§ 21. Равновесное тепловое поле. Равновесная форма ФДТ

До сих пор мы рассматривали главным образом неравновесные задачи — о поле, создаваемом нагретыми телами в окружающей среде, которая считалась либо прозрачной (и поэтому не вносящей никакого вхлада в тепловые потери вспомогательного дифракционного поли), либо настолько холодной, что ее собственным флуктуациониым полем можно было пренебречь. В этом параграфе мы обратимся к случаю, когда во всем объеме полного поля температура одинакова, т. е. будем рассматривать равновесное флуктуационное поле. Если, в частности, речь идет о телах, окруженных прозрачной средой, не заключенной в идеальную зеркальную оболочку, то мы будем предполагать, что на достаточно больших расстояниях поле ограничено полностью поглощающей оболочкой, имеющей ту же температуру, что и нагретые тела.

Общие формулы (17.11) — (17.13) для пространственных корреляционных функций спектральных амплитуд флуктуационного поля, создаваемого равномерно нагретыми телами, можно объединить в одну формулу, если обозначить через А и В какие-либо две из шести компонент Е и Н. Тогда вместо (17.11)-(17.13) можио написать

Верхний знак отвечает случаю обеих электрических или обеих магнитных компонент, нижний — одной электрической и другой магнитной; — смешанные потери дифракционного поля, создаваемого единичными точечными источниками соответствующего типа, помещенными в точках

Кирхгофовская форма ФДТ (21.1) справедлива, конечно, и для равновесного поля, но под надо понимать теперь смешанные потери дифракционного поля во всем занимаемом им пространстве. Это обстоятельство позволяет существенно упростить выражение для ; воспользовавшись так называемой комплексной леммой Лоренца. Эта лемма, в известном смысле аналогичная теореме взаимности, отличается от последней тем, что она связывает «накрест» поле одной системы источников с комплексно сопряженным полем другой системы источников.

Написав, как и при выводе теоремы взаимности (17.2), две системы уравнений Максвелла (16.1) — одну для поли и источников I, другую для поля и источников -умножим уравнения первой системы соответственно на , а комплексно сопряженные уравнения второй системы на —Н, и и сложим результаты. Это приводит к равенству

При интегрировании этого равенства по всему объему V полного поля интеграл от обращается в нуль и мы получаем лемму Лоренца:

Выражение, стоящее в левой части (21.2), если учесть, что (и аналогично для В, и ), представляет собой не что иное, как смешанные тепловые потери полей 1 и 2 во всем пространстве (см. (17.9), (17.10)), и, значит,

Этим результатом леммы Лоренца мы теперь и воспользуемся применительно к дифракционным полям, создаваемым единичными точечными источниками.

Возьмем случай, когда А и В в (21.1) - компоненты электрической напряженности теплового поля Е. Тогда

и (21.3) дает

Но из обычной теоремы взаимности (17.2) следует, что в этом же случае

Исключая из (21.4) при помощи последнего равенства либо либо , можно записать потери QK. в следующих двух формах:

Подстановка этих выражений в (17.12) дает

Применение (21.3) к случаю двух компонент магнитной напряженности теплового поля Н приводит к аналогичному выражению для и, в соответствии с (17.13), к результату:

Наконец, в случае, когда А — компонента Е, а В — компонента Н, мы получаем следует, что

т. е. корреляционные фуихцин между электрической и магнитной напряженностями чисто мнимые.

Формулы (21.5) -(21.7) показывают, что с точностью до множителя корреляционные функции равновесного поля совпадают с вещественными или мнимыми частями соответствующих функций Грина. Эти формулы можно назвать равновесной формой ФДТ. Она избавляет от необходимости вычислять после нахождения вспомогательного дифракционного поля его тепловые потери. Достаточно взять вещественную или мнимую часть самих напряженностей этого поля. Вместе с тем линейная связь между вторыми моментами теплового поля и напряженностями дифракционного

двойного поля сразу же позволяет использовать аппарат теории аналитических функций комплексного переменного при нахождении тех или иных интегральных (по спектру) эффектов в равновесном поле, т. е. при интегрировании корреляционных функций теплового поля по частоте

Располагая функциями корреляции спектральных компонент флуктуационного поля и зная, в частности, средние значения произведений этих компонент в одной точке, мы имеем возможность находить не только средние плотности энергии и ее потока, но и другие средние билинейные величины. Мы можем, например, вычислить средние значения компонент максвелловского тензора натяжений, т. е. найти механические (пондеромоторные) силы, с которыми равновесное поле действует на тела. Сказанное относится как к квазиравновесным полям, когда в нашем распоряжении обобщенный закон Кирхгофа (21.1), так и к равновесным, когда можно пользоваться равновесной формой ФДТ (21.5) и (21.6). Однако эти интересные физические применения указанных теорем [6] не имеют прямого отношения к радиофизике, и поэтому мы ограничимся лишь немногими замечаниями.

На первый взгляд может показаться странным, что даже в равновесном случае флуктуационное электромагнитное поле обусловливает действие сил на тела (в том числе и на идеальные проводники). Но ничего удивительного здесь нет просто потому, что, говоря о равновесии, мы постоянно имели в виду только тепловое равновесие, т. е. одинаковую во всей рассматриваемой системе температуру Т (в частности, ). Это вовсе не исключает действия электродинамических сил, которые либо уравновешены внешними связями, либо вызывают перемещение тел К механически равновесной конфигурации. Поэтому нет ничего удивительного и в том, например, что равновесное поле в полупространстве над идеальным плоским зеркалом оказывает на это зеркало давление, спектральная плотность которого в случае недиспергирующей среды равна

Как всегда, член в (т. е. нулевые колебания) дает при интегрировании по расходящееся выражение. Однако эта часть давления компенсируется «нулевым» давлением поля по другую сторону от зеркала, где равновесное излучение может, Вообще говоря, иметь другую температуру. Результирующая сила, действующая на зеркало, определяется разностью давлений по обе стороны и не содержит в данном примере вклада нулевых колебаний.

Это не означает, что нулевые колебания вообще не создают пондеромоторных сил. В случае плоского зеркала геометрические

условия симметричны, одинаковы по обе стороны от зеркала. Если же взять, скажем, образованный двумя идеальными зеркалами двугранный угол (рис. 19), то структура «нулевых» стоячих волн внутри угла и вне его будет различна. В результате получается, что даже при на зеркала действует «схлопывающий» интегральный (по ) момент. Интегрирование по надо при этом распространять не до , а лишь до некоторой частоты (о — проводимость; неравенство является условием того, что при нормальном скин-эффекте металл еще можно считать идеально проводящим).

Рис. 19.

Разумеется, флуктуационное электромагнитное поле порождает силы, действующие и на поглощающие тела. Более того, поскольку поверхности таких тел «выстланы» слоем ближнего (квазистационарного) теплового поля, сильно нарастающего при приближении к поверхности, эффект механического взаимодействия (сил сцепления) становится особенно большим в случае малых зазоров между поверхностями тел. На такого рода явления обратил внимание Е. М. Лифшиц, исследовавший их в работе 17] (см. также [11], [12] и § 18 в [6]).

Теория макроскопических сил сцепления строилась раиее на основе элементарного закона ван-дер-ваальсовых сил попарного взаимодействия между атомами или молекулами, что заранее ограничивало результат случаем разреженных сред. Чисто феноменологическая теория, основанная на флуктуационной электродинамике, снимает это ограничение. Напротив, исходя из выражения для макроскопической силы сцепления, можно в случае разреженных сред сделать обратное заключение — о законе попарного взаимодействия отдельных нейтральных атомов и молекул. Такой путь, как это ни парадоксально на первый взгляд, оказывается проще, чем прямой квантовомеханический расчет для двух нейтральных частиц, при котором закон взаимодействия получается лишь в высоких порядках при вычислениях методом возмущений.