§ 7. Функциональный метод описания случайных полей

Как мы знаем, полное описание вещественной случайной величины дается ее характеристической функцией при помощи которой можно найти как плотность вероятностей так и моменты разного порядка, а также кумулянты.

Для -мерной случайной величины характеристическая функция имеет вид , где и тоже содержит всю информацию о совокупности случайных величин (ч. I, § 9).

При рассмотрении общих вопросов, обсуждаемых в данном параграфе, целесообразно отказаться на время от ограничения числа параметров, от которых зависят интересующие нас функции, извернуться от четырех координат к -мерному пространству параметров . Пусть — вещественное случайное поле в этом пространстве (в частном случае единственного параметра, мы будем, как и ранее, обычно считать, что параметр является временем ).

Рассмотрим теперь другой, по существу равносильный, но во многих задачах более удобный и лаконичный способ задания случайных функций — при помощи так называемых характеристических функционалов. Убедимся прежде всего, что полное вероятностное описание поля дается характеристическим функционалом

Здесь — произвольная функция, для которой интеграл в (7.1) сходится при всех возможных реализациях Функция и заменяет дискретную совокупность переменных от которых зависит характеристическая функция для -мерной случайной величины Подчеркнем, что «функционал Должен быть известен для любой функции и

Зная можно получить характеристическую функцию для любой совокупности случайных величин

Для этого достаточно взять в качестве аргумента функционала функцию вида

Тогда

и функционал превращается в характеристическую функцию -мерной случайной величины е. значений поля в N точках

Но характеристическая функция позволяет, как мы знаем, найти -мерную плотность вероятностей

Тем самым, ясно, что характеристический функционал однозначно определяет при любом N и при любом выборе точек , т. е. полностью определяет случайное поле

Зная функционал мы можем найти также моменты (в частности, корреляционные функции) и другие статистические характеристики случайного поля Е. Однако для этого необходимо уметь дифференцировать функционал по функциональному аргументу и Поэтому часть этого параграфа будет посвящена чисто математическим вопросам, касающимся функционалов.

Прежде всего дадим общее определение функционала. Мы говорим, что функционал задан, если установлено правило, по которому каждой функции, принадлежащей области определения функционала, сопоставлено число, называемое значением функционала на этой функции. Приведем некоторые примеры функционалов:

Здесь — линейный функционал, функционал степени, — гауссов функционал (ниже будет показано, что — характеристический функционал для гауссовых случайных полей). Отметим, что функционал зависит от вида функции и в целом (т. е. от ее поведения во всем пространстве ), в силу чего в обозначении мы не пишем явио зависимости и от ее аргумента . В тех случаях, когда на эту зависимость необходимо указывать, мы будем отмечать аргумент функции и тильдой: Однако при такой записи следует иметь в виду, что сам функционал F не зависит, от (подобно тому как в тензорной алгебре величина не зависит от «немого» индекса k — индекса суммирования).

Рассмотрим значения одного и того же функционала F для двух различных «значений» его аргумента, а именно для функций

. Будем при этом считать, что функция отлична от нуля лишь в некоторой области вокруг точки функциональной (или вариационной) производной функционала в точке называется предел

конечно, при условиях, что этот предел существует и не зависит ни от вида ни от способа стягивания к нулю объема области ни от закона, по которому стремится к нулю максимум модуля функции Приведем некоторые примеры.

Найдем функциональную производную линейного функционала в точке . Имеем

так что

Применяя теорему о среднем к интегралу в числителе, находим

где точка принадлежит -окрестности точки Переходя к пределу при получаем

Таким же образом производится дифференцирование и более сложных функционалов (см. задачу 13).

Выберем в качестпе функцию (как и ранее, Тогда и, согласно (7.2),

Формула (7.4) сводит операцию вычисления функциональной производной к обычному дифференцированию.

Приведем теперь формальные правила функционального дифференцирования, аналогичные обычным правилам.

Если , не зависят от u, то

Далее,

Пусть — функция от . Рассмотрим функционал вида (функция от функционала). Тогда

где обычная производная функции f по ее аргументу. Формулы (7.5)-(7.7) непосредственно следуют из (7.4). Наконец, положив в (7.3) получаем

Формулы (7.5)-(7.8) позволяют, не прибегая к формальному определению (7.2) операции функционального дифференцирования, дифференцировать большинство функционалов, с которыми приходится встречаться в конкретных задачах. В частности, из (7.5) следует, что можно производить дифференцирование функционалов под знаком интеграла или производной.

В качестве еще одного примера найдем функциональную производную от гауссова функционала:

В соответствии с (7.7) получаем

На основании (7.5) дифференцируем под знаком интеграла, используя при этом формулы (7.6) и (7.8):

В данном примере можно считать, что так как несимметричная часть не вносит вклада в функционал, поскольку интеграл от произведения несимметричной функции на симметричную и равен нулю. Поэтому полученную производную можно записать короче:

Функционал можно разложить в функциональный ряд Тейлора по (см., например, [1], приложение I):

Подобно операторной записи формулы для обычного ряда Тейлора, удобно записать и формулу (7.9) в операторном виде:

В фигурных скобках мы имеем степенное разложение экспоненты, так что

Вернемся к характеристическому функционалу (7.1) и подействуем на него оператором . Выполняя дифференцирование под знаком среднего, находим

Таким образом, оператор . Действуя на вводит под знак усреднения множитель Повторяя эту операцию, приходим к формуле

Если теперь положить здесь , то получим

Таким образом, моменты (7.13) случайного поля можно находить как значения функциональных производных характеристического функционала при нулевом значении его аргумента.

Если разложить экспоненту в (7.1) в ряд и записать степень интеграла в виде -кратного интеграла, то получится формула

представляющая собой разложение характеристического функционала в функциональный ряд Тейлора.

Рассмотрим теперь функционал так что Разложение в в ряд Тейлора определяет кумулянтные (или корреляционные) функции различных порядков:

Кумулянтная функция порядка определена формулой

аналогичной формуле для кумулянтов случайной величины. Из (7.13) и (7.16) вытекает связь между моментными и кумулянтными функциями (см. задачу 16). В частности,

Выше мы рассмотрели несколько примеров функционалов общего вида. Обратимся теперь к примерам характеристических функционалов.

1) Пусть -нормальное случайное поле. Обозначим через 3 интеграл

Тогда характеристический функционал запишется в виде

интеграл от гауссовой случайной функции является гауссовой случайной величиной, что позволяет сразу же написать плотность вероятностей для

Из выражения для очевидно, что параметры этого распределения выражаются следующим образом:

Вычисляя теперь получаем известный результат:

а подстановка выражений для дает

    (7.18)

Отсюда следует, что

Сопоставление (7.19) с (7.15) показывает, что для гауссовых случайных полей все кумулянтные функции выше второго порядка равны нулю.

Центральные моменты нормального случайного поля обладают следующими свойствами (ч. I, задача 6 к гл. II):

где p. п. под символом означает, что суммирование производится по всем возможным разбиениям индексов на пары. Нетрудно подсчитать, что число слагаемых в сумме, входящей в (7.20), равно Например, при

Аналогичная формула для шестого момента содержит слагаемых. Определения гауссова поля (7.18) и (7.20) равносильны (см. задачу 17).

2) Пуассоновское случайное поле строится следующим образом. Рассмотрим сначала конечную область V пространства параметров . Пусть случайная величина, распределенная по закону Пуассона где — среднее значение . Выберем в V случайным образом точек считая, что плотность вероятностей для координат каждой из этих точек равна при и нулю вне V и что координаты всех точек статистически независимы. Возьмем, далее, случайных величин взаимно независимых и имеющих одинаковую плотность вероятностей , а значит, и характеристическую функцию Пусть — фиксированная детерминированная функция. Пуассоновское случайное поле мы определим теперь формулой

Согласно построению в (7.21) содержатся следующие случайные параметры: «амплитуды» положения «центров» и число слагаемых . Мы распространяем здесь на случай поля в -мерном пространстве параметров то, что в ч. I было сделано для однопараметрических случайных функций, т. е. для случайных процессов(см., в частности, ч. I, гл. II).

Характеристический функционал случайного поля (7.21) имеет вид (см. задачу 18)

где — средняя плотность случайных точек. Область V в (7.22) можно считать и неограниченной ( при ).

Из (7.22) нетрудно вывести кумулянтные функции пуассоновского случайного поля (см. задачу 19). Они имеют вид

Гауссово случайное поле можно получить из пуассоновского, если определенным образом устремить в бесконечность v, уменьшая в то же время «амплитуды» А (см. задачу 20).

При решении многих физических задач возникает необходимость вычисления величин вида где — некоторый функционал от случайного поля Выведем, следуя работе [5], полезную формулу, позволяющую находить эту величину.

Рассмотрим среднее значение выражения

где — некоторая детерминированная функция. Восполь зовавшись формулой (7.10) для ряда Тейлора, представим функ ционал в виде

Тогда

Разделив и умножив это равенство на оператор

(он коммутирует с входящим в (7.24) оператором), получаем

Введем функционал Q, зависящий от функции и кроме того, являющийся обычной функцией параметра х:

С его помощью можно записать (7.25) в виде

где в последнем сомножителе неслучайная величина введена под знак усреднения. Снова воспользовавшись формулой (7.10), получаем

или, внося неслучайный оператор под знак среднего,

Поскольку функционал R зависит лишь от суммы , можно заменить оператор дифференцирования по оператором дифференцирования по . Таким образом,

причем здесь уже можно приравнять вспомогательную функцию 11 нулю. Это приводит к окончательной формуле, полученной В. И. Кляцкиным [5]:

Функционал можно, согласно (7.26), (7.11) и (7.1), выразить через логарифм характеристического функционала поля следующим образом:

Воспользуемся теперь разложением (7.15) функционала 0 по кумулянтным функциям. Дифференцируя (7.15), получаем с учетом результата задачи 13

Заменив здесь на и подставив результат в (7.27), находим

Рассмотрим частный случай гауссова поля , у которого и, следовательно, в (7.29) остаются только два первых слагаемых с

Формула (7.30) была получена К. Фуруцу [6], Е. А. Новиковым [7] и М. Д. Донскером [8].

Укажем, как изменятся некоторые из предыдущих формул, если рассматривать совокупность N случайных полей (-мерное поле) . Характеристический функционал определяется тогда формулой

Формулы сохраняют прежний вид, но с заменой в них на Вместо (7.8) теперь справедлива формула

Формула Фуруцу—Новикова (7.30) принимает вид

В заключение сформулируем свойства однородности и изотропности случайных полей на языке характеристического функционала. Статистическая однородность поля (в узком смысле) означает, что Используя это равенство, можно записать разложение (7.14) в виде

или, после замены переменных в виде

Но, как легко видеть, в правой части получился функционал Таким образом, для статистически однородных полей

т. е. характеристический функционал не меняется, если его аргумент и рассматривается в смещенной точке.

Аналогичным образом, если означает преобразование поворота в пространстве параметров, то статистическая

изотропность поля выражается равенством

Возможны случаи, когда поле статистически однородно или изотропно не по всем координатам а лишь в отношении некоторой их части, т. е. в некотором подпространстве параметров Тогда инвариантность должна иметь место при преобразованиях трансляции (вектор в (7.34)) или поворота (оператор R в (7.35)), осуществляемых только в этом подпространстве.

Приведем в качестве примера характеристический функционал статистически однородного гауссова поля, у которого . Для него

Ясно, что (7.34) здесь выполнено. Если рассматриваемое поле статистически изотропно, то вместо (7.36) будет

Как уже было сказано, этот параграф посвящен в основном правилам оперирования с функционалами и выводу ряда важных соотношений и формул. Примеры использования функционального метода при решении конкретных задач рассматриваются в некоторых из последующих глав. В задаче 22 функциональный метод применен для вывода приведенного в ч. I уравнения Эйнштейна—Фоккера (36.15) для вероятностей перехода случайного отклика дискретной динамической системы на гауссовы дельта-коррелированные по времени воздействия.