§ 44. Уравнения для статистических моментов волнового поля в приближении марковского случайного процесса

В соответствии с изложенными выше соображениями рассмотрим теперь приближение параболического уравнения

считая случайной функцией, дельта-коррелированной по .

Получим сначала уравнение для [2]. Для этого применим тождественное преобразование

при помощи которого уравнение (44.1) можно записать в следующей форме:

Проинтегрируем это уравнение в пределах от 0 до , обозначив переменную интегрирования в правой части через , а затем умножим обе его части на

В результате с учетом равенства

получим

    (44.3)

В правой части (44.3) под знак интеграла входит произведение двух случайных величин

Так как функционально зависит лишь от предшествующих по значений в экспоненту входят только последующие значения при для дельта-коррелированных по z случайных функций эти два сомножителя статистически независимы. Поэтому, усредняя уравнение (44.3), получаем соотношение

представляющее собой замкнутое уравнение относительно функции .

В уравнение (44.4) входит функция

Она известна, если заданы статистические характеристики случайной функции

Рассмотрим частный случаи, кода - гауссово случайное поле. В этом случае величина является rayccoвой со средним значением, равным нулю. Следовательно,

Найдем используя формулу (43.4):

В результате получаем для Р выражение

где введено обозначение .

Подставив (44.7) в уравнение (44.4), находим

После умножения (44.8) на и дифференцирования по получаем равенство

из которого вытекает искомое дифференциальное уравнение для среднего значения о:

Решением этого уравнения мы займемся позднее, а сейчас обратимся к выводу аналогичных уравнений для моментов любого порядка

    (44.10)

Прежде всего выведем дифференциальное уравнение для случайной функции

    (44.11)

Запишем для этого уравнение (44.1) для , обозначив через поперечный лапласиан по координатам точки

Умножим это уравнение на . Так как этот множитель не зависят от его можно внести под знак что дает

    (44.12)

Записав уравнение (44.1) для и домножив его на , получим

    (44.13)

Уравнения для имеют аналогичный вид. Взяв уравнение, комплексно сопряженное

запишем его для и, домножив на , получим

    (44.14)

Аналогичные уравнения справедливы также для

Сложив теперь все уравнения, начиная с (44.12), получаем уравнение для случайной функции у:

    (44.15)

где введены обозначения

    (44.16)

Уравнение (44.15) отличается от (44.1) только заменами . Поэтому, проделав такие же преобразования, как и при переходе от (44.1) к (44.2), (44.3) и (44.4), мы полним уравнение для аналогичное (44.4):

    (44.17)

Уравнение - замкнутое, а входящая в него функция

    (44.18)

известна, если заданы статистические свойства .

Рассмотрим, как и для , гауссово случайное поле . Тогда определяется формулой

Учитывая, что

получаем

Согласно (43.4)

так что

где

    (44.20)

Следовательно,

    (44.21)

Подставим (44.21) в уравнение (44.17), затем умножим обе его части на и продифференцируем по . В результате получим уравнение

которое, с учетом выражения (44.16) для , приводится к следующему окончательному виду:

    (44.22)

«Начальное» условие к уравнению (44.22) имеет форму

При из формулы (44.20) следует, что

    (44.23)

а для из (44.22) получаем прежнее уравнение (44.9).

Запишем еще уравнение для момента , т. е. для поперечной функции когерентности. Полагая в получаем

где использовано обозначение (43.7). Уравнение (44.22) принимает при вид

    (44.24)

Решение этого уравнения будет подробно рассмотрено в следующем параграфе. Функция взаимной когерентности играет важную роль при описании статистических свойств излучения. В частности, при она переходит в среднюю интенсивность волны:

Наконец, запишем уравнение для момента четвертого порядка

Полагая с учетом четности функции получаем из формулы (44.20)

Уравнение (44.22) принимает в этом случае вид

    (44.25)

Момент связан с флуктуациями интенсивности волны. Исследованию их свойств будет посвящен § 46.

Совокупность всех уравнений (44.22) эквивалентна одному уравнению с функциональными производными для совместного Характеристического функционала случайных полей (см. [22]). Это уравнение и является аналогом уравнения Эйнштейна — Фоккера для рассматриваемой здесь задачи.