§ 12. Возбуждение полей случайными источниками

Флуктуации поля, возбуждаемого случайными источниками, представляют интерес для многих разделов физики. Здесь мы остановимся на излучении радиоантенн со случайными вариациями токов в раскрыве и рассмотрим особенности излучения большого числа независимых источников.

1. Статистика поля, излученного большой антенной. Причиной флуктуаций поля, излученного антенной, могут быть случайные отклонения амплитуд и фаз токов в апертуре заданных значений, обусловленные различными факторами. Главными из них являются неровности антенного зеркала, разброс параметров излучающих вибраторов, случайные отклонения в системах возбуждения и т. Д. Определенную роль играют также деформации антенн при изменении температуры или из-за ветровых нагрузок. Рассмотрим одну из моделей антенны с флуктуациями токов.

Если размеры плоской антенны велики по сравнению с длиной волны, а токи в раскрыве монохроматические и имеют только одну компоненту, скажем то в направлениях, не сильно отклоняющихся от нормали к плоскости раскрыва можно считать, что электрическое поле имеет только компоненту удовлетворяющую уравнению

Таким образом, с учетом иных обозначений задача сводится к уже рассмотренной скалярной задаче (9.7), имеющей решение (9.8).

В случае антенн с плоским раскрывом токи сосредоточены в плоскости , т. е. объемный интеграл (9.8) превращается в поверхностный. Сохраняя для плотности поверхностных токов

обозначение q, получаем

где для краткости опущен аргумент а интегрирование распространяется на площадь раскрыва

Обычно представляет интерес поле в дальней (фраунгоферо-вой) зоне где а — поперечник раскрыва. Можно поэтому воспользоваться приближением фраунгоферовой дифракции, т. е. формулой (9.10), которая в данном случае (поверхностные источники, излучение сосредоточено в узком конусе около оси ) принимает вид

Здесь — координаты точки наблюдения на удаленной плоскости . Ограничимся нахождением среднего значении к пространственной функции корреляции поля, излученного большой антенной, имея в виду лишь основные эффекты, к которым приводят флуктуации токов в антеннах. Систематическому изложению вопросов статистической теории антенн посвящена книга [38].

Как и в § 11, удобно ввести функцию , которая равна единице на раскрыве S и обращается в нуль вне S (см. (11.2)):

что позволяет раздвинуть пределы интегрирования в (12.2) до бесконечности:

Среднее но ансамблю реализаций токов значение ноля дается интегралом

который можно представить в виде

где максимальное значение среднего тока в раскрыве, а нормированная к единице диаграмма направленности антенны:

причем направление на точку наблюдения в плоскости задается вектором . Наконец,

— нормировочный множитель, значение которого близко к площади раскрыва при .

Функция корреляции поля в плоскости (поперечная функция корреляции) выражается двукратным интегралом

где — функция корреляции тока. Вообще говоря, флуктуации тока в раскрыве статистически неоднородны, что связано с краевыми эффектами; вследствие взаимного влияния элементов излучающей системы статистика токов на краях раскрыва может отличаться от статистики в середине антенны. Однако в случае больших антенн, размеры которых а велики по сравнению с радиусом корреляции токов краевым эффектом можно пренебречь и считать, что на всем раскрыве

Принимая модель мелкомасштабных флуктуаций тока в раскрыве, мы можем воспользоваться изложенными в § 11 приемами вычисления интегралов типа (11.5). Если обозначить то (12.6) примет вид

где — — дисперсия, а коэффициент корреляции флуктуаций тока.

Первый интеграл в (12.7) равен площадь раскрыва, дается выражением (11.14). Эта величина несколько отличается от диаграммы антенны (12.5), но при Второй интеграл (по ) тоже можно записать в виде произведения двух множителей:

    (12.8)

где

—аффективная площадь когерентности токов, а — нормированная к единице диаграмма направленности флуктуационных токов.

С введением этих обозначений корреляционная функция принимает вид

Эту формулу можно рассматривать как обобщение теоремы Ван-Циттерта—Цернике на случай конечного радиуса корреляции источников. При дельта-коррелированных флуктуациях и тогда (12.9) отличается от (11.16) только обозначениями. Отсюда следует, что пространственное распределение дисперсии воля определяется сравнительно широкой (с угловым раствором диаграммой

тогда как пространственный коэффициент корреляции поля зависит от диаграммы

Последняя имеет угловую ширину меньшую, чем ширина флуктуационной диаграммы поскольку Поперечный радиус корреляции оказывается таким же, как в (11.12), т. е.

Пространственное распределение средней интенсивности можно получить при помощи (12.4) и (12.10):

Здесь первое слагаемое описывает вклад среднего поля, а второе — вклад флуктуационного поля. На рис. 8 показана зависимость от для различных соотношений между этими слагаемыми в предположении, что полная мощность, подводимая к антенне, постоянна, т. е.

    (12.12)

В отсутствие флуктуаций, когда имеем невозмущенную интенсивность

пропорциональную квадрату модуля диаграммы направленности Ширина этой диаграммы, скажем расстояние между нулями, составляет (кривая 1 на рис. 8).

Рис. 8.

При малых возмущениях появляется флуктуационная компонента, пропорциональная угловому спектру флуктуаций и имеющая ширину . Эта составляющая приводит к «замыванию» нулей (или минимумов) регулярной диаграммы (кривая 2 на рис. 8) и к росту бокового излучения, т. е. излучения вне центрального максимума. Вместе с тем несколько уменьшается вклад регулярной составляющей поля, так как при неизменной мощности, подводимой к антенне, величина уменьшается по сравнению с .

Распределение интенсивности в плоскости в случае примерного равенства регулярной и флуктуационной компонент в центре диаграммы изображает кривая 3 на рис. 8. Согласно

(12.11) равенство достигается при при этом квадрат среднего значения тока мал по сравнению с . При столь больших возмущениях говорят о разрушении диаграммы направленности антенны.

С дальнейшим ростом флуктуаций регулярное слагаемое в (12.11) становится пренебрежимо малым и распределение средней интенсивности уже совсем не похоже на невозмущенное распределение (12.13):

Ширина диаграммы излучения здесь порядка а максимум интенсивности в раз меньше, чем в отсутствие флуктуаций.

Уменьшение интенсивности в направлении максимума излучения удобно характеризовать величиной коэффициента направленного действия (к. н. д.), который показывает, во сколько раз интенсивность поля в центре главного лепестка диаграммы больше, чем у ненаправленной антенны, излучающей ту же мощность. Вычислим средний к. н. д. антенны при сделанных Выше допущениях. Очевидно, если - к. н. д. невозмущенной антенны, то

Так как

для величины с учетом (12.12) получаем

При малых возмущениях токов в раскрыве средний к. н. д. антенны мало отличается от (напомним, что ). Уменьшение среднего к. н. д. вдвое наступает уже при заметных флуктуациях, когда При сильных же флуктуациях, когда а регулярная составляющая тока стремится к нулю, получаем

Таким образом, при сильных флуктуациях к.н.д. антенны тем меньше, чем больше неоднородностей содержит раскрыв: Учитывая, что соотношение (12.15) можно записать иначе:

Отсюда видно, что если радиус корреляции сравним с длиной волны , то . Иными словами, при сильных и мелких флуктуациях излучение антенны полностью теряет направленность.

В статистической теории антенн возможны и многие другие задачи. Например, может представлять интерес направление центрального лепестка диаграммы направленности, уровень бокового излучения, статистика амплитуды и фазы и т. д. Эти вопросы достаточно полно освещены в монографии [38]. Отметим, что при исследовании статистики излучения антенны основная трудность заключается, по-видимому, не в вычислении тех или иных интегралов, входящих в выражения для моментов поля, а в физически обоснованном задании статистики флуктуирующих по раскрыву антенны токов. Ясно, что предсказать эту статистику только из теоретических соображений невозможно. В то же время прямые измерения статистических характеристик сопряжены со значительными трудностями, в частности, из-за того, что при внесении в антенну измерительных зондов распределение токов в ней меняется. Косвенное же нахождение флуктуаций путем измерения полей, излученных антенной, тоже не дает исчерпывающего решения проблемы: такие измерения подвержены влиянию дополнительных посторонних факторов (расположенные рядом предметы и постройки, неровности местности и т. д.), не говоря уже о том, что измерения поля сложны сами по себе как в ближней, так и в дальней зонах.

2. Статистика поля, излученного системой независимых источников. Для простоты будем считать волновое поле скалярным, а источники — точечными. Если точечный источник движется по траектории , а его интенсивность меняется по закону (вообще говоря, случайному) (t), то для системы N точечных источников правая часть волнового уравнения (9.4) запишется в виде

В результате поле излучения (9.5) будет выражаться суммой

    (12.16)

в которой расстояние от точки наблюдения да источника.

Не интересуясь средним значением поля, которое в подавляющем большинстве задач равно нулю, вычислим пространственно-временную функцию когерентности, сначала — для системы неподвижных источников . В силу (12.16)

где угловые скобки означают усреднение по ансамблю положений источников, а черта сверху — усреднение по ансамблю реализаций случайных процессов

Рис. 9.

Выражение (12.17) принимает особенно простой вид для системы независимых и одинаковых источников. Для такой системы при

внесли одинаковую для всех процессов корреляционную функцию обозначить через (предполагается стационарность этих процессов), то двойная сумма (12.17) превратится в сумму N одинаковых слагаемых:

где разности хода от источника, находящегося в точке R до точек наблюдения (рис. 9).

Усреднение по положениям источников можно представить в виде интеграла по объему с весовой функцией которая представляет собой плотность вероятностей для радиуса-вектоpa R:

или, если ввести среднюю концентрацию источников

    (12-18)

В частном случае, когда источники распределены по объему V равномерно,

Временная функция когерентности может быть получена из (12.18), если положить . Тогда и

Отсюда видно, что коэффициенты временной корреляции поли и источников совпадают: , т. е. временная когерентность излученного поля оказывается такой же, как у источников. Это естественно, так как при неподвижных источниках изменения поля обусловлены только изменениями функций

Обращаясь к пространственной корреляции излученного поля, рассмотрим некоторые частные случаи.

Если размеры «облака» источников малы по сравнению со средней длиной волны излучения то можно считать задержку в формуле (12.18) постоянной величиной, равной , где — центр объема V. Для точек наблюдения лежащих вне объема V, тогда находим

где учтено, что . При отсюда получается пространственная функция когерентности излучателя малых размеров:

    (12.19)

Согласно (12.19) поле пространственно когерентно внутри шарового слоя толщины где тк — время корреляции источников. Таким образом, пространственный радиус корреляции совпадает в данном случае с длиной когерентного цуга

Иначе обстоит дело для больших (по сравнению с ) объемов V. Соответствующие закономерности проще всего установить при помощи величины являющейся преобразованием Фурье по времени от Для функции когерентности (12.18) имеем

Здесь

— спектральная плотность процесса

Непосредственно из вида формулы (12.20) можно заключить, что если размеры «облака» источников L велики по сравнению с длиной волны X, а точки находятся внутри облака, то смещение любой из точек или на X приведет к существенному изменению величины так как под интегралом имеется быстро осциллирующая функция . Отсюда следует, Что внутри большого облака излучателей пространственный радиус корреляции сравним с длиной волны:

По мере удаления точек наблюдения от облака должно, очевидно, происходить некоторое упорядочение интерференционной картины — хотя бы из-за того, что волиы будут приходить теперь только из ограниченного телесного угла. Это упорядочение проявляется в увеличении пространственного радиуса корреляции вдали от системы излучателей, подобно вытекающему из теоремы Ван-Циттерта—Церпике увеличению для дифракционного поля отверстия (§ 11). Теорема Ван-Циттерта—Цернике может быть сформулирована и для системы независимых излучателей, но вывод оказывается несколько сложнее, чем в задаче с дифракции случайного поля.

Приведем только окончательный результат. Пусть точки лежат в плоскости , при этом . У вектора R тоже выделим продольную и поперечную координаты: Если расстояние от облака велико по сравнению с его поперечником а точки наблюдения расположены не слишком далеко от оси то формула (12.20) принимает вид

    (12.21)

где р Это соотношение эквивалентно (11.16), если под приведенной (к плоскости ) интенсивностью понимать величину

    (12.22)

где

— число излучателей, приходящихся на единицу площади в плоскости

Теорема Ван-Циттерта—Цернике сохраняет силу и в случае движущихся источников, но спектральная плотность входящая в определение приведенной интенсивности (12.22), а также в формулы (12.20) и (12.21), должна быть усреднена по всем возможным значениям доплеровского смещения частоты, возникающего из-за движения источников. Иными словами, в формулах (12.20)-(12.22) нужно произвести замену

    (12.23)

где угловые скобки обозначают усреднение по распределению доплеровского сдвига пропорционального лучевой скорости

Замена (12.23) справедлива при условии, что «длина свободного пробега» источника (т. е. длина, на которой заметно меняется скорость излучателя, или же расстояние, проходимое источником за время корреляции излучаемого сигнала) мала по сравнению с расстоянием до точки наблюдения: . В подавляющем большинстве практически интересных случаев это условие выполнено.

В качестве конкретного выражения для спектральной плотности укажем на результаты расчетов, проведенных в ч. I (задача 11 к гл. VI) для пуассоновского импульсного процесса, состоящего из следующих друг за другом отрезков экспоненциально затухающих синусоидальных цугов. Этот процесс может служить моделью излучения атомов, возбуждаемых ударами соседей. Окончательная формула для спектральной плотности (формула (1) в указанной задаче) имеет вид

где — средняя частота соударений, у — радиационная ширина линий излучения и одновременно показатель затухания импульсов вида — случайная амплитуда со средним квадратом — случайная фаза, распределенная

равномерно в интервале частота излучения в системе отсчета, в которой осциллятор покоится. В случае максвелловского распределения скоростей частиц формула (12.24), в зависимости от соотношения между шириной линии излучения и среднеквадратичным доплеровским уширением дает либо гауссову (при либо лоренцеву (при ) линин излучения.

Теорема Ван-Циттерта — Цернике допускает обобщение еще в одном направлении. Спектральная плотность (12.24) соответствует модели, в которой излучают атомы только одного сорта и только на одной частоте. Между тем в реальных нагретых газах могут содержаться атомы многих сортов, излучающие на многих частотах; в плотном облаке многие световые импульсы поглощаются другими атомами, не достигнув наблюдателя, и т. д. Все эти эффекты можно учесть в теореме Ван-Циттерта — Цернике, если под понимать сумму приведенных интенсивностей, отвечающих различным линиям излучения:

Спектр каждой из этих линий излучения характеризуется собственной частотой излучателя силой осциллятора радиационной шириной и средним числом столкновений . Величина определяет тогда эффективную поверхностную концентрацию излучателей, импульсы от которых в состоянии выйти из объема V. Разумеется, если излучатели распределены не в объеме, а на поверхности, то при расчете следует с самого начала ввести вместо объемной концентрации поверхностную концентрацию (см., например, [39]).