§ 46. Функция когерентности четвертого порядка и флуктуации интенсивности

Запишем снова уравнение (44.25) для четвертого момента

Оно имеет вид

Как мы уже указывали, функция связана с флуктуациями интенсивности волны. Действительно, если совместить точку , а точку , то получим

Поэтому корреляционная функция флуктуаций интенсивности мажет быть выражена через

Если нас интересуют только флуктуации интенсивности, то, казалось бы, можио не рассматривать четырехточечный момент а ограничиться частным случаем двухточечного момента, который получается из при попарном слиянии точек . Однако в уравнении (46.1) произвести такое слияние нельзя, как при этом войдут, помимо функции , еще новые неизвестные функции

Поэтому даже для исследования флуктуаций интенсивности необходимо рассматривать полное уравнение (46.1).

Введем новые переменные:

Легко установить, что при этом Момент , выраженный через аргументы мы будем обозначать через . Уравнение (46.1) в новых переменных принимает следующий вид:

Здесь F (с учетом четности функции ) записывается в виде

Рассмотрим сначала простейший случай, когда на неоднородную среду падает плоская волна. В этом случае можно принять . Так как мы рассматриваем статистически однородные флуктуации в, ясно, что не может зависеть от поскольку совместный сдвиг всех четырех точек наблюдения на одну и ту же величину приводит к физически тождественной ситуации. Таким образом, и уравнение (46.3)

упрощается:

Здесь теперь отсутствуют производные и по , так что эту переменную можно рассматривать как параметр и выбирать ее значение произвольно. Выберем и тогда, согласно (46.4) и (46.5),

Так как , равенство означает, что т. е. точки расположены в вершинах параллелограмма, сторонами которого являются векторы (рис. 63).

Рис. 63.

Слиянию точек соответствует обращение в нуль аргумента , функции

Так как

функция обладает, очевидно, следующими свойствами симметрии:

Рассмотрим предельный случай . Это означает, что две пары точек бесконечно раздвигаются при неизменных расстояниях внутри каждой пары,

ясно, что корреляции между полями в точках должны при этом исчезать, т. е.

В силу симметрии относительно перестановки функция обладает аналогичным свойством и при . В частном случае плоской волны функции Г не зависят от и и формула (46.9) принимает вид

    (46.10)

Проанализируем теперь следствия из закона сохранения энергии, приводящие к некоторым ограничениям вида функции . Как мы убедились выше (см. уравнение (39.7)), точным следствии параболического уравнения является закон сохранения энергии

    (46.11)

где Рассмотрим распространение ограниченного волнового пучка, для которого при Проинтегрировав (46.11) по плоскости и используя теорему Гаусса для двумерного случая, получаем

Где компонента плотности потока энергии по направлению вектора взятая на окружности бесконечного радиуса. Но в силу ограниченности пучка при так что и мы получаем закон сохранения

В левой части этого равенства фигурирует случайная интенсивность . Усредняя (46.12), приходим к формуле

    (46.13)

которая была уже получена выше из уравнения для (см. (45.23)). Вычитая (46.13) из (46.12), получаем равенство

    (46.14)

физический смысл которого весьма прост: случайные отклонения интенсивности от средней, имеющие различные знаки, всегда взаимно компенсируются, так что флуктуации вызывает лишь перераспределение интенсивности по поперечному сечению пучка. Отметим, что равенство (46.14) уже было использовано в гл. V (формула (35.25)) для объяснения равенства нулю интеграла от корреляционной функции уровня.

Возводя (46.14) в квадрат и усредняя, имеем соотношение

которое при замене переменных можно записать в виде

    (46.15)

Отсюда следует, что корреляционная функцня флуктуаций интенсивности обязательно должна иметь отрицательный участок.

В случае плоской волны справедливо равенство, аналогичное (46.15):

    (46.16)

однако его вывод несколько более сложен в связи с тем, что поле не убывает при Равенство (46.16) можно получить непосредственно из уравнения (46.7). Введем для этого функцию

    (46.17)

Если , то — корреляционная функция интенсивности. Кроме того, при функция К, согласно (46.10), обращается в нуль. Привлекая уравнение (45.11) для функции Г (в этом уравнении в случае плоской волны нетрудно установить, что удовлетворяет уравнению

    (46.18)

Если проинтегрировать это уравнение по , в бесконечных пределах, то, в силу отмеченного выше предельного соотношения интеграл от первого члена правой части

(46.18) обращается в нуль, т. е. получается

    (46.19)

Так как при интеграл от второго слагаемого в правой части (46.19) сходится. Положим теперь в . В силу равенств ) мы получаем дифференциальное уравнение

Решение этого уравнения с начальным условием (при интенсивности отсутствуют) выражается равенством (46.16).

Отметим, что из формулы (46.14), справедливой для ограниченных пучков, можно получить аналогичные (46.15) соотношения для моментов произвольного порядка.

Аналитического решения уравнения (46.7) для получить не удается. В настоящее время получены численные решения этого уравнения, соответствующие двум моделям флуктуаций диэлектрической проницаемости среды — со спектральными плотностями вида . В обоих случаях средний квадрат флуктуаций интенсивности с ростом насыщается. Численные результаты, полученные для стеленного спектра флуктуаций , удовлетворительно согласуются с экспериментальными результатами.

Для области сильных флуктуаций, где получены асимптотические решения уравнения (46.7) [13—16]. Не приводя довольно громоздких вычислений, необходимых для вывода соответствующих асимптотических формул, опишем основные результаты, полученные в указанных работах.

Формальное решение уравнения (46.7) можно записать в виде предела при -кратного интеграла, соответствующего замене непрерывной случайной среды, заполняющей слой , на N фазовых экранов, расположенных на расстоянии друг от друга. В области сильных флуктуаций в этом бесконечнократном (так называемом континуальном) интеграле появляется большой параметр равный отношению радиуса первой зоны Френеля к радиусу когерентности , определяемому формулой (45.21). Этот параметр имеет ясный физический смысл. В случае когерентным образом складываются только поля, рассеянные неоднородностями, разнесенными на расстояние, Меньшие . Поэтому при радиус когерентности играет

такую же роль, как радиус первой зоны Френеля в случае При асимптотическая формула для имеет вид

    (46.20)

Корреляционная функция обладает двумя характерными масштабами. Одним из них является , другим — отношение . Первый из них с ростом уменьшается, а второй — растет. В первом приближении

    (46.21)

Для случая турбулентной среды, Когда формула (46.20) принимает вид

    (46.22)

где — средний квадрат относительных флуктуаций интенсивности, найденный при помощи МПВ (см. (41.27), (41.28) и Корреляционная функция (46.21) в этом случае равна

    (46.23)

а масштабы по порядку величины равны

Следует отметить, что функция (46.21) не удовлетворяет условию (46.16). Это связано с тем, что отрицательный участок функции при располагается в области больших значений Так как для статистически изотропных флуктуаций равенство (46.16) записывается в виде

то ясно, что значения при больших входят в интеграл с большим весом . Поэтому достаточно очень небольших по абсолютной величине отрицательных значений чтобы равенство (46.16) удовлетворялось. Но эти малые значения не описываются первыми членами асимптотического разложения,

так что для выполнения равенства (46.16) необходимо учитывать дедующие малые члены в (46.21).

В заключение этого параграфа сопоставим результаты численных расчетов [11] с приведенными выше асимптотическими формулами для случая степенного спектра На рис. 64 приведена полученная в результате этих расчетов кривая (кривая ).

Рис.

Рис. 65.

Там же показаны кривая 2, построенная по формуле (46.22), а также усредненные экспериментальные данные (кривая 3). На обороте обложки данной книги — на форзаце приведено распределение интенсивности света в области сильных флуктуаций [23].

На рис. 65 приведены точки, полученные путем численных расчетов функции , а также кривые, построенные по асимптотической формуле (46.23). Из рисунка видно, что с увеличением параметра результаты все лучше согласуются между собой.