Глава VI. МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 38. Обоснование параболического уравнения

Мы уже говорили о том, что в случае длин волн , малых по сравнению с размерами неоднородностей диэлектрической проницаемости, рассеянные волны концентрируются в узком телесном угле с раствором 0 порядка , т. е. распространяются практически в том же направлении, что и первичная волна. В силу этого становится существенным многократное рассеяние.

Одним из приближенных методов, учитывающих многократное рассеяние, является метод геометрической оптики (гл. V), но он полностью игнорирует дифракционные эффекты и ограничен условием Если это условие нарушается, т. е. расстояние L, проходимое волной в неоднородной среде, достаточно велико: , то дифракционные эффекты становятся существенными. Это можно пояснить следующим качественным рассуждением. Если неоднородность размера освещается плоской волной, то и размер ее геометрической «тени» на любом расстоянии L равен Однако дифракция приводит к «расплыванию» резких границ тени на величину порядка (это размер переходной области свет—тень при дифракции на краю непрозрачного экрана). Ясно, что дифракцией можно пренебречь лишь при условии (см. (32.10)). Это условие зачастую довольно жестко ограничивает длину трассы

Как мы видели в § 36, для света в турбулентной атмосфере уже при имеет место равенства т. е. геометрическая оптика становится неприменимой на расстояниях порядка нескольких сотен метров.

В гл. V уже были упомянуты более общие приближенные методы решения дифракционных задач, связанные с применением параболического уравнения, которые, с одной стороны, используют, как и МГО, малость параметра но вместе с тем учитывают и дифракционные эффекты. Это — метод плавных

возмущений (МПВ) и метод параболического уравнения (МПУ). В этом параграфе мы выведем параболическое уравнение, причем двумя способами, проясняющими разные стороны МПУ. Уравнения МПВ будут затем получены из параболического уравнения (§ 40).

Будем исходить из скалярного уравнения Гельмгольца

где — квадрат среднего волнового числа (предполагается, что , а относительная величина флуктуаций диэлектрической проницаемости, так что Приведем сначала простейший вывод параболического уравнения, основанный на наглядных соображениях.

Пусть неоднородная среда занимает полупространство и на него падает плоская волна . Так как мы предположили, что то рассеянные волны распространяются в основном вперед, и волна, отраженная от неоднородной среды, слаба по сравнению с падающей волной. Будем искать поле и в среде в виде

Здесь амплитуда волны (вообще говоря, комплексная). Если бы среда была однородной , то амплитуда v не зависела бы от координат. В неоднородной среде можно ожидать, что функция и ее производная по z будут мало меняться на протяжения длины волны, так как изменения v связаны только с наличием неоднородностей, а их размеры велики по сравнению с Поэтому должны выполняться условия

или

(быстрое изменение и в зависимости от уже описывается множителем . Условия (38.3) могут выполняться лишь в том случае, когда поле, рассеянное назад, мало. Действительно, если поле и содержит и обратную волну , то это означает, что в амплитуде и присутствует слагаемое вида быстро меняющееся на расстояниях порядка X. Таким образом, условия (38.3) уже предполагают, что амплитуда А обратной полны достаточно мала по сравнению с амплитудой прямой волны.

Подставив (38.2) в (38.1), получаем уравнение

Но в силу второго неравенства (38.3) можно пренебречь членом по сравнению с членом что и приводит к параболическому уравнению для амплитуды :

Уравнение параболического типа впервые было использовано М. А. Леонтовичем при решении детерминированной задачи о дифракции радиоволн вокруг Земли Приведенное обоснование уравнения (38.4), конечно, весьма нестрого. Рассмотрим поэтому другой его вывод, где более отчетливо выявятся те величины, которыми нужно пренебречь, чтобы получить (38.4) из (38.1) [2].

Уравнение (38.1) вместе с необходимыми для него граничными условиями эквивалентно следующему интегральному уравнению:

Здесь — первичная волна (волна в отсутствие неоднородностей среды), удовлетворяющая уравнению — функция Грина:

удовлетворяющая уравнению и условиям излучения на бесконечности.

Пусть падающая волна имеет вид Разобьем область интегрирования по в (38.5) на два участка —

Рассмотрим первый из интегралов. Он является суммой слагаемых вида

причем для каждого этих слагаемых Величинами представляет сферическую волну (множитель с центром в точке и амплитудой определяемой рассеянием волны на неоднородности При этом продольная

координата точки рассеяния всегда меньше z — продольной координаты точки наблюдения. Это означает, что все источники сферических волн в первом интеграле (38.7) расположены в слое , т. е. рассеянные волны, учитываемые этим слагаемым, приходят в точку наблюдения с той же стороны, что и падающая волна.

Точно так же легко убедиться в том, что второй интеграл в (38.7) суммирует все волны, приходящие в точку из области . Ясно, что для того, чтобы попасть в точку из области волна хотя бы один раз должна испытать рассеяние назад (рис. 51, а).

Рис. 51.

Если, однако, выполняется условие то, как мы знаем, при каждом акте рассеяния основная часть рассеянной энергии сосредоточивается в узком телесном угле вблизи первоначального направления распространения волны. 1) этом случае можно ожидать, что интенсивность волны, испытавшей хотя бы одно обратное рассеяние, будет малой по сравнению с интенсивностью волны, которая испытала то же общее число рассеяний вперед. На этом основании мы можем пренебречь вторым слагаемым в уравнении (38.7) и записать его в виде

В приближении, описываемом уравнением (38.8), которое должно удовлетворяться при любом в каждую точку приходят волны только из области . Это означает, что при переходе от уравнения (38.7) к уравнению (38.8) мы отбрасываем не только

волны, изображенные на рис. 51, а, но и волны того типа, который изображен на рис. 51, б, где волна приходит справа одну из промежуточных точек Единственный тип волн, который учитывается в уравнении (38.8), соответствует рис. 51, в. Здесь не только в точку , но и в каждую из промежуточных точек волна приходит слева. В этом легко убедиться, если записать формальное решение уравнения (38.8) в виде итерационного ряда. Таким образом, уравнению (38.8) удовлетворяют лишь те волны, которые на пути распространения в слое не испытали ни одного акта обратного рассеяния. Это отмечено верхним индексом обозначении . Можно показать [2], что полное волновое поле и разбивается на сумму полей где - волна, испытавшая I актов обратного рассеяния.

Уравнение (38.8) можно упростить и дальше, если более последовательно учесть условие Как мы знаем, характерный угол рассеяния на неоднородности масштаба имеет порядок Если первоначально падающая волна распространялась вдоль оси , то после первого же акта рассеяния она будет распространяться под углом порядка к оси . Это означает, что в (38.8) отношение поперечной составляющей вектора к его продольной составляющей имеет порядок величины в, т. е.

Используя малость этого отношения, можно применить разложение в ряд Тейлора:

Функция Грина содержит в показателе экспоненты фазовый набег . Подставить вместо приведенное разложение и ограничиться в нем лишь первыми двумя членами можно, если выполняется условие

Если, согласно (38.0), подставить сюда то мы приходим к ограничениям

при выполнении которых функцию Грина (38.6) можно заменить на ее френелевское приближение

    (38-12)

(В знаменателе функции Грина с относительной ошибкой порядка сказывающейся лишь на амплитуде, можно взять только первый член разложения

Подставляя в (38.8) приближенную формулу (38.12) для функции Грнна, приходим к уравнению

которое уже эквивалентно параболическому уравнению (38.4). Чтобы убедиться в этом, используем аналогичную (38.2) подстановку . В такой же форме представим и падающую волну: Отметим, что в силу уравнения амплитуда падающей волны удовлетворяет условию , где . Тогда, после сокращения на общий множитель получим

    (38.13)

Чтобы перейти к дифференциальному уравнению для о, следует продифференцировать (38.13) по . При дифференцировании интеграла по верхнему пределу возникает, однако, неопределенность — значение заключенного в квадратные скобки выражения при Чтобы установить, к чему стремится это выражение, введем временно обозначение . Тогда оно примет вид

и мы узнаем в нем двумерную гауссову плотность вероятностей, соответствующую дисперсиям а по обеим осям. Но при гауссова плотность вероятностей стремится к дельта-фуикции, так что

Дифференцируя (38.13) по и используя последнюю формулу, получаем

Теперь учтем, что выполняется легко проверяемое непосредственным дифференцированием соотношение

Используя его и вынося оператор за знак интеграла, получим, с учетом (38.13), уравнение

    (38.14)

Но, как отмечалось, в силу чего последнее уравнение совпадает с параболическим уравнением (38.4).

В процессе вывода уравнения (38.14) мы установили, что переходить в (38.8) ко френелевскому приближению для функции Грина можно лишь при выполнении условий (38.11). Однако мы не выяснили еще, когда можно пренебрегать волнами, рассеянными назад. Легче всего это сделать, воспользовавшись формулой (26.11) для эффективного поперечника рассеяния из единицы объема (мы рассматриваем простейший случай статистически изотропных флуктуаций):

Если проинтегрировать (38.15) по задней полусфере , то мы получим эффективный поперечник рассеяния назад из единицы объема:

Интегрируя по и вводя вместо 0 новую переменную интегрирования находим

    (38.16)

Эффективный поперечник равен той доле энергии падающей волны, которая за счет рассеяния преобразуется в обратную волну, когда прямая полна проходит единичное расстояние. Если

пренебречь уменьшением энергии падающей волны за счет этого рассеяния, то на пути в энергию обратной волны перейдет доля энергии, равная (заметим, что, пренебрегая потерями энергии прямой полны, мы завышаем энергию обратной волны). Поэтому условие, необходимое для того, чтобы пренебречь обратным рассеянием и тем самым отбросить второй интеграл в (38.7), можно записать в виде или

    (38.17)

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Если бы мы интегрировали формулу (38.15) по всем углам то получили бы полный эффективный поперечник рассеяния (по всем направлениям) и вместо (38.17) пришли бы к неравенству

    (38.18)

т. е. к условию применимости борновского приближения. Мы видим, что условие (38.17) всегда является менее жестким, чем (38.18). Если в области функция мала по сравнению с ее значением в области то условие (38.18) может нарушаться, даже если (38.17) выполняется.

Пусть, например, . Тогда и, выполняя интегрирование в (38.17), получаем

    (38.17а)

Условие же применимости борновского приближения (38.18) в этом случае имеет вид (см.

    (38.18а)

Если (крупномасштабные неоднородности), то условие (38.18а) будет , тогда как из (38.17а) получаем т. е. параметр ограничен сверху не единицей, а большим числом .

С другой стороны, если выполняется условие применимости борновского приближения (38.18), то заведомо выполняется к

условие (38.17). В этом случае пренебрежимо мала роль многократного рассеяния вообще, в том числе и роль обратного рассеяния.

В качестве второго примера рассмотрим спектральную плот ность соответствующую флуктуациям диэлектрической проницаемости, обусловленным турбулентностью (см. 4.17)).

Трехмерная спектральная плотность такого вида применима в области где — внешний масштаб турбулентности. Пользуясь этой спектральной плотностью, нельзя оценивать границы применимости борновского приближения, так как в области она неверна. Если, однако, то рассеяние назад обусловлено лишь той частью пространственного спектра неоднородностей, которую приведенная формула описывает. В этом случае, оценивая интеграл (38.17), можно получить следующее условие применимости параболического уравнения:

В атмосфере Земли, например, . Если (видимый свет), то последнее условие приводит к ограничению км, которое заведомо выполняется, так как путь светового луча в атмосфере Земли по порядку величины не может превышать 103 км.

Суммируем результаты этого параграфа. Если выполняются условия

то распространение волны в случайно-неоднородной среде можно описывать при помощи параболического уравнения

для медленно меняющейся комплексной амплитуды, связанной с волновым полем и формулой . Приближение параболического уравнения учитывает многократное рассеяние волн вперед и не учитывает обратного рассеяния. Дифракция при использовании МПУ учитывается в приближении Френеля. Важной особенностью параболического уравнения является то, что оно первого порядка по . Поэтому на плоскости достаточно ставить только одно граничное условие.