Задачи

1. Найти пространственную спектральную плотность для анизотропного однородного случайного поля с гауссовой корреляционной функцией общего вида

где .

Ответ.

где матрица, обратная матрице . В частном случае, когда корреляционная функция имеет вид (2.29), пространственный спектр дается выражением (3.16).

2. Доказать следующее неравенство для статистических моментов порядка комплексного поля

Решение. Неравенство следует из того, что при любом комплексном

Если положить

где вещественно, неравенство (1) представляет собой условие неотрицательности квадратичного по а трехчлена. Частный случай (1) при - это неравенство

аналогичное (2.20).

3. Если провести в пространстве какую-либо прямую линию и рассматривать значения однородного и изотропного поля только на этой прямой, то получится случайная функция одной пространственной переменной — координаты, отсчитываемой вдоль этой прямой. Обозначим ее через . Можно записать разложение корреляционной функции в одномерный интеграл Фурье:

где — одномерная спектральная плотность, выражающаяся через посредством обратного преобразования Фурье:

Показать, что трехмерный пространственный спектр (А) однородного изотропного поля связан с одномерным спектром соотношением

Указание. Надо продифференцировать (1? по к и сравнить результат с формулой (3.10).

Формула (2) удобна для расчета трехмерного спектра в тех довольно многочисленных случаях, когда интеграл (1) для вычисляется проще, чем интеграл (3.10) для Примерами могут служить даже простые корреляционные функции (2.24) и (2.25),

Формула (2) используется также для нахождения трехмерного спектра случайного изотропного поля по одномерному спектру полученному по зкспериментально измеренной одномерной корреляционной функции

4. Пусть, как и в предыдущей задаче, — координата, отсчитываемая вдоль какого-либо выбранного направления в пространстве, а случайное поле однородно в плоскости , Вводя в плоскости двумерный вектор так что , можно записать корреляционную

функцию поля в виде

Эту функцию можно разложить в двумерный интеграл Фурье:

где Функция называется двумерной спектральной плотностью поля или просто двумерным (пространственным) спектром. Показать, что для однородного и изотропного случайного поля двумерный спектр и трехмерный спектр связаны между собой соотношениями

Решение. Формула (2) следует из сопоставления (1) с трехмерным разложением (3.5), если учесть вещественность корреляционной функции для изотропного поля. Обращая (2), находим

Формула Получается отсюда при Отметим, что как функция от имеет характерный масштаб . В силу этого из (2) следует, что сосредоточена в области

5. Выразить спектральное разложение корреляционной функции поля, изотропного в плоскости , в виде однократного интеграла.

Решение. В общем случае корреляционная функция и ее двумерный спектр связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье:

В случае изотропного поля имеем Переход в формулах (1) к полярным координатам (соответственно в -пространствах) с последующим интегрированием по угловым переменным приводит к прямому и обратному преобразованиям Ганкеля:

    (2)

где , a — нулевая бесселева функция.

6. Найтн частотный спектр замороженного поля если соответствующее покоящееся случайное поле обладает гауссовой простраяственной корреляционной функцией

Ответ.

7. Найтн корреляционную функцию, пространственно-временной, пространственный и частотный спектры замороженного поля при релятивистских значениях скорости v, если известна функция корреляции пространственный спектр соответствующего покоящегося поля

Отает. Если скорость v направлена по оси то в соответствии с преобразованием Лоренца

Отметим, что если покоящееся поле изотропно, то замороженное поле статистически анизотропно.

8. Пусть а — изотропные и изотропно связанные случайные векторные поля. Найти общий вид корреляционного тензора в этом случае.

Решение. Для построения корреляционного тензора однородных и изотропных векторных полей мы располагаем только скалярными функциями от единичным вектором и единичным тензором . Поэтому общий вид корреляционного тензора будет

Рис. 2.

Вместо можно ввести две другие скалярные функции, положив

Сопоставление (I) и (2) показывает, что

где штрих означает производную по .

9. Показать, что для однородного и изотропного потенциального поля а продольная и поперечная функции корреляции введенные в предыдущей задаче, связаны соотношением (А. М. Обухов)

а для соленоидадьного поля -соотношением (Т. Карман)

Решение. Пусть — -потенциальное поле, - корреляционная функция потенциала . Тогда

т. е. в формуле (2) предыдущей задачи Следовательно, по формулам (3) той же задачи откуда и вытекает (1).

Рассматривая солеиоидальиое поле, умножим на а проведем статистическое усреднение, используя соотношение (2) задачи 8. Это - приводит к условию откуда с точностью до постоянной, которую всегда можно включить в U, имеем Отсюда следует, что,

Согласно формулам (3) задачи 8

что эквивалентно (2).

10. Показать, что при условии однородности и изотропности векторвоег соленоидальное поле а не коррелировало со скалярным полем (А. М. Обухов) и с векторным потенциальным полем

Решение. Для однородных и изотропных полей корреляционная функция должна быть вектором, параллельным :

где — скалярная функция. Поскольку для соленоидального поля должно быть

т. с. вектор В должен быть соленоидальным означает дифференцирование по . В отсутствие источников единственное допустимое решение есть

что и означает некоррелированность скалярного и соленоидальиого векторного полей. Отсюда вытекает также некоррелированность соленоидальиого и потенциального векторных полей:

11. О флуктуациях с корреляционными, функциями типа (2.24) и (2.25) говорят как об одно масштабных флуктуационных полях, имея в виду, что поведение характеризуется только одним масштабом (пространственный спектр таких флуктуаций содержит, разумеется, множество масштабов, сосредоточенных в области . Реальные функции корреляции часто имеют много характерных масштабов (при этом говорят о многомасштабных флуктуациях). Иногда удобно аппроксимировать такие функции суперпозицией гауссовых функций корреляции, т. е. записывать коэффициент корреляции в виде

подчиняя, конечно, весовую функцию условию нормировки

обычный гауссов коэффициент корреляции получается отсюда при

Найти весовую функцию , отвечающую:

а) экспоненциальному коэффициенту корреляции

б) локально однородной и изотропной модели турбулентных флуктуаций диэлектрической проницаемости воздуха; коэффициент корреляции для таких флуктуаций в соответствии с (4.19) имеет асимптотические выражения

Ответ.

12. В ч. 1, § 47 было выведено выражение для функции корреляции интенсивностей двух нормальных комплексных колебаний в предположении, что Получить аналогичное выражение для случая, когда среднее значение случайного поля отлично от нуля.

Ответ. В обозначениях , где , функция корреляции интенсивностей есть

где

Используя результаты задачи 2 к гл. , получим

При отсюда следует формула

которая в случае принимает вид

13. Пусгь — функционал степени:

Показать, что

а) значение вависит только от симметричной по всем аргументам части функции А;

в) в случае симметричной функции А

(аналог формулы

Указание. Задачу полезно решить тремя способами: исходя из опре деления (7.2), при помощи формулы (7.4) и при помощи правил

14. Найтн вариационную производную функционала действия классической механики

Решение. Дифференцируя под знаком интеграла, получаем

На основании (7.7)

Так как пронаводная есть предел отношения можно на основании (7.5) внестк операцию функционального дифференцировании под знак после чего использовачь (7.8):

Для второго слагаемоги в используя (7.7) и (7.8), получаем

В результате

откуда

Принцип наименьшего действия дает уравнение движения

15. Найти для функционала

Ответ.

т. e. вариационная производная представляет собой левую часть уравнения Эйлера—Лагранжа.

Для получения этого результата следует использовать формулы подобно тому как это сделано в предыдущей задаче.

16. Вывести формулу для аналогичную формуле (7.17) для

Ответ.

17. Исходя из выражений (7.20) для центральных моментов гауссова чайного поля получить характеристический функционал для флуктуаций

Решение. Согласно (7.14) имеем причем, в силу (7.20), в этой сумме присутствуют только члены с

Используя теперь вторую формулу (7.20), получаем

Интеграл кратности распадается на произведение двукратных интегралов, отличающихся друг от друга лишь обозначением переменных интегрирования. Каждый из двукратных интегралов имеет вид

Следовательно, каждый из членов внутренней суммы равен а так как сумма содержит всего членов, функционал равен

или, поскольку

Таким образом,

Очевидно, эта формула является частным случаем (7.18), отвечающим нулевому среднему значению, как это и должно было получиться поскольку Тем самым доказана эквивалентность определений гауссова случайного поля при помощи равенств (7.20) и при помощи характеристического функционала (7.18).

18. Найти характеристический функционал пуассоновского случайного яоля (7.21).

Решение. По определению пуассоновского поля

где каждая изуг ловых скобок с индексом внизу означает усреднение по соответствующим случайным величинам. Очевидно,

Выполним усреднение по . Так как где - характеристическая функция для находим

Далее произведем усреднение по Оно сводится к интегрированию каждого сомножителя по с весом по области V:

Обозначим здесь выражение в квадратных скобках через а. Последнее усреднение (по распределению Пуассона для ) дает

Таким образом, получаем

что, в силу тождества

можно записать в виде

Вводя — среднее число случайных точек в единице объема, приходим X формуле (7.22).

19. Исходя из формулы (7.22), получить кумулянтные функции пуассоковского случайного поля.

Решение. Имеем

Подстановка разложения характеристической функции

дает

Запишем степень интеграла в виде -кратного интеграла и изменим ПО рядок интегрирования по

Сравнивая это выражение с (7.15). получаем, что

20. Показать, что если А имеет гауссово распределение вероятностей и то при пуассоновское случайное поле стремится к гауссову. Показать, что аналогичный результат можно получить, если считать, что А имеет плотность вероятностей , т. е. нормальность распределения вероятностей для амплитуд несущественна.

Указание. Воспользоваться формулой (7.23) для кумулянтов пуассоновского случайного поля.

21. Исходя из (7.27), получить формулу для вычисления среднего значения от произведения пуассоновского случайного поля на функционал

Решение. Согласно (7.22)

Действуя на это равенство оператором найдем

Но

Полагая получаем

В результате формула (7.27), с учетом операторной записи функционального ряда Тейлора (7.10), принимает вид

22. Пусть -Детерминированные функции, -случайные гауссовы функции переменных причем

Пусть функции подчинены системе динамических уравнений

с начальным условием

Вывести дифференциальное уравнение для плотности вероятностей решения уравнений (2).

Решение. Продифференцируем по

и подставим сюда из уравнений (2):

Последнее выражение — результат вынесения за скобку и за знак среднего, поскольку единственный сомножитель, зависящий от это дельта-функция. Используя равенство

получаем

где мы вынесли за знак среднего неслучайный множитель . Так как получаем уравнение

где

Уравнение (3) не является замкнутым, так как кроме искомой функции w в него входят еще неизвестные функции . Дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить через w. Используем для этого формулу Фуруцу—Новикова (7.33), которая в нашем случае и с учетом имеет вид

Для того чтобы получить надо, согласно (4), положить Это эполне законное равенство, поскольку будучи решением системы уравнений (2), является функционалом от

Чтобы найти обратимся сиова к уравнениям (2). Проинтегрировав по i, находим

Отсюда видно, что зависит от значений принимаемых только на интервале Поэтому

Формула (7) показывает, что решения системы уравнений (2) удовлетворяют принципу динамической причинности. Запишем (6) в виде

н применим к выражениям оператор , где :

Первое слагаемое в фигурной скобке проинтегрируем по частям. Во втором же слагаемой учтем, что, согласно (7.32),

и используем при интегрировании наличие этих дельта-функций. В результате

Но, в силу условия причинности (7), при что поаволяет заменить ннжннб предел интеграла по на

Тогда переход к пределу при обращает интеграл в нуль и мы получаем точную формулу

являющуюся следствием динамических уравнений (2).

Вернемся к формуле (S) для Так как при в сил; (7) имеем интегрирование по в (5) происходит в пределах . При выполнении интегрирования по следует учесть, что поскольку фигурирующая здесь дельта-фуикцня предполагается пределом четной корреляционной функции. Поэтому

Так как имеем

или, в силу (8),

Усредняя это равенство, получаем формулу

с учетом которой выражение (9) принимает вид,

Записывая ннтегранд в виде

получаем

Таким образом, функция выражена через искомую плотность вероятностей после чего (3) становится замкнутым уравнением:

где введено обозначение

Уравнение (10) представляет собой уравнение Эйнштейна—Фоккера, соответствующее динамической системе (2). В ч. 1, § 36 оно было приведено без вывода, причем множители при в корреляционной матрице воздействий были обозначены через