо приближенное решение уравнения (49.16), соответствующее некоторому приближенному выражению т. е. известно решение уравнения

    (49.16)

Мы всегда можем получить такое решение, если подставим в (49.9) некоторое приближенное выражение Q, вместо неизвестного точного выражения Q (например, используем в качестве Q, приближение Бурре). Умножим операторное уравнение (49.1а) слева на оператор

Учитывая в правой части последнего равенства формулу (49.16), получаем отсюда

Наконец, перенося член в правую часть этого равенства, запишем его в форме

    (49.17)

Уравнение (49.17) аналогично уравнению Дайсона (49.1а), но вместо фигурирует оператор а вместо -разность Ясно, что если норма оператора меньше нормы исходного оператора Q, то итерационный ряд уравнения (49.17) будет сходиться быстрее, чем исходный.

Применив операторное равенство (49.17) к дельта-функции, получим соответствующее уравнение для ядер операторов

    (49.17а)

В случае статистически однородной среды уравнение (49.17а) можно решить при помощи преобразования Фурье. В спектральной

форме, т. е. для трансформант Фурье, решение имеет вид, аналогичный (49.8):

Описанную процедуру улучшения сходимости ряда для G можно повторять. Например, мы можем задать приближенное выражение для и, используя формулу (49.18), найти соответствующее выражение для

Обратимся теперь к более подробному рассмотрению приближения Бурре для статистически изотропных флуктуаций 0.

Из формулы (49.12), в которой вместо использовано приближение (49.10), получаем

Для лучшего уяснения этого результата рассмотрим сначала частный пример, когда , где — радиус корреляции флуктуаций . При таком виде интеграл, входящий в знаменатель подынтегрального выражения в (49.19), легко берется. Чтобы вычислить затем интеграл по к, будем считать к комплексным. Тогда контур интегрирования можно замкнуть бесконечной полуокружностью в верхней полуплоскости и значение интеграла сведется к сумме вычетов в полюсах, лежащих в области

В рассматриваемом примере корни знаменателя легко вычисляются; они равны

    (49.20)

Для упрощения дальнейших вычислений рассмотрим достаточно малые флуктуации, когда что выполняется при условии

В этом случае

и

    (49.22)

Потребуем, чтобы, наряду с (49.21), выполнялись условия

позволяющие приближенно извлечь квадратный корень из (49.22) и записать лежащий в верхней полуплоскости корень в виде

    (49.24)

Заметим, что три ограничения (49.21) и (49.23) можио объединить в одно:

Воспользовавшись очевидным неравенством

мы несколько усилим последнее ограничение, заменив его на требование

при котором все три неравенства (49.21) и (49.23) будут выполнены. Последнее же ограничение сводится, очевидно, к тому, что

    (49.25)

Что касается второго корня , то при он равен

    (49.26)

Если теперь взять вычеты подынтегрального выражения в интеграле по х (49.19) в полюсах то для получится выражение

Проанализируем это выражение.

Функция G, описывает две расходящиеся волиы, причем амплитуда второй волны много меньше, чем первой. Сравним коэффициенты ослабления обеих волн, т. е.

В силу условия (49.21) это отношение мало, т. е.

Таким образом, вторая волна в (49.27) не только мала по амплитуде, но и затухает значительно быстрее основной волны (затухание второй волны происходит на длине порядка размера неоднородностей ). Поэтому с достаточной точностью можно считать, что

    (49.28)

Это выражение отличается от лишь заменой вещественного к на комплексное (причем ), т. е. среднее поле экспоненциально затухает. Кроме того, и вещественная часть отличается от к:

Оба эти результата легко объяснить: наличие неоднородностей приводит к перекачке энергии волны из детерминированной компоненты поля в случайную, т. е. к ослаблению среднего поля. Кроме того, неоднородности увеличивают фазовый путь лучей, что эквивалентно увеличению вещественной части волнового числа.

Отметим, что в силу условия (49.25) относительные изменения волнового числа малы:

Эго позволяет провести исследование приближения Бурре, описываемого формулой (49.19), в общем виде, без конкретизации корреляционной функции

Полюсы подынтегрального выражения в (49.19) являются корнями уравнения

При этом основной интерес представляет тот, лежащий в верхней полуплоскости к, корень уравнения (49.30), который имеет наименьшую мнимую часть, поскольку остальные корни дают малые и быстро затухающие вклады в Но в силу условия (49.29) роль интегрального члена в (49.30) мала, и если им пренебречь, то мы получим , а интересующий нас корень будет близок к этому значению. Следовательно, уравнение (49.30) можно решать последовательными итерациями: в нулевом приближении а уравнение первого приближения получится, если в интегральный член (49.30) подставить

    (49.31)

Решая это уравнение и считая интегральный член малым, получаем для эффективного волнового числа выражение

    (49.32)

Удобно выразить через спектральное разложение функции которое для статистически изотропных флуктуаций определяется формулой (3.11):

    (49.33)

Подставим (49.33) в (49.32) и изменим порядок интегрирования по . С учетом формул

получаем после выполнения интегрирования по

    (49.34)

В рассматриваемом приближении усредненная функция Грина, согласно (49.19), равна

Таким образом, мы пришли к тому, что при средняя функция Грина имеет тот же вид, что и в однородной среде,

но с заменой исходного волнового числа k на Величину можно трактовать как эффективный показатель преломления случайно-неоднородной среды. Согласно (49.34)

Из этих формул видно, что при любом ввде спектральной плотности так как , а всегда положительно. Объяснение этому уже было дано выше при обсуждении результатов расчета с корреляционной функцией

Согласна (49.34) коэффициент ослабления среднего поля по мощности равен

    (49.37)

Легко убедиться в том, что эта величина совпадает с коэффициентом рассеяния вычисленным в борновском приближении для статистически изотропных флуктуаций в (см.

Принимая здесь за новую переменную интегрирования, мы получаем правую часть (49.37), т. е. .

Если обратиться к случаю крупномасштабных неоднородностей, т. е. считать, что верхний предел интегрирования в (49.37) можно заменить на бесконечность и эта формула перейдет в полученную ранее в марковском приближении формулу (45.6). В выражении (49.36) для можно при считать, что

и, следовательно,

По порядку величины в этом случае имеем

т. е. изменение (по сравнению с волновым числом для однородной среды) действительной части волнового числа мало по сравнению с изменением его мнимой части.

Остановимся теперь на вопросе о границах применимости приближение Бурре. В качестве первого приближения мы рассмотрели ядро массового оператора Q в приближении (49.10). Возьмем теперь следующее приближение для Q, в которое включим следующую бесконечную подпоследовательность диаграмм из точного ряда для

    (49.38)

Таким образом, функция отличается от тем, что содержит вместо О, среднюю функцию Грина найденную в приближении Бурре:

И в этом случае полюсы функции Грина будут определяться уравнением, аналогичным (49.30), но под знаком интеграла вместо будет фигурировать

    (49.39)

Мы уже знаем, что в первом приближении корень этого уравнения равен . Поэтому в правую часть (49.39) вместо можно подставить найденное выше

    (49.40)

Нам следует теперь сравнить это выражение с

    (49.41)

Положим где согласно Тогда Подставим это значение в (49.40) и

после этого вычтем (49.41) из (49.40). Заменяя сннус по формуле Эйлера на разность экспонент, получаем

Чтобы оценить эту разность, снова воспользуемся модельной корреляционной функцией Интегралы при этом легко берутся и выражение приводится к виду

Так как мы оцениваем разность с точностью до величин первого порядка по , можно положить в квадратных скобках и тогда

или, поскольку

    (49.42)

Для того чтобы найденный в приближении Бурре сдвиг имел смысл, необходимо потребовать малости по модулю по сравнению с поправки следующего приближения , т. е.

    (49.43)

Но это условие совпадает со вторым условием (49.23) и заведомо выполняется, если удовлетворено условие (49.25), при котором были выведены основные формулы в приближении Бурре. Таким образом, можно считать, что полученные выше в приближении Бурре формулы для G справедливы при выполнении условия

где - радиус корреляции случайного поля е.

Следует отметить, что оценка (49.43) получена из сравнения приближения Бурре не с точным решением, которое неизвестно, а со следующим приближением (правда, включающим, как это видно из (49.38), бесконечное число диаграмм для Q). Поэтому это условие нельзя считать достаточным, но оно является необходимым.

Помимо приближения Бурре известен еще целый ряд других приближенных решений, а также ряд более сложных уравнений (в том числе и нелинейных) для средней функции Грина. Более подробно с ними можно ознакомиться по работам а дальнейшие литературные ссылки можно найти в обзоре [7]. С работами, посвященными применению теории многократного рассеяния к различным задачам распространения электромагнитного излучения в случайно-неоднородных средах, можно ознакомиться по обзору [8].