Глава VII. ПРИБЛИЖЕНИЕ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА В ЗАДАЧЕ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН В СРЕДЕ СО СЛУЧАЙНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

§ 43. Обоснование марковского приближения

Во всех рассмотренных в гл. IV—VI приближенных способах описания распространения волн в случайно-неодвородных средах использовалось предположевие о малости флуктуаций диэлектрической проницаемости. Оно либо лежало в самой основе способа (метод малых возмущений для точного волнового уравневия), либо вводилось потому, что без него вельзя было продвинуться в решении приближенных уравнений (геометрическая оптика, метод плавных возмущений). Только при этом предположении удавалось выразить с помощью указанных методов в явном приближенном виде волновое поле в случайной среде или его амплитуду и фазу через а. Для нахождения статистических характеристик различных параметров волны надо было лишь выполнить усреднение полученных выражений или их комбинаций. Разумеется, использование в той или иной форме теории возмущений по налагает на границы применимости этих методов довольно жесткие ограничения. Например, ни один из рассмотренных выше методов решения стохастического волнового уравнения не позволяет дать адекватное описание сильных флуктуаций волнового поля.

В ч. I книги для анализа физических задач, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами, был применен аппарат марковских случайных процессов. При этом в ряде случаев удавалось получить уравнение непосредственно для распределений вероятностей или для усредненных величин—моментов и т. п. В случае динамических систем, подверженных случайным параметрическим воздействиям (см. задачу 22 к гл. I), для применения аппарата марковских случайных процессов оказалось необходимым выполнение следующих условий.

Во-первых, должен выполняться принцип динамической причинности: решение в некоторый момент времени должно функционально зависеть лишь от предшествующих по времени значений случайных коэффициентов.

Во-вторых, время корреляции случайных воздействий (т. е. случайных функций, входящих в уравнения) должно быть мальм по сравнению с наименьшим характерным временем отклика динамической системы. В этом случае возможна аппроксимация корреляционных функций случайных воздействий дельта-функциями от времени.

При выполнении обоих условий оказалось возможным получить замкнутое уравнение для плотности вероятностей состояния динамической системы. При гауссовых дельта-коррелированных коэффициентах это было дифференциальное уравнение Эйнштейна—Фоккера. Если динамическая система к тому же линейна, то можно получить замкнутые уравнения и для моментов (ч. I, §§ 36, 37 и задача 7 к гл. V, а также задача 22 к гл. I данной книги).

Аппроксимация марковским случайным процессом использует, в отличие от теории возмущений, другой малый параметр—отношение , т. е. времени корреляции воздействий ко времени корреляции отклика т. Нулевому приближению по этому параметру и отвечает марковское приближение. Для законности такой аппроксимации, разумеется, могут потребоваться также ограничения интенсивности флуктуаций параметров, но возникающие при этом неравенства содержат и параметр , так что ограничения интенсивности флуктуаций оказываются менее жесткими.

Можно ли применить теорию марковских процессов к задаче о распространении волн в случайно-неоднородной среде, т. е. к задаче о случайных полях?

Прежде всего, само понятие марковского процесса предполагает наличие упорядоченной переменной (аналогичной времени), без наличия которой невозможно формулировать основное свойство таких процессов — возможность представления многоточечной плотности вероятностей в виде произведения вероятностей перехода. Ясно, что упорядоченную переменную можно ввести лишь в отношении одной координаты. Следовательно, можно надеяться описать распространение волны как марковский случайный процесс либо в одномерной задаче (например, для случайно-неоднородной слоистой среды), либо же в том случае, когда одна из координат физически выделена по отношению к другим (например, при распространении плоской волны или узконаправленного пучка излучения).

Далее, если из трех пространственных переменных удастся выделить одну, играющую в указанном выше смысле роль времени, то по этой координате должно выполняться условие

динамической причинности, т. е. рассматриваемое волновое поле должно функционально зависеть лишь от предшествующих (по данной координате) значений случайного параметра. В общем случае волновое поле не удовлетворяет этому требованию, так как в неоднородной среде присутствуют волны, рассеянные как вперед, так и назад (§ 38), а наличие воли, рассеянных назад, обусловлено теми неоднородностями среды, которые расположены за точкой наблюдения.

Тем не менее для одномерного уравнения Гельмгольца

описывающего распространение скалярной волны в слоистой среде, можно ввести функцию

удовлетворяющую уравнению первого порядка

и «начальному» условию (т. е. граничному условию, например, при . В таком случае значения функционально зависят лишь от при так что условие причинности для R выполнено и эту функцию можно аппроксимировать марковским случайным процессом, если радиус корреляции для достаточно мал (см., например, [1]).

Однако для волн в среде, содержащей трехмерные неоднородности, не удается ввести аналогичную функцию, для которой выполнялся бы принцип причинности. Здесь переход к аппроксимации распространения волны марковским случайным процессом возможен лишь в том случае, когда законно пренебрежение волнами, рассеянными назад.

Как мы установили в § 38, приближение параболического уравнения как раз и соответствует пренебрежению рассеянными назад волнамн. Кроме того, в МПУ имеется физически выделенная координата — вдоль направления распространения волны, падающей на неоднородную среду. Таким образом, в приближении параболического уравнения переход к аппроксимации распространения волиы в среде со случайными неоднородностями марковским процессом, вообще говоря, возможен, но необходимо еще предварительно выяснить, каково соотношение между характерными

продольными масштабами флуктуаций в и флуктуаций волнового поля V.

Существенное математическое отличие неодномерной задачи о распространении волн в случайно-неоднородных средах от задач, рассмотренных в ч. I, заключается в том, что динамическое уравнение является теперь уравнением в частных производных. Вместо случайной величины (или случайного вектора) мы имеем здесь при каждом фиксированном значении г двумерное случайное поле v (р, г). Распределения же вероятностей случайного поля полностью задаются, как мы знаем, характеристическим функционалом (§ 7). Поэтому уравнение Эйнштейна — Фоккера в интересующих нас случаях должно определять не функцию, а функционал. В связи с этим оно существенно сложнее, чем для динамических систем с конечным числом степеней свободы: вместо уравнения в обычных частных производных оно оказывается уравнением с функциональными производными. Для того чтобы упростить свою задачу, мы ограничимся поэтому выводом уравнений для моментов поля .

Как мы убедились на примере динамических систем с конечным числом степеней свободы, замкнутые уравнения для моментов можно получить из уравнения Эйнштейна—Фоккера только в случае линейных систем. Поскольку параболическое уравнение (38.4) линейно, можно и здесь надеяться на получение замкнутых уравнений для моментов. В отличие от (38.4), исходное уравнение МПВ (40.3) нелинейно, и поэтому получить из соответствующего функционального уравнения Эйнштейна—Фоккера замкнутые уравнения для моментов комплексной фазы Ф не удается (несмотря на то, что решение уравнения (40.3) для Ф удовлетворяет условию причинности).

Перейдем теперь к оценкам продольных радиусов корреляции флуктуаций различных параметров поля. При этом мы будем основываться на результатах, полученных в гл. VI при помощи МПВ.

Продольный радиус корреляции флуктуаций фазы и интенсивности (или уровня) можно оценить, исходя из качественных соображений, развитых в конце § 41. Мы видели, что фаза волны определяется всеми неоднородностями, которые пересекает приходящий в точку наблюдения луч. Для оценки можно считать, что различные неоднородности вносят в фазу независимые вклады . Набег фазы вдоль луча, прошедшего через неоднородностей, равен . Для другой точки наблюдения, лежащей на том же луче, набег фазы будет . Если

то и, следовательно,

поскольку при Коэффициент корреляции равен поэтому

Но мы видели (см. (41.17)), что , где — длина дистанции, пройденной волной в неоднородной среде. Отсюда следует, что

Эту формулу можно получить и более строго при помощи МГО или МПВ (см., например, формулу (33.14) и задачу 4 к гл. VI). Если зафиксировать и положить , то, согласно (43.1),

Таким образом, продольный радиус корреляции фазы имеет порядок величины , т. е. он во много раз больше радиуса корреляции неоднородностей диэлектрической проницаемости. Но, как мы уже убедились ранее, это и есть то необходимое условие, которое позволяет переходить к приближению марковского случайного процесса.

Оценим теперь продольный ради корреляции флуктуаций уровня. В конце § 41 мы подсчитали порядок величины фокусного расстояния характерной неоднородности с размером и отклонением диэлектрической проницаемости от среднего значения, равным :

Если то . В области применимости МПВ все «линзы» можно считать слабыми, т. е. . В этом случае к амплитудным флуктуациям допустимо применить те же соображения, которые только что были использованы при оценке продольного радиуса корреляции фазы. Если же условие не выполняется, то [точка наблюдения может попадать в область фокусировки излучения, где флуктуации интенсивности не малы. Однако при мы имеем и в этом случае так что

протяженность по оси «области влияния» каждой неоднородности намного превышает размер самой неоднородности.

Анализируя амплитудные флуктуации, следует учесть и тот случай, когда размер неоднородностей мал по сравнению с радиусом первой зоны Френеля: Здесь уже нельзя использовать геометрическую оптику, а необходимо привлечь для оценок основные положения теории дифракции. Как мы знаем, дифракция на неоднородности размера начинает существенно проявляться на расстоянии порядка от нее. Поэтому фокусирующее действие неоднородностей возможно лишь на расстояниях, не превышающих . Таким образом, «область влияния» неоднородности имеет продольный масштаб и условие при котором можно использовать приближение марковского случайного процесса, принимает вид т. е.

Как мы видим, для слабых флуктуаций и крупномасштабных неоднородностей продольный радиус корреляции амплитудных флуктуаций оказывается во всех рассмотренных случаях большим по сравнению с размерами неоднородностей, что и необходимо для применимости приближения марковского случайного процесса.

Разумеется, приведенные качественные соображения не могут служить строгим обоснованием марковского приближения, и границы его применимости будут более последовательно рассмотрены ниже (§ 47). Все же следует подчеркнуть, что нам нигде не пришлось делать предположение о малости флуктуации амплитуды волны. Поэтому можно надеяться, что марковское приближение окажется пригодным и для описания сильных флуктуаций если только допустимо пренебречь волнами, рассеянными назад.

Проводя в гл. VI конкретные расчеты флуктуаций фазы и уровня при помощи МПВ, мы уже пользовались аппроксимацией корреляционной функции в дельта-функцией. R § 40 была применена формула (40.30):

и было показано, что подстановка вместо приводит при расчете спектров флуктуаций амплитуды и фазы к правильным результатам, если выполнены условия

Поскольку корреляционная функция связана с двумерной спектральной плотностью формулой

легко установить, что замена (43.3) эквивалентна следующей замене корреляционной функции:

где

(в силу четности можно использовать любой знак показателя экспоненты).

Рассмотрим интеграл от по продольной координате . Используя трехмерное спектральное разложение

и интегрируя его по в бесконечных пределах, получаем

С другой стороны, интеграл по от аппроксимирующей корреляционной функции тоже дает функцию . так что справедливо равенство

В дальнейшем часто будет встречаться комбинация

Функция зависит от двумерного вектора и выражается при помощи двумерного преобразования Фурье через трехмерную спектральную плотность

Если случайное поле является гауссовым, то для его полного статистического описания достаточно задания корреляционной функции и, в частности, эффективной корреляционной функции вида (43.4). Однако если не предполагать нормальности поля , то необходимо задавать и более высокие моменты

Для гауссова поля из дельта-коррелированности по вытекает, что при любых случайные величины статистически независимы. Но для негауссовых полей

некоррелированность еще не влечет за собой независимости. Оказывается, что для негауссовых полей условие, аналогичное (43.4), при котором для моментов случайного волнового поля можно получить замкнутые уравнения, формулируется следующим образом. Пусть удовлетворяют при любых условиям

Тогда совокупности случайных величин должны быть статистически независимы. Аналогом дельта-коррелированности здесь является то, что при любом сколь угодно малом «зазоре» между переменными обеих групп уже наступает их полная статистическая независимость.

Известно, что совместные кумулянты для нескольких случайных величин обращаются в нуль, если среди этих величин имеется хотя бы одна, статистически независимая от остальных. Поэтому совместные кумулянты для должны обращаться в нуль. С другой стороны, для негауссовых случайных величин высшие кумулянты должны быть отличными от нуля. Отсюда следует, что кумулянты для случайных величин должны иметь вид дельта-функцнн по переменным

Случайные функции , удовлетворяющие этому условию, мы и будем называть дельта-коррелированными по .