§ 4. Локально однородные случайные поля

Случайное комплексное поле можно характеризовать не только корреляционной функцией (2.1), но и так называемой структурной функцией, которая представляет собой средний квадрат модуля приращения флуктуацнонной компоненты поля

Очевидно, при структурная функция обращается в нуль,

Если структурная функция и приращение среднего поля зависят только от разности

то такие поля называют локально однородными. Понятие локально однородных полей ввел А. Н. Колмогоров [3, 4], а термин «структурная функция» был предложен позднее А. М. Обуховым. Условия локальной однородности налагают определенные ограничения на моменты приращений т. е. разностей значений поля в двух точках а не на моменты самих этих значений . В снлу полной аналогии таких полей со случайными процессами со стационарными (первыми) приращениями (ч. I, § 56) можно было бы назвать локально однородное поле также случайным полем с однородными приращениями, это название не получило распространения.

Требованию однородности величины можно удовлетворить, только если среднее поле линейно зависит от , где а — произвольный вектор, который может быть и не случайным. Действительно, при линейной зависимости от имеем

Если у поля существует корреляционная функция то, согласно (4.1),

В частности, для однородного поля имеем из (4.3)

Важным преимуществом структурной функции является то, что она может сохранять смысл и в том более общем случае, когда корреляционной функции не существует. Ситуация здесь такая же, как для случайных процессов (стационарные процессы представляют

собой частный случай процессов со стационарными приращениями). Аналогия становится еще более полной, если речь идет о локально однородных и изотропных полях. Под этим понимаются случайные поля, у которых зависят только от модуля вектора

Второе из этих условий удовлетворяться, если , т. е. вектор а обладает изотропным распределением в пространстве. В приложениях и, в частности, в теории атмосферной турбулентности часто можно считать равным нулю сам вектор а. Так или иначе, среднее значение локально однородного и изотропного поля постоянно: . Для однородного и изотропного случайного поля равенство (4.4) принимает вид

причем вещественны. Если при исчезает, то что позволяет выразить через :

Важное свойство структурной функции состоит в том, что на нее не влияют большие по пространственной протяженности флуктуации , т. е. флуктуации с характерным размером Обусловленные такими флуктуациями возмущения практически одинаковы в точках разность для них мала и, соответственно, мал их вклад в . Корреляционная же функция в равной мере учитывает флуктуации любого масштаба. Именно поэтому использование структурной, а не корреляционной функции оказывается физически оправданным в тех случаях, когда крупномасштабные флуктуации поля не сказываются на интересующих нас явлениях. Это вовсе не означает, что такие флуктуации отсутствуют. Напротив, доля в результирующих флуктуационных возмущениях может быть даже велика, но для наблюдаемых явлений они несущественны.

Примером может служить статистическая теория развитой турбулентности [1, 2], т. е. такого вихревого движения газа или жидкости, в котором присутствуют вихри с очень широким диапазоном размеров l. Наиболее интересными по своим внутренним закономерностям здесь оказываются вихри, значительно уступающие по размерам тем наиболее крупным вихрям (размера так называемого внешнего масштаба турбулентности), которые порождены первичным потоком и еще сильно зависят от его геометрических и кинематических особенностей. Именно для субдиапазона А. Н. Колмогоров ввел понятие локальной однородности случайного поля и предложил для его статистического

описания функцию которая просто исключает крупномасштабные неоднородности из рассмотрения.

Тем самым, предположение об однородности, если оно делается для гораздо менее обременительно, т. е. оно позволяет охватить класс случайных полей (локально однородные поля) более широкий, чем такое же предположение для (однородные поля).

Обратимся к пространственным спектральным разложениям локально однородных полей. По аналогии со спектральными разложениями для процессов со стационарными случайными приращениями (ч. I, § 56) имеем

Интеграл (4.8) сходится, если при спектр имеет степенную особенность вида тогда как существование обеспечено лишь при

Формула обращения разложения (4.8) в случае локально однородных полей получается несколько более сложным путем, чем для однородных полей. Сначала J надо продифференцировать (4.8) по и только после этого применить обратное преобразование Фурье. Мы получаем тогда, что

Для изотропного поля, переходя в (4.8) и (4.9) к сферическим координатам и учитывая, что (штрих обозначает производную по ), находим

Рассмотрим в качестве примера локально однородного и изотропного поля пространственные флуктуации диэлектрической проницаемости турбулентной атмосферы. Структурная функция этих флуктуаций

подчиняется при достаточно больших «закону двух третей» Колмогорова—Обухова [1]:

где так называемая структурная постоянная, внутренний масштаб турбулентности. При малых, же , т. е. структурная функция нарастает по квадратичному закону:

Внутренний масштаб входит в формулы (4.12) и (4.13) так, что значения обоих асимптотических выражений одинаковы при

Рис. 1.

Соответствующие графики показаны на рис. 1 пунктирными кривыми, а сплошной линией изображен реальный ход структурной функции

Подобрать спектр, отвечающий реальному ходу структурной функции можно из следующих соображений. Для степенной структурной функции

пространственная спектральная плотность равна [1]

так что «закону двух третей» отвечает спектр

Для того чтобы получить квадратичный ход при малых значениях следует подавить спектральную плотность (4.16)

при больших значениях Физически эта операция отображает диссипацию турбулентных вихрей из-за вязкости, когда их масштаб становится малым Подавление плотности (4.16) при больших k можно осуществить, например, путем введения множителя , т. е. полагая

Получаемая отсюда структурная функция будет обладать требуемой асимптотикой (4.12), (4.13), если параметр обрезания взять равным Она хорошо описывает турбулентное поле при не слишком больших значениях превышающих внешнего масштаба турбулентности . В действительности же при структурная функция «насыщается» (см. рис. 1) и стремится к конечному значению, которое удобно записать в виде

Если значение вводится таким путем, то кривая (4.12) пересекает уровень как раз при Согласно (4.6) предельное значение (4.18) равно — удвоенному среднему квадрату флуктуаций:

В результате мы приходим к тому, что структурную функцию можно аппроксимировать на отдельных интервалах следующими функциями:

Ограниченность структурной функции при можно отразить и в (4.17), заменив множитель на волновое число, отвечающее внешнему масштабу турбулентности. При такой замене, т. е. при спектральной плотности

значения интегралов (4.8) и (4.10) будут конечны при любых .

Конечно, поведение флуктуаций в реальной турбулентной атмосфере подчинено более сложным закономерностям, чем приведенные здесь аппроксимации. Тем не менее формула (4.20) достаточно хорошо описывает пространственный спектр турбулентных флуктуаций во многих задачах радиофизики.

Систематическое изложение вопросов, относящихся к статистической гидродинамике, можно найти в монографиях [1, 2].