§ 2. Пространственные корреляционные функции комплексных случайных полей

Рассмотрим сначала случайные поля, зависящие только от пространственных координат, т. е. не зависящие от времени. К полям, зависящим также от времени, мы обратимся в § 6.

Итак, пусть одномерное комплексное случайное поле зависит только от :

По определению корреляционная (автокорреляционная) функция комплексного поля равна

Положив здесь получим дисперсию в точке :

Многие свойства пространственной корреляционной функции имеют аналоги в теории случайных процессов (ч. 1, §§ 14, 17, 18 и 38). Перечислим кратко эти свойства.

Корреляционная функция является эрмитовой.

как это непосредственно следует из определения (2.1). В частном случае вещественного случайного поля корреляционная функция симметрична:

Далее, квадрат модуля никогда не превышает произведения дисперсий

Из (2.5) вытекает, в частности, что коэффициент корреляции (иначе — нормированная корреляционная функция), определяемый как

не превышает но модулю единицы:

Из неотрицательности величины следует, что корреляционная функция является положительно определенной, т. е.

где — произвольная комплексная функция, — произвольная область интегрирования, для которых интеграл (2.8) существует.

Взаимной корреляционной функцией двух комплексных полей называется величина

Квадрат модуля не превышает произведения дисперсий

что аналогично (2.5). Как следствие этого, взаимный коэффициент корреляции по модулю не превышает единицы: . Существенно, что, в отличие от автокорреляционных функций, взаимная функция корреляции не обладает ни свойством эрмитовости (2.3), ни положительной определенностью (2.8), но при этом )

Наряду с иногда полезно ввести еще одну автокорреляционную функцию комплексного поля:

которая ранее (ч. I, § 38) была названа второй корреляционной функцией. В отличие от , т. е. от первой функции корреляции, определенной выражением (2.1), значение случайного поля входит в (2.12) без комплексного сопряжения. Вторая корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов, , а для вещественного поля она совпадает, очевидно, с

Через первую и вторую функции корреляции можно выразить автокорреляционные функции вещественной и мнимой частей комплексного поля

а также их взаимную функцию корреляции:

Заметим, что симметрии относительно аргументов и у функции , вообще говоря, нет. Используя очевидные соотношения

получаем следующие выражения для компонент корреляционной матрицы вещественных полей

От аналогичных формул (38.3) в ч. I формулы (2.14) отличаются только тем, что вместо моментов времени в них фигурируют радиусы-векторы

В случае статистически однородного (в широком смысле) случайного поля инвариантность относительно сдвига должна выполняться только для среднего значения и для моментов второго порядка. Иными словами, должно быть

Условие (2.15) означает, что , т. е. среднее значение является постоянной величиной. Положив в находим, что , т. е. корреляционная функция статистически однородного поля зависит только разности но не от порознь. Для краткости вместо прииято писать просто :

Подобным же образом (только без комплексного сопряжения) записывается и вторая корреляционная функция Дисперсия статистически однородного поля постоянна:

а общие свойства (2.3), (2.5) и (2.8) корреляционной функции для статистически однородных полей принимают следующую форму, аналогичную соотношениям для стационарных случайных процессов:

Согласно (2.19)

т. е. вещественная часть четна по , а мнимая — нечетна. Четность функции автоматически влечет за собой ее вещественность.

Вторая корреляционная функция, симметричная по своим аргументам, для однородных полей становится четной: . Для частного случая, когда четна не только вторая, и первая корреляционная функция, выражения (2.14) принимают вид

Из этих соотношений следует, что вещественная и мнимая части комплексного статистически однородного поля тоже статистически однородны и, кроме того, однородно связаны.

Статистически однородные поля, у которых зависят только от модуля (но не от направления) вектора соединяющего точки

где называются статистически изотропными. Полноправного аналога изотропных полей в теории случайных процессов указать нельзя. Ограниченную аналогкю можно провести лишь со стационарными вещественными процессами, для которых функция корреляции четна:

Для изотропных случайных полей корреляционная функция всегда четна и, следовательно, всегда вещественна. Из (2.22) следует, что если поле изотропно, то поля изотропны и изотропно связаны между собой.

Примерами корреляционной функции однородного и изотропного случайного поля I. могут служить корреляционная функция в виде гауссовой кривой

и экспоненциальная функция корреляции

В обоих примерах l — радиус корреляции поля, т. е. расстояние на котором уменьшается примерно вдвое по сравнению с дисперсией Для полей с функцией корреляции произвольного вида эффективный (или интегральный) радиус корреляции обычно определяется как

У гауссовой функции корреляции , а у экспоненциальной функции (2.25) .

Иногда встречаются корреляционные функции, имеющие определенный масштаб изменения, но для которых эффективного радиуса корреляции не существует из-за расходимости интеграла в (2.26). Так обстоит дело, например, для функции корреляции вида

Хотя понятие радиуса корреляции (как и времени корреляции для случайных процессов) часто оказывается полезным, универсальное его определение, пригодное для флуктуаций произвольного вида, дать нельзя. Корреляционные функции часто обладают не одним, а несколькими характерными масштабами, как, например, быстро осциллирующая корреляционная функция с плавно меняющейся огибающей, или же корреляционные функции анизотропных полей, к которым мы и перейдем.

У статистически однородных, но анизотропных полей функции корреляции зависят не только от модуля, но и от направления вектора как, скажем, в следующих двух примерах:

Анизотропные поля, очевидно, не имеют аналога в теории случайных процессов. Расстояния, на которых значения анизотропного случайного поля становятси некоррелированными, различны по разным направлениям. Так, для анизотропной гауссовой корреляционной функции

которая является частным случаем функций вида (2.28), величины а, b и с характеризуют масштабы пространственной корреляции в направлениях . Масштаб I для функций вида (2.27) характеризует радиус корреляции в направлении, перпендикулярном плоскости тогда как в самой этой плоскости (и в параллельных ей) корреляция простирается до бесконечности.

Иногда вместо статистической анизотропии говорят об анизомерии случайных полей. Термин «анизомериыё флуктуации» удобен в некоторых задачах электродинамики и теории упругости, в которых речь идет о статистически анизотропных флуктуациях параметров в анизотропных же средах, но пользоваться им нам почти не придется.

Наряду с моментами первого и второго порядков, можно ввести и высшие моменты комплексного случайного поля . Принято определять поточечный момент (момент -го порядка) следующим образом:

Поле входит под знак усреднения раз, а комплексно сопряженное поле раз. Для краткости вместо координат , здесь снова написаны только номера точек например, вместо и т. д. Моменты второго порядка В и В запишутся в этих обозначениях следующим образом:

Некоторые простые свойства моментов вытекают непосредственно из определения. Так, очевидно, что При перестановках внутри первой и второй групп аргументов момент не меняется, а комплексное сопряжение приводит к следующим изменениям в порядке следования аргументов и индексов:

Эрмитовость В и симметрия В представляют собой частные случаи этого тождества.