§ 27. Пространственная корреляция и вероятностные распределения рассеянного поля

Возвращаясь к выражению (25.24) для функции пространственной корреляции рассеянного поля, обратим внимание на сходство этой формулы с формулой (12.20), которая описывает пространственную корреляцию поля системы независимых излучателей. В обеих формулах зависимость от координат точек наблюдения входит через один и тот же подынтегральный множитель где

Это не случайное совпадение. Как уже было отмечено (§ 24), нахождение однократно рассеянного поля — задача, относящаяся к схеме 2), т. е. к распространению волн в случайно-неоднородной среде, фактически сводится к задаче типа 1), к возбуждению полей заданными случайными источниками. Согласно (24.11) эти источники непрерывно распределены по объему V. Однако, в силу конечности радиуса корреляции неоднородностей е, непрерывное распределение источников равносильно конечному числу (порядка ) дискретных некоррелированных источников. Именно в этом и лежит причина сходства формул (25.24) и (12.20).

Опираясь на это сходство, можно сделать ряд качественных и количественных заключений о характере пространственной корреляции рассеянного поля. Так, можно утверждать, что внутри рассеивающего объема, а также вблизи него (т. е. при ) радиус корреляции поля порядка длины волны X, если неоднородности мелкие порядка если . Оба утверждения вытекают из оценки

где у — видимый угловой размер области, занятой источниками. В самом деле, в случае мелкомасштабных неоднородностей, которые рассеивают изотропно, угол у сравним с х, так что . Крупномасштабные же неоднородности имеют узкую индикатрису ширина которой определяет эффективный угловой размер области, занятой источниками. В результате здесь

По мере удаления от рассеивающего объема происходит некоторое упорядочение поля, что выражается в увеличении масштабов пространственной корреляции. При угловой размер рассеивающего объема v становится величиной порядка и в результате поперечный (по отношению к направлению рассеяния ) радиус корреляции превышает Длину волны в

При приближении к началу фраунгоферовой зоны, поперечный радиус корреляции увеличивается до диаметра рассеивающего объема, а при превышает

Что касается продольного радиуса корреляции то его можно оценить по формулам задачи 13 к гл. II: в пределах ближней зоны рассеивающего объема

но, начиная с расстояний корреляция простирается до бесконечности:

Сказанное можно частично проиллюстрировать на примере пространственной функции корреляции (25.24) при условиях, что точки наблюдения находятся в зоне Фраунгофера, а рассеивающий объем заполнен статистически однородными флуктуациями. При этих предположениях можно заменить приближенным значением

где , и вынести за знак интеграла в (25.9) все множители, кроме и

Мы заменили здесь произведение на сделав дополнительное предположение о малости расстояния между точками наблюдения по сравнению с расстоянием от центра рассеивающего объема до «центра тяжести» точек наблюдения.

Интеграл (27.7) представляет собой дельтообразную функцию. Если ввести обозначение

то формула (27.7) примет вид

Функция равна при и, в соответствии со свойствами преобразования Фурье, спадает до малых значений при , где L — поперечник объема V. При она переходит в

Разделив корреляционную функцию (27.9) на среднюю интенсивность (25.34), получаем коэффициент корреляции

Поскольку заметно отличается от нуля только при значения рассеянного ноля в точках становятся некоррелированными при

Величина приблизительно равна углу между единичными векторами (рис. 23), так что полученная оценка определяет «угол корреляции»

Но вместе с тем так что для поперечного радиуса корреляции из (27.11) следует прежняя оценка (27.3).

Что касается продольной корреляции, то при расположении точек наблюдения на одной прямой, когда коэффициент корреляции дается выражением

т. е. равен по модулю единице при любых лежащих в дальней зоие. Это означает, в согласии с (27.5), что для амплитуды рассеянного поля продольный радиус корреляции бесконечен, , а разность фаз полей в точках лежащих на одной прямой, равна разности оптических путей ).

Обратим внимание на то, что в формулу (27.10) входят только геометрические параметры задачи и а также длина волны первичного поля X, но не входят статистические характеристики флуктуаций е. Это говорит о том, что корреляционные характеристики рассеянного ноля вытекают из чисто динамических соображений и лишь косвенно связаны со статистическим описанием.

Действительно, синусоидальная дифракционная решетка конечной длины L и с периодом дает и направлении 0 (см. (25.33)) волновой пучок конечной угловой ширины ДО Поскольку в спектре флуктуаций представлены различные пространственные гармоники, рассеяние на данный угол обусловлено не только той объемной решеткой, которая точно удовлетворяет условию Вульфа — Брегга (25.33), и близкими по размерам и ориентациям решетками, для которых рассматриваемое направление лежит в пределах главных дифракционных максимумов ширины Таким образом, пока угловое расстояние между точками наблюдения меньше рассеяние обусловлено

вполне определенной группой дифракционных решеток. Напротив, при рассеянные в направлениях обусловлены уже различными группами решеток (с неперекрывающнмися главными максимумами), что и приводит к исчезновению пространственной корреляции.

Обратимся теперь к вероятностным распределениям рассеянного ноля. В приближении однократного рассеяния поле выражается интегралом (24.11) от произведения некоторой детерминированной функции на случайную функцию к . Поскольку линейные размеры L рассеивающего объема по предположению велики по сравнению с радиусом корреляции флуктуаций , можно утверждать, что в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей закон распределения для рассеянного поля близок к нормальному.

Найдем параметры, характеризующие совместные функции распределения вещественной и мнимой частей комплексного ноля:

    (27.12)

Так как величины распределены по нормальному закону, достаточно получить матрицу вторых моментов этих величин, которая совпадает с корреляционной матрицей, поскольку среднее значение рассеянного поля, а значит, и средние значения равны нулю. Билинейные средние можно выразить тогда через корреляционные функции комплексного поля

Первая этих функций была вычислена в § 25 и рассмотрена выше. Покажем, что вторая корреляционная функция почти всюду мала по сравнению с . С этой целью оценим величину в зоне Фраунгофера. Согласно (25.39),

    (27.14)

Заменяя на получаем

    (27.15)

где функция определена выражением (27.8).

При рассеянии вперед средний квадрат поля с точностью до фазы совпадает со средней интенсивностью поскольку Однако при значения функции резко уменьшаются по сравнению с , т. е.

    (27.16)

Так как неравенство выполняется вне узкого конуса с раствором откуда и следует, что рассеянии на не слишком малые углы

    (27.17)

Практически это означает, что вне указанного конуса вторую корреляционную функцию можно положить равной нулю:

    (27.18)

Этот результат получен для дальней зоны рассеивающего объема но в ближней зоне он справедлив и подавно. Действительно, если разбить рассеивающий объем на отдельные элементы с линейными размерами, малыми но сравнению с но большими по сравнению с радиусом корреляции неоднородностей, и поместить точку наблюдения в зону Фраунгофера каждого из таких элементов, то результирующий средний квадрат поля можно получить, суммируя выражения типа (27.15), поскольку флуктуации в различных элементах статистически независимы. Ясно, что суммирование величин, содержащих осциллирующий множитель может привести только к уменьшению по сравнению с даже внутри конуса с углом раствора

Воспользовавшись этим, применим для вычисления моментов формулы (2.14), которые при равенстве нулю второй корреляционной функции дают

Положив в (27.19) находим, в частности, что

    (27.20)

Последующие вычисления статистических моментов амплитуды и фазы производятся так же, как в ч. 1, §§ 25 и 44.