§ 33. Флуктуации эйконала

В первом приближении теории возмущений для эйконала имеем . Среднее значение поправки первого порядка равно нулю, так что в принятом приближении флуктуационная компонента эйконала совпадает с

а корреляционная функция равна

Корреляционная же функция фазы равна, очевидно,

Начнем с наиболее простого случая. Пусть плоская волна распространяется в статистически однородной среде со средним значением диэлектрической проницаемости . Используя (32.17), получаем для функции корреляции эйконала выражение

где радиусы-векторы точек наблюдения, а — корреляционная функция флуктуаций . Перейдем в (33.3) к новым переменным интегрирования . В этих переменных

где — область интегрирования в плоскости Если то эта область имеет параллелограмма, показанного на рис. 38.

Рис. 38

Существенный вклад в интеграл (33.4) дает только узкая полоса (на рис. 38 она заштрихована), в пределах которой корреляционная функция заметно отличается от нуля. Поэтому пределы интегрирования по можно сделать бесконечными, а интеграл по брать от 0 до

Здесь учтено, что функция четна по . При мы получили бы аналогичное выражение с вместо Таким образом,

где меньшая из величин . В частности, для изотропных флуктуаций

Корреляционную функцию эйконала можно выразить и через пространственный спектр флуктуаций . Подставив в (33.5) спектральное разложение

и выполнив интегрирование по , находим

Если флуктуации изотропны, то и переход к полярным координатам с последующим интегрированием по угловой переменной а, дает

где — функция Бесселя нулевого порядка.

Дисперсия эйконала получающаяся из (33.5) или (33.7) при линейно растет с увеличением дистанции :

В случае изотропных флуктуаций

    (33.10)

Интеграл от в этих выражениях равен произведению дисперсии флуктуаций на эффeктивный интегральный радиус корреляции Поэтому (33.9) можно представить также в виде

    (33.11)

Если, например, функция корреляции имеет гауссову форму

то эффективный радиус корреляции равен и

    (33.13)

Рассмотрим продольную корреляцию эйконала, считая, что точки наблюдения и , расположены на одном и том же луче

    (33.14)

Из этого выражения видно, что продольная функция корреляции не меняется с ростом большей из величии Отсюда не следует, однако, что при продольном разнесении точек наблюдения сохраняется также и коэффициент корреляции . В самом деле, из (33.14) находим

График зависимости от , при фиксированном значении показан на рис. 39, из которого ясно, что продольная корреляция (а следовательно, и фазы S) простирается на расстояния порядка пройденного пути, т. е. .

Рис. 39.

Иными линейными масштабами характеризуется поперечная корреляция эивдидла. Считая, что точки наблюдения разнесены только в поперечном направлении для поперечной функции корреляции имеем

    (33.15)

а при изотропных флуктуациях

    (33.16)

Из выражений (33.15) и (33.16) следует, что поперечная корреляция простирается на расстояния порядка радиуса корреляции диэлектрической проницаемости, т. е. Это непосредственно видно и на примере гауссовой корреляционной функции (33.12), для которой

    (33.17)

В дальнейшем нам понадобится также поперечная структурная функция эйконала

которая выражается через поперечную корреляционную функцию (если она существует) следующим образом:

Но согласно (4.7)

и поэтому

В отличие от (33.15), эта формула пригодна не только для однородных, но и для локально однородных случайных полей , когда корреляционной функции не существует. Для «локально однородных и изотропных полей вместо (33.18) имеем

    (33.19)

Приведем также аналогичное (33.8) выражение для через пространственный спектр флуктуаций:

    (33.20)

Эти формулы понадобятся в § 36 при анализе флуктуаций эйконала в турбулентной атмосфере.

Мы рассмотрели флуктуации плоской волны в статистически однородной среде. Но, оставаясь в рамках метода геометрической

оптики, нетрудно получить характеристики флуктуаций неплоских (в первую очередь сферических) волн, учесть регулярную рефракцию волны, обусловленную изменением средней проницаемости и отказаться от статистической однородности флуктуаций , ограничившись квазиоднородностью. Эти возможности, собственно говоря, и составляют преимущество МГО по сравнению с другими асимптотическими методами — МПВ и МПУ, в которых указанные обобщения либо приводят к слишком сложным выражениям, либо вообще неосуществимы.

Проведем качественное рассмотрение некоторых обобщений, используя результаты, полученные выше для плоской волны (разумеется, количественные выводы должны опираться на исходное выражение (32.15)).

Рис. 40.

Рассмотрим два невозмущенных луча, отвечающие неплоской волне (рис. 40). Обозначим через длины этих лучей, приходящих в точки наблюдения через — единичные векторы вдоль этих лучей, а через -вектор, соединяющий точку на одном луче с ближайшей к ней точкой на другом луче. Для краткости мы будем называть 8 «расстоянием» между лучами. В рассмотренном выше случае плоской волны величины были расстояниями от начальной плоскости до точек наблюдения векторы были равны друг другу и направлены по оси z, а расстояние между лучами в совпадало с померенным разнесением точек наблюдения Поэтому выражение (33.5) в новых обозначениях запишется следующим образом:

    (33.21)

где

Главная особенность неплоской волны заключается в том, что расстояние между лучами 8 является переменной величиной, зависящей от пройденного волной пути s. Если поперечное разнесение точек наблюдения мало по сравнению с длинами лучей то дистанцию s удобно отсчитывать вдоль некоторого среднего луча, приходящего, скажем, в точку При этом единичные векторы приближенно можно считать равными единичному вектору вдоль среднего луча (на рис. 40 средний луч показан пунктиром). Чтобы получить правильный результат при переменном расстоянии между лучами,

нужно заменить в формуле (33.21) на и рассматривать как единичный вектор вдоль среднего луча. Для функции корреляции неплоской волны в статистически однородной среде с мы получим тогда

    (33.22)

Совместив точки наблюдения т. е. положив , находим из (33.22) выражение для дисперсии эйконала:

    (33.23)

Отсюда видно, что дисперсия эйконала не зависит от вида первичной волны и, в частности, одинакова для плоской, сферической и цилиндрической волн.

Используя (33.22), рассмотрим поперечную функцию корреляции эйконала расходящейся сферической волны, полагая, что источник и точки наблюдения находятся внутри случайно-неоднородной [среды (флуктуации в слое конечной толщины рассмотрены в задаче 1, а особенности флуктуаций фазы сходящейся сферической волны — в задаче 2). Пусть точки наблюдения , расположены на одинаковом расстоянии L от источника. Если — поперечное расстояние между точками наблюдения, то текущее расстояние между лучами линейно меняется от нуля при до при

Следовательно, для сферической волны

    (33.24)

Эту формулу можно записать иначе, если учесть, что

    (33.25)

где поперечная функция корреляции плоской волны (33.15). Отсюда следует полезная формула

которая связывает функции корреляции эйконала сферической и плоской воли.

В случае изотропных флуктуаций параметров среды, когда зависит от функция корреляции эйконала сферической волны тоже будет зависеть только от и выражение (33.26) можно записать в форме

    (33.27)

Из этой формулы, как и из (33.24), следует, что радиус корреляции эйконала у сферической волны больше, чем у плоской, поскольку при одинаковом конечном расстоянии текущее расстояние между расходящимися лучами меньше, чем между параллельными. Очевидно, для сходящейся сферической волны будет справедливо обратное соотношение (см. задачу 2).

Рассмотрим конкретный пример вычисления . В случае гауссовой корреляционной функции флуктуаций , когда дается выражением (33.17), для получаем

где

— интеграл ошибок.

На рис. 41 коэффициенты корреляции эйконала показаны кривой 1 для плоской волны: — и кривой 2 для сферической волны: . Из рисунка видно, что уровень достигается при в случае плоской волны и при в случае сферической, т. е. поперечный радиус корреляции эйконала сферической волны примерно в два раза больше, чем у плоской.

Обобщение (33.22) на случай среды с постоянной средней диэлектрической проницаемостью , отличной от единицы, осуществляется просто изменением масштабов в раз, т. е.

заменой , на

    (33.28)

Эта формула, однако, остается справедливой и тогда, когда к медленно (в масштабе радиуса корреляции ) меняется вдоль среднего луча: . Сам средний луч под действием регулярной рефракции становится при этом криволинейным, так что направление касательного к нему единичного вектора зависит теперь от

Рис. 41.

Рис. 42.

Наконец, можно отказаться и от предположения о статистической однородности флуктуаций среды и рассмотреть более общую модель статистически квазиоднородных флуктуаций. Функция корреляции квазиоднородного поля имеет вид (§ 5)

    (33.29)

причем здесь дисперсия и коэффициент корреляции медленно (в масштабе ) зависят от координаты центра тяжести При подстановке (33.29) в (33.28) значения R следует брать на невозмущенном среднем луче а разность целесообразно представить в виде суммы , где — поперечное, а — продольное расстояние между точками , лежащими на соседних лучах (рис. 42). В итоге для функции корреляции эйконала имеем

Под здесь подразумевается меньшая из длин криволинейных лучей Дисперсия получается из (33.30) при

Внутренний интеграл в (33.31) представляет собой эффективный радиус корреляции:

В общем случае анизотропных флуктуаций зависит не только от положения точки на луче, но и от направления луча в этой точке. Записав дисперсию эйконала в виде

заключаем, что наибольший вклад в дают те участки луча, на которых величина максимальна. Отсюда, в частности, следует, что флуктуации эйконала усиливаются по мере уменьшения средней диэлектрической проницаемости s. Такое усиление флуктуаций происходит, например, в ионосфере в области отражения радиоволн, излученных с Земли (см. задачу 4).

Рассмотрим некоторые особенности поведения поперечной (относительно невозмущепного луча) функции корреляции эйконала, считая, что точки наблюдения лежат на одном и том же невозмущеииом фазовом фронте :

Очевидно, основной вклад в интеграл (33.33) дают те участки траектории, на которых расстояние между лучами минимально, т. е. участки наибольшего сближения лучей (с этим мы уже сталкивались при сопоставлении флуктуаций в сферической и плоской волнах в среде с ). Влияние расстояния между лучами на функцию корреляции эйконала можно проиллюстрировать на примере наклонного падения плоской волны на отражающий слой с . На рис. 43, а и 43, б показаны две

пары лучей при разнесении точек наблюдения на одинаковое расстояние , по один раз — перпендикулярно к плоскости чертежа (рис. 43, а), а другой раз — в плоскости чертежа (рис. 43, б). первом случае оба луча параллельны друг другу и расстояние между ними всюду равно расстоянию между точками наблюдения. Во втором же t случае, когда лучи лежат в одной плоскости, расстояние всюду меньше и даже обращается в нуль в точке пересечения лучей. Ясно, что величина радиуса корреляции эйконала больше именно во втором случае, когда лучи сближаются. Различие радиусов корреляции в случаях а и б означает, что регулярная рефракция приводит к анизотропии (анизомерии) флуктуаций эйконала, в плоскости, поперечной к лучу.

Рис. 43.

В рассмотренном примере лучи, отраженные от плоского слоя, образуют каустику, которая касается лучей в точках их поворота. Строго говоря, применение метода геометрической оптики в этом случае незаконно, поскольку на каустике, как известно, амплитуда волны, вычисленная в приближении геометрической оптики, равна бесконечности в силу обращения в нуль сечения лучевой трубки в формуле (32.8). Этот недостаток метода геометрической оптики можно, однако, исправить, используя для описания поля вблизи каустики более совершенные асимптотические методы, которые обеспечивают конечность поля на самой каустике, а вдали от нее дают сумму падающей и отраженной волн вида [8]. В результате вдали от каустики корреляционная функция эйконала отраженной волны определяется тем же выражением (33.33), что и для падающей волны. В непосредственной же близости к каустике приближение геометрической оптики, разумеется, непригодно.