Задачи

1. Исхода из уравнения (60.19), получить УПИ для случая, когда сред нее поле не равно нулю

Решение. Введем обозначение и подставим в , где Из уравнения (50.6) легко получить, что

С учетом этого уравнения находим после подстановки в следующее уравнение для

Пренебрегая, как и при переходе от (50.19) к (50.20), величиной в аргументах и , получаем уравнение, обобщающее (50.20):

Введем трансформанты Фурье

Выполняя преобразование Фурье уравнения (3) и учитывая формулы (50.24), (50.25), получим

Если искать решение этого уравнения в виде

то это приводит и следующему уравнению для

(здесь использованы те же обозначения, что и в (50.29) и (50.30)).

Уравнение (6) отличается от стандартного УПИ (50.31) наличием дополнительного (последнего) слагаемого, описывающего трансформацию когерентной части поля в некогерентную. Формула (50.33) теперь справедлива не для Г, а для функции корреляции:

2. Плоская волна падает на объем К, внутри которого Размер объема V мал по сравнению с длиной экстникции d, так что рассеяние волны на неоднородностях можно описывать в борновском приближении. Получить решение задачи о рассеянии» исходя из УПИ, выведенного в предыдущей задаче, и пренебрегая различием между

Рис. 70.

Решение. Поскольку рассвивающий объем мал по сравнению с d, энергия рассеянного поля значительно меньше энергии падающей волны. Поэтому в УПИ (формула (6) предыдущей задачи) можно пренебречь членами, описывающими экстинкцию и рассеяние некогерентного волн, т. е. в правой части остается только последний член:

Здесь специально выделена зависимость от R, так как флуктуации не являются статистически однородными. Так как размер рассеивающего объема мал по сравнению с , можно считать, что и , где — единичный вектор вдоль направления распространения первичной волны, а амплитуда. Тогда (обозначения те же, что и в предыдущей задаче)

Подставляя (2) в (1), получаем уравнение

Функция отлична от нуля только внутри рассеивающего объема V. Так как , где — производная по направлению единичного вектора (рис. 70), то очевидно, что решение уравнения (3) имеет

следующий вид:

Найдем теперь , воспользовавшись формулой (7) задачи 1:

Введем новую переменную интегрирования представляющую собой радиус-вектор проведенный из точки R. Тогда

Формула (5) принимает вид

В гл. IV эта формула была получена в приближении однократного рассеяния, и, как ясно из проведенного там вывода, она полностью учитывает дифракционные эффекты. Таким образом, данная задача непосредственно подтверждает, что УПИ описывает дифракционное поведение поля.