§ 28. Рассеяние на нестационарных неоднородностях

1. Временная функция корреляции. Поле, рассеянное на неоднородностях , зависящих от времени, создает на выходе антенны отклик, аналогичный (25.48):

В отличие от (25.48), мы восстановили здесь множитель который для краткости ранее опускали. Волновое возмущение, возникающие при рассеянии в точке , достигает точки наблюдения за конечное время (для простоты считаем, что ). Поэтому иод интеграл входят значения не в момент а в предшествующий момент Функция по-прежнему дается выражением (25.47).

Вычислим временную корреляционную функцию рассеянного ноля предположении, что флуктуации к статистически однородны и стационарны, так что пространственно-временная корреляционная функция неоднородностей зависит лишь от разностных (пространственных и временных) переменных:

Из (28.1) сразу же видно, что временная корреляционная функция отклика на выходе антенны

тоже зависит только от разности :

где

Таким образом, в случае стационарных флуктуаций отклик как и само рассеянное поле и, является стационарным случайным процессом.

Входящая в (28.3) величина

представляет собой разность временных задержек возмущений, пришедших из точек . В силу того, что пространственная корреляция неоднородностей простирается на расстояния разность задержек фактически не превышает времени за которое волна проходит одну неоднородность

. Интервал обычно значительно меньше — времени корреляции флуктуаций :

Поэтому без большой ошибки можно при этом условии положить в и тогда

Выражение (28.5) отвечает так называемому квазистационарному приближению, при котором считается, что рассеяиие на отдельных неоднородностях происходит так, как если бы неоднородности покоились, а зависимость от времен и восстанавливается уже в окончательной формуле (28.5).

Дальнейший анализ временных флуктуаций целесообразно провести отдельно для следующих двух случаев: а) в среднем покоящаяся случайно-неоднородная среда и б) случайно-неоднородная среда, перемещающаяся в среднем равномерно со скоростью v, которую принято называть скоростью дрейфа.

2. Рассеяние в отсутствие регулярного дрейфа. Для среды, в среднем неподвижной, можно почти без изменений повторить выкладки § 25, т. е. перейти к переменным интегрирования и разложить показатель экспоненты в ряд по степеням :

где

— пространственное преобразование Фурье корреляционной функции — вектор рассеяния, отвечающий точке

Из выражения (28.6) следует, что время корреляции отклика на выходе антенны того же порядка, что и у флуктуаций . Тот же результат можно выразить и в спектральной форме,

написав спектральную плотность стационарного процесса

Учитывая, что пространственно-временной спектр флуктуаций к выражается формулой

можно представить частотный спектр сигнала в виде

Спектр флуктуаций обычно сосредоточен в окрестности нулевой частоты , спектр же рассеянного сигнала расположен вблизи частоты первичной волны Как следует из (28.9), частотный спектр рассеянного ноля получается суммированием пространственно-временного спектра неоднородностей по рассеивающей области с весовой функцией

Если условия задачи позволяют пренебречь изменением нектора рассеяния q в пределах области интегрирования (согласно (25.38) это возможно при ), то можно вынести за знак интеграла со значением при где — вектор рассеяния, отвечающий центру рассеивающей области. В результате частотный спектр поля оказывается пропорциональным

где — эффективный рассеивающий объем. Таким образом, при можно находить форму спектра флуктуаций непосредственно по измеренным значениям . В случае же протяженных рассеивающих областей, когда спектры. связаны между собой интегральным соотношением (28.9), определение формы по измерениям (Q) затруднительно.

Спектр комплексной огибающей сигнала сосредоточен в окрестности нулевой частоты, поскольку . В частности, при когда дается выражением (28.10), имеем

3. Рассеяние при наличии регулярного дрейфа. Нахождение функции корреляции ноля, рассеянного на дрейфующих неоднородностях, несколько сложнее, чем при При рассмотрении этого вопроса мы следуем результатам Г. С. Горелика и его сотрудников [3—6], а также анализу, приведенному в [1].

Пусть функция корреляции неоднородностей в сопровождающей системе координат, т. е. в системе, равномерно перемещающейся вместе со средой со скоростью v. В неподвижной системе координат, связанной с наблюдателем, функция корреляции, очевидно, равна

    (28.11)

Подставим это выражение в формулу (28.5) и введем новые переменные интегрирования , равные

В этих переменных функция корреляции сигнала будет

    (28.13)

где

Поскольку корреляционная функция спадает практически до нуля при разложим V в степенной ряд по и ограничимся первыми двумя членами разложения:

    (28.14)

Здесь

Если подставить в (28.13) приближение (28.14), справедливое при выполнении довольно слабых условий типа (25.18), то интегрирование по дает

    (28.15)

где , а функция

    (28.16)

представляет собой пространственное преобразование Фурье корреляционной функции неоднородностей в сопровождающей системе координат.

Выражение (28.15) сложнее, чем (28.5). Во-первых, под знаком интеграла теперь содержится дополнительный экспоненциальный множитель Во-вторых, вектор рассеяния и произведение заменяющее теперь зависят от т. Однако если допустить, что источник первичного поля и приемный пункт - удалены от рассеивающей области на расстояния, превышающие ее поперечник , то формула (28.15) упрощается. В последующих оценках мы будем писать неравенства, относящиеся только к . Аналогичные неравенства должны выполняться и для

При произведение стремится к нулю. Следовательно, в области существенной для интегрирования в (28.15), отиошеннс в силу принятого допущения . По той же причине в (28.15) существенны только значения . Имея это в виду, разложим показатель экспонепты в степенной ряд по малым параметрам :

    (28.17)

Здесь v — вектор, имеющий размерность частоты и пропорциональный скорости дрейфа

    (28.18)

Вектор q мы тоже разложим в ряд, лишь по переменной :

    (28.19)

(член, линейный по , здесь отсутствует).

Ниже мы убедимся, что условие достаточно для того, чтобы сохранить в (28.17) два первых члена, а в ( - только первый член разложения. Если это сделать, то (28.15) принимает вид

    (28.20)

Разумеется, при это выражение переходит в формулу (28.5), полученную в отсутствие дрейфа.

С ростом значение интеграла в (28.20) уменьшается по трем причинам. Во-первых, уменьшается произведение которое стремится к нулю при Во-вторых, экспоненциальная функция начинает заметно осциллировать в пределах существенной для интегрирования области. В-третьих, уменьшается функция , которая описывает временную корреляцию флуктуаций в сопровождающей системе координат и стремится к нулю при

Из условий находим два характерных интервала времени, отвечающих первым двум факторам

Характерное же время изменения функции т. е. временной интервал корреляции неоднородностей и сопровождающей системе координат, мы обозначим через По существу, это «время жизни» неоднородностей. Меньшее из трех перечисленных значений определяет, очевидно, время корреляции сигнала:

    (28.22)

При (отсутствие дрейфа) , бесконечно возрастают, а

Применим формулу (28.20) к анализу частного случая рассеяния на замороженных неоднородностях. которые в сопровождающей системе координат не зависят от времени

4. Рассеяние на замороженных неоднородностях. Очевидно, в лабораторной системе координат, относительно которой не меняющиеся со временем неоднородности дрейфуют со скоростью v, флуктуации проницаемости обладают свойством

    (28.23)

т. е. в точку в момент времени t приходит возмущение , которое в предшествующий момент находилось в точке и переместилось за время со скоростью v в точку .

Как сказано, «время жизни» неоднородностей в сопровождающей системе координат формально бесконечно: Практически же замороженными можно считать неоднородности, для которых

    (28.24)

При выполнении этого условия функцию в (28.20) можно положить равной поскольку значение интеграла в (28.20) сделается малым раньше, чем начнется уменьшение ). Таким образом, для замороженных неоднородностей

    (28.25)

Поведение этой функции корреляции существенно зависит от соотношения между . Согласно (28.21) они сравнимы друг с другом при . В ближней зоне, где и одновременно, по условию, выполняется неравенство . Следовательно, время корреляции в ближней зоне совпадает с

    (28.26)

Напротив, в дальней (фраунгоферовой) зоне, где время корреляции совпадает с которое значительно меньше

    (28.27)

Нетрудно убедиться, что в обеих зонах отбрасывание «лишних» слагаемых в разложениях (28.17) и (28.19) вполне оправдано. Например, в ближней зоне, где четвертый член разложения (28.17) по порядку величины равен

т. е. меньше произведения двух малых параметров. Но он мал и в дальней зоне, где так что

Отметим, что при нарушении условия замороженности (28.24), т. е. при отбрасывание «лишних» членов является тем более оправданным, чем меньше по сравнению с Иными словами, единственное условие применимости формулы (28.20) выражается неравенством

Рассмотрим теперь более детально поведение корреляционной функции (28.25) в ближней и дальней зонах.

Для ближней зоны выражение (28.25) можно упростить, если учесть, что при произведение приближенно равно Таким образом, здесь

    (28.28)

Для вычисления интеграла, конечно, надо конкретизировать вид спектра и весовой функции Однако спектральный анализ выражения (28.28) можно провести и без конкретизации этих функций.

Выполнив временное преобразование Фурье (28.28), находим спектральную плотность сигнала

    (28.29)

Согласно (28.29) каждому элементарному объему отвечает спектральная линия на частоте и с «интенсивностью» . Суперпозиция этих линий и образует частотный спектр Смещение частоты линии относительно частоты первичного поля обусловлено эффектом Доплера.

Доплеровский сдвиг частоты

содержит два слагаемых, из которых первое одинаково для всех точек рассеивающей области, тогда как второе меняется от точки к точке в силу изменения вектора q (R) внутри рассеивающего объема.

Ширина частотного спектра определяется, очевидно, разностью доплеровских смещений частоты на краях рассеивающего объема

    (28.30)

что, как и следовало ожидать, согласуется с оценкой ширины спектра Оценке (28.26) можно дать и другую интерпретацию. Как было показано в § 27, величина представляет собой в случае неподвижных неоднородностей поперечный радиус корреляции ноля , т. е. пространственный масштаб интерференционной картины, образующейся в результате наложения рассеянных волн. При дрейфе замороженных неоднородностей интерференционная картина будет пробегать мимо точки наблюдения со скоростью v, так что характерное время флуктуаций поля как раз совпадает с

Оценка (28.26) пригодна, строго говоря, только при Если, несмотря на это, применить ее к случаю когда точка наблюдения находится вблизи рассеивающей области, то мы получим, что . Это не противоречит и оценке поскольку вблизи рассеивающего объема (см. § 27).

Иные закономерности наблюдаются в дальней зоне, для которой, время корреляции , равно времени пребывания отдельной неоднородности в рассеивающем объеме. В дальней зоне показатель экспоненты в формуле (28.25) мал но сравнению с единицей, а так что корреляционная функция поля дается выражением

    (28.31)

Для вычисления интеграла необходима, как и в (28.28), конкретизация вида функции . В предельно идеализированном случае, когда функция внутри куба с ребром L и равна нулю вне этого куба, а скорость дрейфа v перпендикулярна к одной из граней куба, имеем

Более сложным закономерностям подчинено рассеяние на блуждающих неоднородностях, когда поле скоростей состоит из общей скорости дрейфа v и случайной компоненты v, т. е.

Некоторые аспекты этого случая рассмотрены в [11 и [3-6].

5. Флуктуации интенсивности. В § 27 уже было отмечено, что однократно рассеянное поле распределено по гауссову закону с нулевым средним значением. Для такого поля функция корреляции интенсивности

выражается через квадрат модуля корреляционной функции поля (см. задачу 12 к гл. I):

    (28.32)

Отсюда следует, что характерное время пульсаций интенсивности несколько меньше (в раза, в зависимости от вида чем время корреляции самого сигнала Соответственно частотный спектр флуктуаций интенсивности

несколько шире, чем