§ 47. Учет конечности продольного радиуса корреляции флуктуаций в и границы применимости марковского приближения

До сих пор мы предполагали, что случайную функцию можно считать дельта-коррелированной по , опираясь на качественный анализ, проведенный в § 43. Однако у нас пока нет количественных оценок, из которых можно было бы получить поправки к результатам марковского приближения, связанные с конечностью продольного радиуса корреляции е. Рассмотрим теперь более общий метод вывода уравнений для моментов волнового поля, позволяющий учесть конечность продольного радиуса корреляции , но сразу же ограничимся при этом случаем, когда — нормальное случайное поле.

Будем исходить из параболического уравнения

и выведем систему уравнений для среднего поля . Усредняя (47.1), получаем уравнение

которое не замкнуто, поскольку содержит, наряду с искомой функцией V, новую неизвестную функцию Так как гауссова случайная функция, а и — функционал от нее, можно применить для нахождения формулу Фуруцу—Новикова (7.30), которая в данном случае имеет вид

Верхний предел интегрирования здесь равен , так как при в силу условия причинности.

которое мы рассмотрели в § 43. Обозначив

запишем уравнение (47.2) с подставленным в него значением (47.3) для в следующем виде:

Это уравнение, как и (47.2), не замкнуто.

Найдем теперь уравнение для функции . Для этого подействуем на равенство (47.1) оператором , где

Здесь отброщен член , возникающий при дифференцировании , так как при . Усредним уравнение (47.5):

Но тоже является функционалом от , в силу чего для вычисления этой величины можно снова применить формулу Фуруцу—Новикова:

Введем обозначение

Отметим, что функция S, не меняется при перестановке аргументов . Подставляй (47.7) в (47.6), находим

Ясно, что использованный процесс можно продолжить и получить в результате бесконечную цепочку уравнений для функций

Рассмотрим граничные условия к уравнению (47.8) и аналогичным уравнениям для Так как само уравнение справедливо при граничное условие должно ставиться при . Иными словами, нам надо найти . Проинтегрируем для этого уравнение (47.1) по z, после чего применим оператор :

Так как при нижний предел интегрирования в первом интеграле можно заменить на . Второй же интеграл вычисляется, и в результате мы приходим к формуле

Положив здесь (при этом интеграл обращается в нуль), мы получаем

Это равенство является точным следствием уравнения (47.1). Усредняя (47.9) и полагая получаем граничное условие к уравнению (47.8):

    (47.10)

Из формулы (47.9) можно получить граничные условия и для функции Для этого применим к (47.9) оператор , усредним результат и положим затем

    (47.11)

производя -кратное функциональное дифференцирование формулы (47.9), можно аналогичным путем получить граничное условие для функции

До сих пор мы не делали предположения о дельта-коррелированности . Если сделать это предположение в уравнении (47.4), т. е. положить в нем

то интеграл по в (47.4) вычисляется и мы получаем

причем при интегрировании -функции появляется множитель . Но функция при совпадающих значениях продольной координаты нам уже известна из формулы (47.10); подставляя ее в интеграл, получаем замкнутое уравнение для

    (47.13)

Которое совпадает с полученным в § 44 уравнением (44.9). Таким образом, если предположить дельта-коррелированность в первом из уравнений нашей цепочки, то оно замыкается, так что остальные уравнения оказываются излишними.

Сделаем теперь следующий шаг: в первом уравнении нашей цепочки оставим точную корреляционную функцию, а приближение дельта-коррелированности используем лишь во втором уравнении вида (47.8). Тогда интеграл по вычисляется, и в результате мы получаем уравнение

    (47.14)

Если заменить в (47.11) на к поменять местами , то мы получим необходимое нам значение

После этого уравнение (47.14) становится замкнутым, принимая вид

Теперь мы имеем уже систему из двух уравнений (47.4) и (47.15), а остальные уравнения цепочки можно не использовать.

Ясно, что если в первых уравнениях мы используем точное значение корреляционной функции а замену (47.12)

совершим лишь в уравнении, то получим замкнутую систему из уравнений, которая будет тем точнее, чем больше .

Рассмотрим подробнее случай Сначала нужно решить уравнение (47.15) с начальным условием (47.10). Нетрудно проверить, что решение имеет вид

Подставив это выражение для S, в (47.4), получаем уравнение для

    (47-17)

его легко решить, если воспользоваться преобразованием Лапласа по и преобразованием Фурье по . Мы, однако, не будем этого делать, а ограничимся выяснением условий совладения решения уравнения (47.17), которое мы будем называть уравнением второго марковского приближения, с решением уравнения (47.13).

Уравнение (47.13) получается из (47.17), если продольный масштаб функции мал по сравнению с масштабами по других сомножителей. Как мы выяснили в § 45 (см. (45.4)), характерный масштаб функции имеет порядок величины Тот же масштаб входит и в множитель в (47.17). Поэтому необходимо, чтобы выполнялось условие

    (47.18)

Если это условие выполнено, то под знаком интеграла в (47.17) можно заменить на и считать, что Тогда это уравнение примет следующий вид:

В области функция

быстро осциллирует. Если характерный масштаб функции по , который мы обозначим через велик по сравнению с то множитель мало меняется на характерном масштабе функции f и его можно считать постоянным. Что касается функции , то ее характерный поперечный масштаб имеет порядок размера пучка а. Поэтому при выполнении условий

    (47.20)

произведение можно заменить на , после чего интеграл по вычисляется и дает единицу. Таким образом, при выполнении условий (47.20) уравнение (47.19) еще более упрощается:

    (47.21)

Наконец, если

    (47.22)

то верхний предел интегрирования в (47.21) можно заменить на бесконечность, и тогда, с учетом равенства

мы получаем из (47.21) уравнение первого марковского приближения (47.13).

Интересно отметить, что даже уравнение (47.21) дает для v более точное выражение в области чем первое марковское приближение. Например, в случае плоской падающей волны решение уравнения (47.21) имеет вид

    (47.23)

При можно на всем участке интегрирования считать и тогда (47.23) дает

    (47.24)

Если же то в формуле (47.23) можно считать

и мы получаем

    (47.25)

В первом же марковском приближении мы при всех получаем для плоской волны формулу (47.25).

Остановимся на условиях (47.18), (47.20) и (47.22) применимости марковского приближения для среднего поля и. Первое из условий (47.20) означает, что продольный масштаб корреляции I в должен быть мал по сравнению с дистанцией на которой начинает проявляться дифракция на апертуре пучка. Второе условие тоже можно записать в виде так что масштаб должен быть мал и по сравнению с дифракционной длиной, соответствующей поперечным размерам неоднородностей. Условие (47.18) означает, что ослабление среднего поля на масштабе должно быть малым (напомним, что согласно формуле — коэффициент рассеяния), или, иначе говоря, , где длина экстинкции. Наконец, условие (47.22) означает, что должно быть мало по сравнению с длиной трассы. Мы видим, что все четыре условия можно формулировать как ограничения сверху величины продольного масштаба корреляции диэлектрической проницаемости. При этом условие (47.18) означает ограничение и величины Действительно, так что неравенство (47.18) можно записать еще и в виде

    (47.18а)

Отметим, что полученные условия применимости марковского приближения не ограничивают сверху длины дистанции , в отличие от любого из ранее рассмотренных методов, использующих теорию возмущений по е.

Мы рассмотрели уравнения более высоких приближений для среднего поля. Подобным же образом можно получить уравнения второго и более высоких приближений для произвольных моментов Мы не будем приводить здесь этих уравнений, а изложим лишь некоторые качественные соображения и выводы работы [20].

Если обратиться к уравнению (44.15) при т. е. к уравнению для функции , то в него входит в качестве случайного коэффициента только разность в При замене эта разность не меняется. Отсюда следует, очевидно, что крупномасштабные неоднородности не сказываются на произведении и . Поэтому и условия применимости марковского приближения для функции Г не могут содержать таких величин, как и которые зависят от

поведения спектра флуктуаций диэлектрической проницаемости в области малых волновых чисел.

Условия применимости марковского приближения для Г имеют вид

    (47.26)

Здесь — масштаб наименьших неоднородностей диэлектрической проницаемости. Второе из условий (47.26) ограничивает величину, характеризующую интенсивность флуктуаций а. Если вспомнить, что радиус когерентности поля определяется из условия (см. (45.21)), то второму условию (47.26) можно придать вид

    (47.27)

Таким образом, применимость марковского приближения требует, чтобы радиус когерентности всегда оставался много большим длины волны.