§ 35. Флуктуации уровня

Как мы уже указывали, уровнем амплитуды или просто уровнем называют величину

где — некоторая постоянная величина той же размерности, что и А, например амплитуда невозмущенной волны. Найдем функцию корреляции уровня

Уровень удовлетворяет уравнению

которое непосредственно вытекает из уравнения переноса (32.5). Представим в виде ряда по :

где невозмущенное значение уровня, т. е. решение уравнения

Подставляя ряд (35.2) и аналогичное разложение (32.11) для эйконала в уравнение (35.1) и учитывая (35.3), для поправки получаем

В этом уравнении можно приближенно заменить и на и , где — операторы поперечного дифференцирования. Действительно, по порядку величины

в то время как Поскольку нас интересуют дистанции большие по сравнению с радиусом корреляции неоднородностей , можно считать, что . Подобным же образом можно показать, что . В результате уравнение (35.4) принимает вид

У плоской и ненаправленной сферической волн поскольку на фазовом фронте амплитуда таких волн постоянна и последнее слагаемое в (35.5) исчезает. Этим слагаемым можно пренебречь и во многих других случаях, например в случае волнового пучка или направленной сферической волны с шириной луча а, превышающей радиус корреляции неоднородностей . В самом деле, по порядку величины

откуда следует, что третье слагаемое в (35.5) примерно в раз меньше, чем второе. Пренебрегая членом с и учитывая, что

запишем уравнение для в следующей форме:

Решение уравнения (35.6) имеет вид

так что поперечная корреляционная функция уровня выражается через корреляционную функцию эйконала таким образом:

Здесь - лежат на невозмущенных лучах, приходящих и точки наблюдения (рис. 45), а поперечные операторы Лапласа по переменным

Рис. 45.

Ограничимся анализом флуктуаций уровня для плоской и сферической волн, распространяющихся в статистически однородной среде с

Согласно корреляционная функция эйконала плоской волны равна

где - меньшее из двух расстояний — расстояние между двумя параллельными лучами, приходящими в точки . Подставляя (35.9) в (35.8), получаем

Двукратный интеграл в (35.10) легко вычисляется;

так что для плоской волны

    (35.11)

Таким образом, флуктуации уровня нарастают пропорционально кубу пройденной волной дистанции L, тогда как поперечная

корреляционная функция эйконала плоской волны (33.15) растет пропорционально

    (35.12)

Заметим, что если интеграл в (35.11) выразить через корреляционная функция уровня плоской волны запишется в внде

    (35.13)

Эта формула упрощает вычисление если известна корреляционная функция эйконала

Корреляционную функцию уровня можно выразить также через спектральную плотность флуктуаций диэлектрической проницаемости:

    (35.14)

Полагая в (35.11) или , получаем два варианта формулы для дисперсии уровня амплитуды:

    (35.15)

В случае изотропных флуктуаций функция корреляции уровня зависит только от модуля расстояния между точками наблюдения:

или в иной форме

    (35.17)

В частности, для гауссовой корреляционной функции (33.12) расчет по любой из формул (33.16) или (33.17) дает

    (35-18)

где

Полезно отметить, что отношение дисперсии уровня к дисперсии фазы по порядку величины равно

т. е. определяется квадратом волнового параметра Но в области применимости геометрической оптики выполняется условие (32.10), при котором волновой параметр мал (размер первой зоны Френеля мал по сравнению с размером неоднородностей). Поэтому в пределах применимости метода геометрической оптики флуктуации уровня должны быть малы по сравнению с флуктуациями фазы:

    (35.21)

Это позволяет в ряде случаев, например при вычислении в рамках геометрической оптики среднего поля и функции когерентности, пренебречь амплитудными флуктуациями по сравнению с фазовыми (§ 37).

Обратимся еще раз к выражению (35.14), которое можно рассматривать как двумерное разложение функции корреляции в интеграл Фурье. Следовательно, величина

    (35.22)

представляет собой двумерную спектральную плотность флуктуаций уровня амплитуды. В случае изотропных флуктуаций

    (35.23)

Входящий в (35.23) множитель приводит к ослаблению вклада крупномасштабных составляющих спектра флуктуаций . Это означает, что в приближении геометрической оптики флуктуации амплитуды обусловлены в основном мелкомасштабной частью спектра флуктуаций проницаемости . Наличие в (35.23) множителя позволяет пользоваться этой формулой и в случае локально однородных и изотропных полей, когда пространственный спектр может иметь при степенную особенность вида

Следует специально отметить, что обращение двумерной спектральной плотности L) в нуль при эквивалентно равенству

    (35.24)

которое и случае изотропных флуктуаций принимает вид

    (35.25)

Соотношения (35.24) и (35.25) тесно связаны с законом сохранения энергии. Подробно этот вопрос рассмотрен в § 46, где показано, что в случае плоской волны интеграл от флуктуационной компоненты взятий по всей плоскости, равен нулю:

    (35.26)

(заметим, что встречающийся иногда вывод соотношения (35.26) с использованием свойства пространственной эргодичности , некорректен). Но, поскольку при малых флуктуациях уровня (когда только и можно пользоваться приближением геометрической оптики) имеем

так что из (35.26) вытекает закон сохранения для

    (35.27)

Умножая (35.27) на и усредняя, получаем (35.24).

Из (35.24) следует, что функция корреляции уровня обязательно должна наряду с положительными значениями принимать и отрицательные. Это можно видеть и на частном примере среды, у которой флуктуация имеет гауссову корреляционную функцию: выражение (35.18) в этом случае отрицательно в интервале

Несколько сложнее вычисляется функция корреляции уровня амплитуды сферической волны. Пусть источник и точка наблюдения находятся в статистически однородной среде. Согласно (33.22)

    (35.28)

причем текущее расстояние между лучами, приходящими в точки

равно (рис. 45)

Дифференцирование (35.28) дает

и в результате по формуле (35.8) находим

Текущее расстояние между лучами здесь можно выразить через расстояние между точками наблюдения

Упростим выражение (35.30), воспользовавшись соотношением

которое легко доказывается повторным интегрированием по частям. В нашем случае

н поэтому

Полученный результат можно представить в иной форме, если учесть, что внутренний интеграл равен корреляционной функции плоской волны (35.11), умноженной на

или если ввести безразмерную переменную интегрирования

    (35.33)

При отсюда следует универсальная связь между дисперсиями уровня в плоской и сферической волнах. Поскольку

дисперсия уровня сферической волны в 10 раз меньше, чем у плоской:

    (35.34)

Это соотношение, как и выведенные ранее соотношения (34.10) и (34.21) для дисперсий углов прихода и боковых смещений луча, универсально, разумеется, только в области применимости приближения геометрической оптики.

Множитель в формулах (35.33) и (35.34) определяет относительный вклад различных участков луча в суммарный эффект флуктуаций уровня амплитуды сферической волны. Появление этого множителя, который обращается в нуль в начале и в конце (s — L) трассы, связано с фокусировкой и дефокусировкой на неоднородностях среды, т. е. с их линзовым действием. Известно, что линза, помещенная вблизи точечного источника света или вблизи точки наблюдения, не влияет на интенсивность сферической волны. Линзовым же эффектом объясняется и относительная малость флуктуаций сферической волны по сравнению с плоской: неоднородности, расположенные в начале трассы, практически не влияют на величину флуктуаций амплитуды сферической волны, тогда как именно эти неоднородности сильнее всего сказываются на флуктуациях плоской волны.