Глава IX. РАССЕЯНИЕ НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

§ 51. Рассеяние на малых неровностях. Метод возмущений

Поверхности реальных тел всегда в той или иной степени неровны, в силу чего отражение и преломление волн на этих поверхностях сопровождаются явлениями, которые отсутствуют в случае идеально гладких границ раздела. Разумеется, степепь «гладкости» определяется в первую очередь соотношением между длиной волны и геометрическими параметрами неровностей. Одна и та же поверхность, «идеально» гладкая для радиоволн или звука, может быть шероховатой для света или ультразвука.

Неровности могут изменяться со временем (морское волнение, тепловые флуктуации формы поверхности), но могут быть и практически неизменными (рельеф суши или морского дна, поверхность бумаги, матового стекла, вообще твердого тела). Наконец, как и для объемных неоднородностей среды, сами задачи об отражении и преломлении волн на неровных поверхностях или о дифракции и рассеянии на них могут быть и детерминированными, и статистическими. Последние возникают, как обычно, в тех случаях, когда нас интересует не какой-то конкретный, «индивидуальный» вид неровной понерхности, а характеристики ансамбля таких поверхностей. Со статистическим ансамблем приходится иметь дело при наличии большого числа неровностей на облучаемом участке поверхности (шероховатые поверхности), но возможны, конечно, и такие ситуации, когда речь идет о малом количестве неровностей. Например, нас может интересовать рассеяние от некоторого единичного выступа на плоскости, ансамбль же состоит из реализаций с выступами разного вида, причем геометрические и (или) физические характеристики выступа случайны (подчинены определенным вероятностным распределениям).

Рассеяние волн на телах, имеющих случайную форму или занимающих случайное положение, мы отнесли в § 8 к задачам

типа 3). Обычная постановка задач этого типа состоит в том, чтобы найти статистические характеристики рассеянного поля по заданной статистике неровностей, но часто возникает необходимость и в решении обратной задачи — по статистике рассеянного поля определить свойства поверхности.

Характер рассеяния определяется многими факторами. Кроме размеров неровностей и длины волны падающего излучения, играют роль и размеры рассеивающей площади, и способ ее облучения, а также поляризация первичной волны, отражающие и преломляющие свойства вещества и т. д. В зависимости от соотношения между различными параметрами применяют те или иные приближенные методы расчета рассеянного поля. Мы рассмотрим только два наиболее простых и часто применяемых метода — метод малых возмущений и метод Кирхгофа. Сведения о более общих методах, учитывающих многократное рассеяние, можно найти в монографии [I] и в обзорной статье [2].

Пусть шероховатая поверхность задана уравнением Примем, что , т. е. ограничимся случаем в среднем плоской поверхности, уклонения от которой описываются случайным полем Если поверхность представляет собой границу двух сред, то на ней должны выполняться соответствующие «двусторонние» граничные условия. Например, если — потенциалы акустической скорости в первой и второй средах, то для звуковых воли на границе должно выполняться равенство нормальных компонент скорости — нормаль к поверхности) и равенство давлений , где — плотности сред). В электромагнитной задаче на границе должны быть непрерывны тангенциальные компоненты напряженностей Рассеянные волны распространяются при этом в обеих средах.

Рассматривая для простоты скалярные волны, мы упростим постановку задачи еще в одном отношении: будем считать, что распространение волн возможно лишь в одной среде, т. е. поверхность либо «абсолютно мягкая» (на пей либо «абсолютно жесткая» В обоих случаях происходит полное отражение. В электромагнитной задаче этому соответствует идеально проводящая поверхность и поверхность идеального магнетика

Итак, для абсолютно мягкой поверхности граничное условие имеет вид

а для абсолютно жесткой —

причем единичный вектор внешней нормали N имеет компоненты

— поперечный оператор дифференцирования.

Строгих методов решения волнового уравнения со случайными граничными условиями (51.1) или (51.2) не существует, и задачу удается решить лишь приближенно, при определенных ограничениях, налагаемых на размеры и форму неровностей. Мы рассмотрим ниже два случая таких ограничений, при которых и приложимы два упомянутых метода. А именно — мы рассмотрим поверхности, неровности которых в масштабе длины волны Я либо малы и пологи, либо плавны. В первом случае применим метод малых возмущений, а во втором — метод Кирхгофа.

Пологость неровностей означает, что наклоны поверхности в среднем невелики, т. е.

где — средний квадрат уклонения от невозмущенной поверхности , а - характерный размер неровностей. Разумеется, это неравенство, справедливое для среднего квадрата, при расчетах используется еще до усреднения.

Малость неровностей означает, что моменты малы по сравнению с соответствующими степенями длины волны, в частности,

В результате для малых и пологих неровностей можно использовать разложение как граничного условия, так и искомого решения по степеням малых параметров в чем и состоит метод малых возмущений.

В случае плавных неровностей величина уклонения J не ограничивается, а условие пологости заменяется требованием малой кривизны (плавности) неровности: радиусы кривизны поверхности должны быть велики по сравнению с X:

Соответственно неоднородности должны обладать большой протяженностью в направлениях х и у (крупномасштабные неровности). При этих условиях применимо кирхгофово приближение: поле в окрестности каждой точки поверхности приближенно представляется суммой падающей волны и волны, отраженной от соприкасающейся плоскости в этой точке; при этом используются локальные значения «плоских» коэффициентов отражения

(в электромагнитной задаче — френелевских коэффициентов). Под падающей волной можно понимать не. только первичную волну, но и волны, попадающие на данный участок поверхности в результате отражения от других ее участков. Простейшим является случай, когда многократные отражения отсутствуют.

Для плавных неровностей отношение может и не быть малым. В принципе метод Кирхгофа применим и в этом случае крутых неровностей . Ясно, однако, что с ростом крутизны неровностей многократные отражения будут все более существенными. Учесть их, пользуясь методом Кирхгофа, очень трудно. Для того же, чтобы ими можно было пренебречь, опять-таки требуется даже в случае крупномасштабных неровностей определенная их пологость. Она нужна еще и для того, чтобы можно было пренебречь затенениями одних элементов поверхности другими, хотя учет затенений осуществить легче, чем учет многократных отражений. Таким образом, в отличие от метода возмущений, наклон неровностей не является в методе Кирхгофа малым параметром. Пологость требуется лишь для упрощения задачи, т. е. в той мере, в какой это нужно для пренебрежения многократными отражениями и затенениями. Метод Кирхгофа мы рассмотрим в § 52, а сейчас обратимся к случаю малых неровностей.

Как сказано, в основе метода возмущений лежит разложение искомого поля и и граничных условий в ряды по степеням малых параметров Такой подход был впервые предложен еще Релеем для случая синусоидальных неровностей и был применен затем Л. И. Мандельштамом к статистической задаче о рассеянии света на неровностях, обусловленных тепловыми флуктуациями поверхности жидкости [3].

Пусть — первичное монохроматическое поле, падающее на шероховатую поверхность (множитель для краткости опускаем). Запишем решение уравнения Гельмгольца в виде ряда

где член ряда имеет порядок или Этот ряд представляет собой разложение по кратности рассеяния.

В случае абсолютно мягкой поверхности граничное условие (51.1), разложенное по степеням принимает вид

здесь и далее нижним индексом 0 отмечены значения поля и его производных по при . В данном случае в граничное условие не входит, так что требование пологости (51.4) для

абсолютно мягкой поверхности является излишним и в разложении (51.7) используется только один малый параметр

Подставив (51.7) в (51.8), получаем граничные условия (уже на плоскости которую иногда называют подстилающей) для последовательных приближений поля:

Таким образом, нахождение n-кратно рассеянного поля сводится к рассмотренной в § 9 задаче о волновом поле, имеющем заданное значение на плоскости Это заданное значение известно, коль скоро известны полученные одно за другим предшествующие приближения от до Случайный характер граничных значений обусловлен присутствием в (51.9) случайной функции

Для фактического нахождения поля в приближении можно воспользоваться либо формулой Грина (9.12), либо методом Релея (разложение по плоским волнам — формулы для плоской границы оба подхода эквивалентны. Проведем расчеты по формуле Грина (9.12), которая для полей нулевого и первого приближения дает следующие выражения (здесь )

В рассматриваемом случае, когда на плоскости заданы сами поля, вычисление имеет смысл как для ограниченного участка площади 2 этой плоскости, так и для всей бесконечной плоскости. Если берется конечная площадка, то в предположении, что ее размеры велики по сравнению с длиной волны, мы можем воспользоваться гипотезой Кирхгофа о том, что формулы (51.10), написанные для бесконечной плоскости, остаются в силе и на рассматриваемой площадке конечных размеров, и надо только ограничить область интегрирования в (51.10) пределами площадки. Пусть на шероховатую поверхность под углом к оси падает плоская волна

    (51.11)

где вектор в направлении распространения падающей волны, причем . В случае бесконечной поверхности ясно и без расчета по первой из формул (51.10), что в нулевом приближении мы имеем зеркально отраженную волну

    (51.12)

Если площадка имеет конечные размеры, то по гипотезе Кирхгофа вблизи площадки поле тоже представляет собой зеркально отраженную волну (51.12), но на достаточных удалениях от площадки поле превращается в направленную сферическую волну с максимумом интенсивности в направлении зеркального отражения.

Рис. 71.

Поле нулевого приближения представляет для нас интерес лишь в той мере, в какой оно определяет величину однократно рассеянного поля . Из (51.11) и (51.12) следует, что

и, стало быть, в соответствии с (51.10),

    (51.13)

Второй вариант этой формулы относится к случаю когда точка наблюдения удалена от плоскости по меньшей мере на несколько длин волн.

Среднее значение поли равно нулю, а расчет его средней интенсивности во многом сходен с вычислением в случае рассеяния на объемных неоднородностях. В предположении о статистической однородности флуктуаций при помощи (51.13) находим

где функция корреляции неровностей, Введем новые переменные интегрирования и разложим R и R в ряды Тейлора по разностной переменной . Наличие под интегралом функции корреляции быстро спадающей до нуля при позволяет ограничиться в этих разложениях первыми членами.

А именно при можно приближенно заменить знаменателе подынтегрального выражения на а разность в показателе

Рис. 72.

Через обозначен единичный вектор в направлении от точки рассеяния на плоскости к точке наблюдения , а через — поперечная составляющая этого вектора:

Далее, распространив пределы интегрирования по до бесконечности (это возможно, даже если площадка конечна, но велика по сравнению с радиусом корреляции ), находим

где

    (51.15)

— преобразование Фурье функции корреляции, т. е. двумерный пространственный спектр неоднородностей; — поперечная компонента вектора рассеяния (рис. 72). В результате в (51.14) остается только интеграл по

    (51.16)

который распространяется на всю плоскость или только на ее часть 2, если шероховатая поверхность имеет конечные размеры.

Согласно (51.16) каждый элемент поверхности с центром в точке дает в суммарную интенсивность вклад

    (51.17)

где — косинус угла между вектором — и осью z (рис. 71). Формула (51.16) отражает, таким образом, избирательный характер рассеяния: в заданном направлении рассеивает только определенная «гармоника» неровностей, отвечающая вектору рассеяния что полностью аналогично селективности рассеяния на объемных неоднородностях (см. § 25). В частности, при нормальном падении первичной волны, когда , длина волны «активной» гармоники неровностей равна При рассеянии в направлении зеркального отражения, когда , обращается в бесконечность. Наконец, при обратном рассеянии

Величина

    (51.18)

т. е. коэффициент при в формуле (51.17), представляет собой сечение рассеяния единичной площадки абсолютно мягкой поверхности в направлении . В отличие от объемного рассеяния, сечение (51.18) безразмерно. Формула (51.16), записанная в виде

    (51-19)

явно выражает некогерентность волн, рассеянных отдельными элементами шероховатой поверхности, их сложение по интенсивности. В рассматриваемом случае абсолютно мягкой поверхности сечение (51.18), содержащее множитель обращается в нуль при скользящих углах падения и отражения, т. е. при Именно поэтому интеграл (51.19) сходится даже при интегрировании по всей плоскости

Если рассеивающая поверхность имеет конечную площадь и в пределах этой площади величины практически

постоянны, то

Условие постоянства в пределах площадки с максимальным размером L записывается, как нетрудно установить, в виде

Случай абсолютно жесткой поверхности отличается тем, что рассеянное поле уже в первом приближении зависит не только от , но и от Из (51.2) и (51.5) следует, что на граннце должно быть

Подставляя сюда разложение (51.8), находим

Таким образом, для последовательных приближений поля, в отличие от (51.9), получаются граничные условия, содержащие

    (51.22)

Для нахождения полей по заданным на плоскости значениям нормальной производной можно воспользоваться формулой Грина (9.13):

    (51.24)

Пусть на шероховатую поверхность падает плоская волна (51.11). Ясно, что в непосредственной близости к площадке регулярно отраженнаи волна удовлетворяющая первому из граничных условий (51.22), подчиняется законам зеркального отражения и записывается в виде

Тогда выражение в фигурных скобках в (51.24) равно

Среднее значение этой величины равно нулю, а функция корреляции выражается через 4; (1) следующим образом:

    (51.25)

(дифференцирование здесь производится ). Подсчитаем среднюю интенсивность рассеянного поля

    (51.26)

Как и ранее, целесообразно перейти к новым переменным интегрирования и заменить приближенно на Используя (51.25), запишем выражение для в виде

Внутренний интеграл выражается через двумерную спектральную плотность неровностей и поэтому

Но и поэтому

В результате имеем

    (51.27)

Это выражение можно представить в форме (51.19), если ввести сечение рассеяния единичной абсолютно жесткой площадки

которое отличается отсечения рассеяння мягкой площадки (51.18) другим множителем при Этот множитель (а тем самым и сечение ) не стремится к нулю при скользящих углах, падения и отражения, так что нитеграл (51.27), взятый по всей плоскости расходится. Разумеется, интенсивность реального рассеянного поля не может обращаться в бесконечность. Расходимость связана лишь с примененным

методом расчета, а именно с использованием первого приближения. Расходимость интеграла в (51.27) в этом приближении влечет за собой появление бесконечностей и в последующих приближениях, но интенсивность суммарного поля должна оставаться конечной.

Указанную расходимость можно устранить, применяя усовершенствованные формы теории возмущений, учитывающие затенения и многократное рассеяние уже в нулевом приближении. Не вдаваясь в подробности, отметим только, что при учете затенений и многократного рассеяния (о которых кратко будет сказано в § 53), в отличие от (51.28), сечение рассеяния аж обращается в нуль при скользящих углах падения и рассеяния, т. е. при или (когда или ), а при умеренных значениях углов и 0 сечение совпадает с (51.28). Таким образом, расчет интенсивности рассеянного поля по формуле (51.27) правомерен лишь для площадок конечных размеров. Переход же к бесконечным пределам требует использования более точного выражения для

Рассмотрим угловую зависимость сечения рассеяния а для мягкой и жесткой границ на примере шероховатой поверхности с изотропной гауссовой функцией корреляции неровностей

которой отвечает спектральная плотность

Если положить то по формулам (51.18) и (51.28) находим

При малых (мелкомасштабные неровности) угловая зависимость определяется предэкспоненциальными множителями; при этом рассеяние происходит в широкий сектор углов с раствором порядка 90°. Зависимость сечений от угла (при фиксированных значениях угла падения 0, и азимутального угла ) показана на рис. 73, а и 73, б. Пунктиром на рис. 73, б показан истинный ход индикатрисы аж (0) с учетом многократного рассеяния.

При форма диаграммы рассеяния определяется в основном экспоненциальным множителем, одинаковым для . Максимальное значение а приходится в этом случае на направление зеркального отражения а убывание интенсивности в раз происходит при угловом отклонении от максимума примерно на (рис. 74).

Рис. 73.

Нетрудно подсчитать, что при и для углов падения, не слишком близких к скользящему отношение полной интенсивности поля, рассеянного единичной площадкой,

к полной интенсивности падающего на эту площадку излучения приближенно равно

Отсюда видно, что с ростом высоты неровностей условие позволяющее ограничиться первым приближением теории возмущений, рано или поздно нарушается.

Рис. 74.

На практике чаще приходится встречаться не с рассмотренной постановкой задачи о рассеянии на шероховатых поверхностях (плоская первичная волна, в среднем плоская рассеивающая площадка), а со случаем, когда облучение большой (практически бесконечной) шероховатой поверхности производится волновым пучком — коллимированным или расходящимся. Именно так обстоит дело в радиолокации и гидролокации, а также в лабораторных экспериментах по рассеянию света. Путем незначительного видоизменения расчетов нетрудно обобщить выражение

(51.19) и на этот случай, учитывая также и возможное искривление подстилающей поверхности.

Пусть на шероховатую поверхность падает квазиплоская волна амплитуда которой А и локальный волновой вектор практически постоянны в масштабе радиуса корреляции неровностей Пусть уравнение поверхности задано в параметрической форме:

    (51.30)

где — уравнение невозмущенной (подстилающей) поверхности 20, а — случайные смещения по нормали к (рис. 75).

Рис. 75.

Если радиус кривизны подстилающей поверхности велик по сравнению с длиной волны X и с радиусом корреляции то малый элемент поверхности на который падает квазиплоская волна рассеивает так же, как и элемент плоской поверхности, касательной к . Обозначим через градиент эйконала падающей волны в точке рассеяния Р, лежащей на а через — единичный вектор в направлении от Р на точку наблюдения Q (рис. 75). Если под и понимать компоненты векторов касательные к 20, а под R — расстояние между Р и Q, то средняя интенсивность рассеянного поля запишется в виде

    (51.31)

где сечение определяется спектром неровностей в окрестности точки рассеяния Р. Пределы интегрирования определяются размерами либо рассеивающей площадки, либо облучаемой области, т. е. области, где амплитуда первичной волны заметно отличается от нуля. Формула (51.31), как и выражение (51.19), применима при условии При это условие слабее условия означающего удаление точки наблюдения во фраунгоферову зону отдельной неровности. В случае же формулы (51.19) и (51.31) справедливы уже при удалении на расстояния от шероховатой поверхности.