Задачи

1. Функция Грина удовлетворяет уравнению

и условию излучения на бесконечности. Вывести для двумерное спектральное разложение.

Решение. Подставив в (1) трехмерное разложение Фурье

получаем уравнение

откуда следует, что

В знаменателе подынтегрального выражения введена бесконечно малая мнимая добавка, соответствующая затуханию полны и приводящая при вычислении интеграла (3) к функции Грина, отвечающей расходящимся волнам.

Если выполнить в (3) интегрирование по , то мы получим искомое разложение функции в двумерный интеграл Фурье. Рассмотрим интеграл по :

Полюсы расположены как в верхней полуплоскости так и в нижней . Если , то контур интегрирования можно замкнуть бесконечной полуокружностью в верхней полуплоскости комплексного переменного , и вычет в верхнем полюсе дает

причем

(выбор знака в нижнем равенстве обеспечивает выполнение условия как при так и при Подставляя (5) в (3), получаем, что при

Аналогично вычисляется интеграл и при когда вычет надо брать в полюсе Окончательная формула, охватывающая оба случаи, отличается от (6) заменой на

2. Найтн функцию Грина уравнения (40.5).

Решение. Будем искать решение уравнения

с начальны» условием в виде двумерного интеграла Фурье

Подставляя в (1) такое же разложение и для функции :

    (3)

получаем

или

Умножая это уравнение на и интегрируя по от 0 до с учетом граничного условия находим

Подстановка (4) в (2) дает

Чтобы получить окончательное выражение для Ф, надо воспользоваться обратным преобразованием Фурье для (вторая формула

Взяв интеграл по получаем формулу вида (40.6), в которой определяется формулой (40.8).

3. Найти двумерную пространственную спектральную плотность флуктуаций фазы (40.16).

Решение. Как и для флуктуаций уровня (см. (40.21)), имеем

Из (40.16) следует, что

а так как, согласно (40.19),

получаем следующую связь между спектральными плотностями

Если воспользоваться теперь эффективной двумерной спектральной плотностью (40.30):

то формула (3) принимает вид

что после вычисления интеграла приводили выражению (40.31).

4. Найти корреляционные функций флуктуаций уровня и фазы для точек наблюдения, разнесенных как в поперечном, так и в продольном направлении. Решение. Исходя из формулы (3.11), получаем

Используя формулы (40.15), (40.19) и (40.30), находим, далее,

где . Подстановка (2) в (1) дает

Формула для функции корреляции фазы отличается от (3) лишь заменой синусов на косинусы:

Вычислив интегралы по и используя равенство находим

    (5)

Здесь верхние знаки относятся к нижние — к

При формула (5) переходит в формулы (40.29) и (40.31). Заметим, что корреляционные функции, определяемые формулой (5), зависят лишь от т. е. инвариантны по отношению к одновременным сдвигам обеих точек наблюдения в плоскостях на одну и ту же величину. Вместе с тем в (5) входит как так и Таким образом, флуктуации уровня и фазы статистически однородны по поперечным координатам, но не являются статистически однородными по продольной координате.

5. Вывести формулу (41.7) из (41.6) и (41.9) из (41.8).

Решение. Проинтегрируем разложение Фурье

по в пределах :

или, учитывая четность по .

Действуя на это равенство оператором и принимая во внимание, что находим

Положим здесь тогда

Подставляя это равенство в (41.6), получаем (41.7).

Положив в формуле (1), получаем

Подстановка этого рввенства в (41.8) приводит к формуле (41.9).

6. Найти средние квадраты флуктуаций уровня и фааы для частного случаи гауссовой корреляционной функции флуктуаций диэлектрической проницаемости:

Решение. Найдем . Полагая в получаем

где . Полагая в и подставляя в (2), получим

Произведем замену переменной интегрирования, положив Тогда для получям

где введен волновой параметр .

Рассмотрим входящий в интеграл

Очевидно, при имеем Далее,

откуда

Следовательно,

Средний квадрат флуктуаций фазы получается отсюда просто переменой знака перед вторым слагаемый.

7. Найти асимптотические формулы для структурной функции фазы (41.31) для предельных случаев

Решение. Наиболее существенный вклад в интеграл (41,31) дает область так как при мал множитель а при мал множитель . Если при I справедливо неравенство то

где М — числовая постоянная. Если же то при имеем

Именно поэтому коэффициенты в формулах для в случаях отличаются в два раза.

8. Ограничиваясь случаем статистически изотропных флуктуаций , найти вид функций , где - размер наименьших неоднородностей диэлектрической проницаемости.

Решение. Будем исходить из формул (40.33) и (40.35):

Так как функция пренебрежимо мала при основной вклад в интегралы (1) и (2) дает область Если то и этой области . Поэтому можно воспользоваться парными членами степенного разложения Подстановка этого разложения в (1) и (2) и приводит к формулам (41.34) и (41.35).