§ 17. Обобщенный закон Кирхгофа

Функции Грина представляют собой решения краевой задачи с элементарными точечными источниками поля. Введем их в нашем электродинамическом случае следующим образом.

Пусть — детерминированный электрический ток, сосредоточенный в некоторой точке и направленный по постоянному единичному вектору 1:

Можно считать ток поляризационным, т. е. рассматривать источник как точечный электрический диполь с моментом Решение уравнений Максвелла, т. е. напряженности электромагнитного поля, создаваемого в данной системе тел и сред источником (17.1), мы обозначим через и для краткости будем называть это детерминированное поле дифракционным. Напряженности и являются функциями Грина.

Наша цель состоит в том, чтобы выразить напряженности Е и Н флуктуационного поля, порождаемого случайными распределенными токами через эти токи и через функции Грина . Проще всего сделать это при помощи электродинамической теоремы взаимности, которая связывает «накрест» напряженности и источники двух различных полей в одной и той же системе тел и сред.

Пусть имеются два распределения сторонних электрических и магнитных токов которые создают при прочих одинаковых условиях поля , соответственно. Теорема взаимности выводится весьма просто (при очень широких допущениях) из двух систем уравнений Максвелла — одной для поля и источников 1 и другой для поля и источников 2 (см., например, [6]). Она гласит, что

где V — объем полного поля. Фактически интегралы в (17.2) распространяются только на те области пространства, в которых сторонние токи отличны от нуля.

Отождествим теперь в теореме (17.2) интересующее нас флуктуационное поле с полем 1:

а вспомогательное дифракционное поле — с полем 2:

формула (17.2) дает тогда

т. е. именно то, что нам нужно: компонента по направлению 1 электрической напряженности флуктуационного поля в точке А выражена через распределение случайных токов и через функции Грина — напряженности детерминированного поля, создаваемого электрическим диполем, направленным по 1 и находящимся в точке А.

Для того чтобы получить аналогичное выражение для компоненты магнитного флуктуационного поля, надо, сохраняя (17.3), воспользоваться в теореме взаимности (17.2) другим полем , а именно дифракционным полем , которое создается магнитным точечным током

или, что то же, магнитным диполем с моментом , помещенным в точку А:

Мы получаем тогда из (17.2)

Линейные относительно выражения (17.4) и (17.5) позволяют получать теперь любые моменты напряженностей флуктуационного поля, если нам известны моменты того же порядка для токов . В частности, мы заведомо можем вычислить вторые моменты компонент флуктуационного поля, поскольку вторые моменты сторонних токов дает нам (16.4).

Найдем, например, среднее значение произведения Полагая в (17.4) и записывая скалярные произведения векторов в компонентах , где по дважды

входящим индексам производится суммирование от 1 до 3), имеем

Полагая в (17.5) , получаем

Для краткости мы далее опустим аргументы аргументы Умножив (17.6) на выражение, Комплексно сопряженное (17.7), и взяв среднее по равновесному ансамблю случайных источников находим

Согласно (16.4) последние два члена интегранда равны нулю в силу некоррелированности электрических и магнитных сторонних токов; корреляционные же функции токов в первых двух членах содержат что позволяет сразу выполнить интегрирование по . В результате

Но величина

Представляет собой не что иное, как спектральную объемную плотность смешанных тепловых потерь (электрических магнитных) в точке . Интеграл от по — это спектральная

плотность потерь во всем объеме среды (фактически во всех областях, где есть диссипация энергии, т. е. и (или) :

    (17.10)

Конечно, зависят от координат и направлений точечных источников вспомогательных дифракционных полей, в данном случае — электрического диполя с моментом в точке и магнитного диполя с моментом в точке Из (17.8)-(17.10) следует, что

    (17.11)

Аналогичный расчет при помощи формул (17.4), (17.5) и (16.4) функций корреляции компонент компонент Н приводит к следующим результатам:

    (17.12)

В формулу (17.12) входят смешанные потери дифракционных полей от двух электрических диполей в точке , и , двух магнитных диполей . Не смешанные, а собственные потери дифракционного поля одного источника определяют среднеквадратичное значение какой-либо одной компоненты флуктуационного поля в одной и той же точке. Например, полагая в (17.12) , получаем

    (17.14)

т. е. сюда входят собственные потери дифракционного поля, создаваемого электрическим димолем с моментом находящимся в точке .

Формулы (17.11)-(17.13) можно назвать кирхгофовской формой ФДТ, потому что они представляют собой прямое обобщение закона Кирхгофа классической теории теплового излучения. Этот закон связывает, как известно, интенсивность теплового излучения тела в каком-либо направлении с поглощением в этом теле при падении на него плоской волны с обратным направлением распространения (можно сказать, что это волна от бесконечно удаленного точечного источника). Обобщение касается сразу трех сторон дела.

Во-первых, мы можем теперь находить средние значения произведений любых компонент Е и Н, а не только тех, которые определяют плотность энергии и ее поток (поток вектора Пойнтинга) — две величины, которыми только и интересуется классическая теория излучения.

Во-вторых, мы можем вычислять не только средние произведения компонент, взятых в одной и той же точке что требуется для расчета плотности энергии и ее потока, но и пространственные функции корреляции флуктуационного поля

И в-третьих, что наиболее существенно, D формулах (17.11 )-(17.13) нет никаких ограничений для соотношения между длиной волны X и характерными масштабами задачи (размерами тел, радиусами кривизны их поверхностей, расстояниями от тела до точки наблюдения и т. п.). Иначе говоря, в отличие от классической теории теплового излучения, связанной условиями применимости геометрической оптики, мы можем вычислять теперь вторые моменты флуктуационного поля — как волновой его части (с учетом всех дифракционных явлений), так И неволновой (квазистационарной при любом соотношении А, и

Необходимо остановиться на преимуществах, которые дает обобщенный закон Кирхгофа и в отношении вычислительной Стороны дела. Конечно, для нахождения вспомогательных дифракционных полей (функций Грина) по-прежнему необходимо решать обычными методами соответствующие краевые электродинамические задачи. Однако эти задачи проще тех, о которых Говорилось в конце предыдущего параграфа. Для формул (17.11)-(17.13) надо находить решения однородных уравнений Максвелла, обладающие дипольными особенностями в заданных точках а не решения неоднородных уравнений с заданным, но произвольным распределением сторонних токов Более того, во многих случаях можно использовать уже известные Функции Грина, т. е. готовые решения задач с точечными источниками (например, классической задачи А. Зоммерфельда о поле

диполя, расположенного над плоской границей поглощающей среды).

Наконец, далеко не всегда необходимо вычислить напряженности дифракционных полей. Ведь в формулы (17.11)-(17.13) входят, в конечном счете, не эти напряженности, а тепловые потери дифракционных полей. Во многих практически интересных случаях эти потери можно с достаточной точностью получить приближенными методами. Сюда относится, например, случай хорошо проводящих тел (сильный скипэффект), случай тел, больших по сравнению с или, наоборот, малых по сравнению с X (хотя бы по некоторым своим размерам, как это имеет место для тонких проводов). Далее мы приведем несколько примеров применения обобщенного закона Кирхгофа и заодно проиллюстрируем предельный переход к результатам классической теории теплового излучения. В заключение же этого параграфа сделаем еще два общих замечания.

Первое касается распространения обобщенного закона Кирхгофа (17.11)-(17.13) на случай неравномерно нагретых тел. Если градиенты температуры достаточно малы, так что — настолько плавная функция, что роль неравновесных процессов еще пренебрежимо мала, то, очевидно, учет неравномерного нагрева сведется к тому, что надо оставлять под интегралом по объему. Вместо произведения в формулах надо при таких квазиоднородных условиях писать , где — тепловые потери дифракционного поля в элементе объема рассматриваемого тела.

Второе замечание касается нулевых колебаний. Во все формулы корреляционной теории равновесных и квазиравновесных флуктуациоиных полей входит множителем средняя энергия осциллятора содержащая слагаемое — энергию так называемых нулевых колебаний (см. (15.10)). Слагаемое в (15.10), зависящее от температуры Т и обращающееся в нуль при соответствует так называемому черному излучению. Только эта часть обычно и рассматривается, когда речь идет об излучении, т. е. о потоке энергии, поскольку лишь она является в таких случаях наблюдаемой величиной. Между тем в формулах типа (17.11) содержится поток энергии и нулевых колебаний. Когда и почему его не следует учитывать?

Дело в том, что при выводе формул типа (17.11)-(17.13) сделано неявное допущение, что рассматриваемое тело является единственным источником флуктуационного поля. В действительности же нулевые колебания существуют и в отсутствие данного тела, так как они создаются всеми телами без исключении, в том числе и абсолютно холодными . Можно сказать, что по отношению к нулевым колебаниям всегда имеет место равновесное

состояние, т. е. нулевые колебания - это всегда стоячие волны и, соответственно, любой поток энергии этих колебаний всюду гасится встречным потоком той же интенсивности. Поэтому в любых формулах, относящихся к потоку энергии (но не к ее плотности, следует удерживать лишь ту часть , которая относится к черному излучению, вычитая поток энергии нулевых колебаний, который всегда компенсирован при любом окружении данного тела.