Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ ВОЛН

§ 48. Теория возмущений и диаграммная техника для среднего поля И функции корреляции

В этой главе мы рассмотрим некоторые общие вопросы теории многократного рассеяния волн. С частным случаем такой теории мы уже встретились в гл. VII, где была очерчена теории распространения волн в приближении марковского случайного процесса, учитывающая многократное рассеяние волн, но лишь при условиях, когда рассеяние происходит практически только вперед. Если, однако, длина волны недостаточно мала по сравнению с размерами неоднородностей, то, как мы помним, становится существенным рассеяние не только на малые, а на любые углы. Если, кроме того, неоднородная среда достаточно протяженна, то и в этом более общем случае роль многократного рассеяния может сделаться значительной.

Мы уже упоминали о том, что многократное рассеяние возможно как на совокупности дискретных рассеивателей (электроны в плазме, частицы аэрозоля в атмосфере и т. д.), так и на непрерывных неоднородностях, например на флуктуациях диэлектрической проницаемости сплошной среды. Теория многократного рассеяния для этих двух случаев строится несколько различно, хотя и имеет много общего. Мы ограничимся здесь методически более простой теорией многократного рассеяния на непрерывных неоднородностях. Что касается теории рассеяния на дискретных вкраплениях, то первоначальные сведения о ней Можно найти, например, в обзоре [1].

Кроме того, мы будем рассматривать лишь наиболее простую постановку задачи, когда распространение волны описывается скалярным волновым уравнением. Здесь следует заметить, что в случае крупномасштабных неоднородностей скалярная постановка задачи позволяла хорошо описать многие закономерности распространения также и векторных (электромагнитных) волк, тогда как при произвольном соотношении между Длиной волны и размерами неоднородностей это уже не так,

поскольку при многократном рассеянии происходят сильные изменения поляризации. Тем не менее мы ограничимся скалярным волновым уравнением, так как уже в этом простейшем случае четко выявляется специфика многократного рассеяния.

Наконец, мы ограничимся задачей о распространении волн в безграничной среде, в которой флуктуации показатели преломления являются гауссовым случайным полем. Последние два предположения делаются только для упрощения излагаемой теории, но не являются обязательными.

Рассмотрим первоначально задачу о среднем поле точечного источника, находящегося в некоторой точке неоднородной среды. Случайная функция Грина, т. е. поле такого точечного источника в данной среде, удовлетворяет волновому уравнению

(где — лапласиан по переменной ), а также условию излучения при

Запишем ряд теории возмущений для этой задачи, который получается из формулы (24.10), если считать в ней ), где

— функция Грина однородной среды («свободного пространства»). Подставляя (48.2) вместо в (24.10), получаем ряд

Заметим, что функция симметрична, т. е. удовлетворяет равенству . Покажем, что такому же равенству удовлетворяет и функция Действительно, используя симметрию функции можно записать интеграл во втором слагаемом (48.3) в виде

Такое же преобразование можно проделать и в следующем

слагаемом:

Здесь мы изменили обозначения переменных интегрирования . Ясно, что подобным же образом можно преобразовать любой член ряда (48.3), в силу чего и имеет место равенство

выражающее теорему взаимности: в произвольной линейной неоднородной среде поле не меняется, если точку расположения источника и точку наблюдения поменять местами.

Рассмотрим теперь среднюю функцию Грина. Усредняя (48.3), следует учесть, что для гауссова поля и для четных моментов справедлива формула (7.20):

причем сумма в правой части распространена на все возможные разбиения множества точек на пары (порядок следования внутри каждой пары не имеет значения). Так, например, согласно (48.5)

а в формуле для будет слагаемых. Усредняя (48.3) с учетом (48.5), получаем

Чтобы наглядно представить себе структуру этого ряда, введен графическое изображение входящих в него элементов. Такого рода графики (диаграммы) были введены Р. Фейнманом в квантовой электродинамике и получили затем распространение а самых различных областях теоретической физики. Это объясняется их лаконичностью по сравнению с аналитической записью

и упрощением выкладок. Разумеется, оперирование этой «диаграммной техникой» требует известного навыка.

Сопоставим функции отрезок прямой линии, концам которой приписываются координаты

Множителю сопоставим пунктирную линию с двумя точками на концах:

Точки в которых сходятся линии, изображающие будем называть вершинами диаграммы. Условимся, что по координатам всех внутренних вершин производится интегрирование. Число таких вершин в диаграмме будем называть порядком диаграммы.

Приведенные правила соответствия позволяют сопоставить каждому члену ряда (48.7) диаграмму Фейнмана. Так, первый член в правой части (48.7) изображается диаграммой

а второму члену этой формулы соответствует график

Заметим, что, поскольку по координатам , внутренних вершин производится интегрирование, аналитическое выражение, изображаемое диаграммой, не зависит от координат внутренних вершин. В связи с этим мы не будем в дальнейшем отмечать эти координаты на диаграммах. Третьему слагаемому в (48.7) соответствуют следующие три диаграммы:

Неусредненный член порядка ряда теории возмущений для G имеет вид

Поэтому диаграммы порядка содержат линий функций Грана внутренних вершин . Так как при усреднении множитель распадается на сумму слагаемых, в которых аргументы объединяются попарно всеми возможными способами, при усреднении возникает диаграмм порядка в которых вершин Соединяются менаду собой попарно пунктирными линиями всеми Возможными способами. Наконец, введем графическое изображение для самой средней функции Грина в неоднородной среде:

Тогда ряд (48.7) можно представить графически следующим образом:

Здесь, помимо написанных в (48.7) членов, представлены еще все 15 членов шестого порядка (диаграммы с шестью вершинами).

Соответствие между диаграммами Фейнмана и аналитическими выражениями является взаимно однозначным. Мы можем не только составить по аналитическому выражению соответствующую диаграмму, но и обратно — восстановить по диаграмме аналитическую форму записи. Например, диаграмме 19 из (48.7а) соответствует член ряда равный

Некоторые из диаграмм, входящих в (48.7а), содержат в качестве фрагментов диаграммы более низкого порядка. Например, диаграмма 3 содержит в качестве фрагмента диаграмму 2, диаграмма 19 содержит диаграмму 4. Этим можно воспользоваться и для сокращения аналитических выражений. Например, можно записать слагаемое в виде

где

    (48.10)

Легко убедиться, что подстановка (48.10) в (48.9) приводит после изменения обозначений переменных интегрирования к выражению (48.8).

Прежде чем развивать дальше технику преобразований диаграмм Фейнмана, остановимся на их физической интерпретации. Диаграмма (48.7а) описывает распространение волн точки в без рассеяния (как в однородной среде). Диаграмма 2 описывает следующий процесс: волна распространяется, как в однородной среде, из точкн в точку Здесь происходит первое рассеяние, после чего рассеянная волна распространяется в точку в которой происходит второе рассеяние. Двукратно рассеянная волна достигает точкн наблюдения . Распространение описывается множителями Наличие в диаграмме 2 корреляционной функции указывает на то, что оба рассеивателя (в точках ) коррелированы, т. е. оба рассеяния фактически произошли на одной и той же неоднородности.

Рассмотрим теперь диаграммы второго порядка, т. е. диаграммы 3—5. Все они содержат одно и тоже произведение функций Грина

Это означает, что волна в точку прншла после рассеяния в точке в точку — после рассеяния в точке , и т. д., а первому рассеянию в точке подвергалась первичная волна . Таким образом, все эти диаграммы описывают четырехкратное рассеяние. В чем же состоит различие между процессами, которые описываются этими топологически различными диаграммами? В диаграмме 3 линии корреляционных функций соединяют точку с и точку с . Это означает, что обе точки принадлежат одной неоднородности, а обе точки - другой.

Таким образом, процесс, описываемый диаграммой 3, заключается в том, что сначала происходит свободное распространение волны от источника к первой неоднородности, затем — двухкратное рассеяние на ней, затем — свободное распространение двукратно рассеянной волны до второй неоднородности, после чего — двукратное рассеяние на второй неоднородности. Диаграмма 4 тоже описывает четырехкратное рассеяние на двух неоднородностях, но последовательность рассеяния здесь иная.

Рис. 67.

Сначала происходит рассеяние на первой неоднородности (в точке ), затем однократно рассеянная волна распространяется до второй неоднородности и рассеивается на ней (в точке ), затем двукратно рассеянная волна снова возвращается к первой неоднородности и рассеивается на ней (в точке которая соединена Пунктирной линией с точкой ), после чего трехкратна рассеянная волна снова рассеивается на второй неоднородности (в точке ) в достигает точка наблюдения. Схематически последовательность рассеяний на двух неоднородностях изображена на рис. 67.

Представление решения уравнения (48.1) в виде совокупности диаграмм (48.7а) полезно не только из-за наглядности, по и потому, что оно позволяет преобразовывать ряд теории возмущений, используя топологические признаки входящих в решение

диаграмм. При этом удается выразить сумму ряда (48.7) через сумму некоторой бесконечной подпоследовательности этого же ряда. Чтобы осуществить такое сведение, произведем сначала классификацию входящих в (48.7а) диаграмм.

Назовем входящую в G диаграмму слабо связной, если ее можно разделить на две отдельные диаграммы, разорвав какую-либо одну линию . В формуле (48.7а) слабо связными являются диаграммы 3, 6—9 и 12. Остальные диаграммы назовем сильно связными (2, 4, 5, 10, 11, 13—20 в формуле (48.7а)). Диаграммы, получающиеся из слабо связной диаграммы путем разрыва линий в свою очередь могут оказаться сильно или слабо связными. Если среди «вторичных» диаграмм есть слабо связные, то и их можно путем разрыва какой-либо одной сплошной линии разбить на более простые диаграммы. Продолжая этот процесс, мы придем в конечном счете к некоторому количеству сильно связных диаграмм. Назовем число сильно связных диаграмм, на которое может быть разбита слабо связная диаграмма, показателем связности исходной диаграммы. Возвращаясь к формуле (48.7а), можно сказать, что диаграммы и 12 имеют показатель связности 2, а диаграмма 6 - показатель связности 3. Сильно связным диаграммам можно приписать показатель связности, равный 1.

Отберем из ряда (48.7а) все сильно связные диаграммы. Так как каждая из диаграмм начинается и оканчиваетси линией , то сумму всех сильно связных диаграмм можно представить в виде

    (48.11)

где введено обозначение

В аналитической форме (48.11) имеет вид

где

    (48.12а)

Функция Q носит название ядра массового оператора (это название заимствовано из квантовой теории поля).

Рассмотрим теперь сумму всех диаграмм с показателем связности, равным 2. Каждая из них имеет вид

где - какие-либо диаграммы, принадлежащие правой части (48.12) Так как при построении ряда (48.7а) перебираются все возможные способы попарного объединения вершин, ясно, что сумма всех возможных членов вида (48.13) равна

где — полная сумма (48.12).

Точно так же сумма всех диаграмм с показателем связности 3 имеет вид

и т. д. Таким образом, мы можем представить среднюю функцию Грина в виде диаграммного ряда

Соответствующая формула отличается от исходного ряда (48.7а) лишь перегруппировкой его членов.

Убедимся теперь в том, что ряд (48.14) является решением следующего уравнения:

которое носит название уравнения Дайсона. В аналитической форме (48.15) имеет вид

    (48.15а)

Для того чтобы показать, что (48.14) есть решение уравнения (48.15), найдем это решение, пользуясь последовательными итерациями. Это можно делать как в аналитической форме, так и в графической, которой мы и воспользуемся. Подставляя выражение (48.15) для G в правую часть (48.15), получаем

Снова подставляя в правую часть этого уравнения правую часть (48.15), получим

Ясно, что, продолжая итерации, мы придем к ряду (48.14). Как сказано, те же выкладки можно было бы проделать и в аналитической форме, если исходить из уравнения (48.15а). При этом мы придем к разложению (48.14), записанному в аналитическом виде. Мы не будем приводить здесь указанные выкладки, но советуем читателю проделать их самостоятельно, что, несомненно, подкрепит его доверие к графическим преобразованиям диаграмм.

Уравнение (48.15а), если считать в нем функцию Q известной, представляет собой линейное интегральное уравнение относительно G, которое во многих случаях может быть решено (см. следующий параграф). При этом получается явное выражение G через Q, т. е. сумма ряда (48.7а) выражается через величину , являющуюся некоторой подпоследовательностью того же ряда.

В действительности функция Q точно не известна. В качестве этой функции можно использовать сумму нескольких первых членов ряда (48.12) или же выразить Q через некоторую новую функцию, подчиненную нелинейному интегральному уравнению. Последний путь, однако, слишком сложен, и его мы касаться не будем (см. монографию [2]).

Обратимся теперь к корреляции двух полей, создаваемых точечными источниками, расположенными в точках

    (48.16)

Для того чтобы найти Г, следует перемножить два ряда вида (48.3) и после этого произвести усреднение — задача более громоздкая, чем рассмотренная выше. Ее можно несколько облегчить, если ввести диаграммные обозначения для входящих в (48.3) ещеке усредненных величин. Будем изображать множитель — в аиде косого крестика, а функцию виде волнистой линии; при усреднении этих величин мы должны получать введенные выше элементы:

    (48.17)

Разложение (48.3) изобразитси при этом бесконечной суммой диаграмм следующего вида:

Если усреднить (48.3а), то диаграммы с нечетным числом крестиков исчезнут и, в соответствии с правилами усреднения, мы получим снова разложение (48.7а).

Запишем теперь аналогичное разложение для . Оно отличается от (48.3а) заменой функции на , что мы будем отмечать, перечеркивая соответствующую линию:

    (48.18)

Мы должны перемножить теперь разложения (48.3а) и (48.18). после чего усреднить результат. При перемножении отдельных слагаемых из (48.3а) и (48.18) будем помещать сверху элементы, принадлежащие (48.3а), а снизу — принадлежащие (48.18). Например, усредненное произведение третьего члена из (48.3а) на

третий член из (48.18) примет вид

Поясним этот результат. При усреднении произведения в возникают, согласно (48.5), три слагаемых, которым соответствуют в правой части (48.19) три диаграммы. В первой из них усредняется произведение множителей , принадлежащих . Возникающая при этом диаграмма состоит из двух независимых кусков, не соединяемых какими-либо линиями (несвязная диаграмма). Очевидно, всякая несвязная диаграмма такого типа представляет собой один из членов произведения а сумма всех несвязных диаграмм равна этому произведению.

Если ввести для графическое обозначение

то результат перемножения и усреднения рядов (48.3а) и (48.19) изобразится в виде

    (48.20)

Здесь приведены все диаграммы четвертого порядка 3—10 и только три из диаграмм шестого порядка.

Остановимся на физической интерпретации этих диаграмм. Диаграмме 1 в (48.20) соответствует распространение волны с учетом многократного рассеяния точки в точки в причем на обоих путях распространения рассеяние происходит на разных неоднородностях (рис. 68).

Диаграмма 2 описывает процесс, при котором и первая, и вторая волны испытывают однократное рассеяние на одной и той же неоднородности и т. д. (см. еще два примера на рис. 68).

Произведем теперь классификацию диаграмм, входящих в (48.20). Все диаграммы, за исключением принадлежащих к 1, являются связными.

Рис. 68.

Назовем диаграмму для корреляционной функции сильно связной, если посредством разрыва одной линии G, и одной линии Со ее нельзя разбить на две такие независимые части, каждая из которых содержит хотя бы две вершины. В (48.20) сильно связны диаграммы 2, 4, 7, 9 к 13. Все остальные диаграммы слабо связны, но их классификация несколько более сложна, чем для диаграмм, представляющих

Каждая из сильно связных диаграмм оканчивается четырьмя линиями , т. е. имеет вид

    (48.21)

или в аналитической форме

    (48.21а)

Функцию К называют ядром оператора интенсивности. Диаграммное представление К имеет вид

В том случае, когда на верхнем или на нижнем уровне присутствует только одна вершина, в аналитическом выражении для К содержится множитель или . В аналитической форме диаграммный, ряд (48.22) записывается следующим образом:

    (48.22а)

(здесь выписаны слагаемые только до четвертого порядка включительно).

Рассмотрим теперь возможные типы слабо связных диаграмм. 1. Слабо связная диаграмма может содержать всего один из сильно связных элементов, входящих в К, но быть слабо связной за счет того, что одна (или несколько) из внешних линий G, или заменена на элементы, принадлежащие средней функции Грина G или G. В (48.20) к этому типу относятся диаграммы 3, 5, 8 и 10. Все они принадлежат к совокупности диаграмм вида

    (48.23)

Например, диаграмма 3 в (48.20) получается, если в К выбирается элемент элемент , а в остальных

функциях — элемент . Очевидно, сумма всех диаграмм этого типа равна (48.23).

2. Слабо связные диаграммы, содержащие два сильно связных элемента из К, в сумме равны

К этой совокупности диаграмм в (48.20) относятся диаграммы 6 и 12.

Аналогично, диаграммы, содержащие сильно связных элементов из К, в сумме равны

Отсюда следует, что ряд (48.20) можно представить в виде

    (48.25)

аналогичном представлению (48.14) для

Подобно тому, как из (48.14) следует уравнение Дайсона (48.15), из (48.25) легко получить так называемое уравнение Бете—Солпитера:

    (48.26)

Действительно, если решать уравнение (48.26) последовательными итерациями, мы получим ряд (48.25):

В аналитической форме уравнение (48.26) имеет вид

    (48.26а)

Следующие два параграфа этой главы будут посвящены исследованию среднего поля и функции когерентности Г. Относительно материала, изложенного в данном параграфе, следует сделать одно замечание общего характера.

Фактически мы нигде не использовали до сих пор конкретного вида функции и весь проведенный анализ опирался на разложение (48.3). Это разложение представляет собой решение следующего интегрального уравнения:

    (48.27)

Вообще говоря, мы могли бы рассматривать это уравнение с произвольной функцией в качестве исходной и пришли бы в результате к тем же диаграммным рядам и тем же уравнениям (48.15) и (48.26). Кроме того, размерность пространства, в котором радиусом-вектором является , тоже не играет роли. Поэтому и можно рассматривать как вектор в -мерном пространстве с произвольным .

К уравнению вида (48.27) могут быть сведены весьма разнообразные физические задачи. Например, в задаче о параметрических колебаниях осциллятора со случайной частотой , где — случайный процесс, стохастическая функция Грина удовлетворяет дифференциальному уравнению

и начальным условиям Эту же задачу можно сформулировать в виде интегрального уравнения вида (48.27):

где

здесь — функция скачка.

В качестве другого примера, также сводящегося к интегральному уравнению вида (48.27), укажем задачу о рассеянии волн на поверхности со случайно распределенным импедансом [17]. Ряд других примеров можно найти в обзоре [18] и монографии [19].

Другими словами, развитый выше аппарат относится к весьма широкому кругу задач, описываемых линейными интегральными уравнениями со случайным ядром гауссова типа.

Отметим также, что наряду с диаграммной техникой часто используется и теория возмущений в операторной форме (см. обзор ), которая также позволяет получать приближенные уравнения для статистических моментов решения уравнения (48.27).