Задачи

1. С учетом реакции излучения уравнение движения упруго связанного электрона имеет при малых его скоростях с вид

где — заряд и масса электрона, с — скорость света в вакууме, собственная частота осциллятора. Пусть — напряженность электрического поля равновесного излучения. Применив ФДТ к уравнению (1), иайти спектральную плотность энергии этого излучения (по положительным частотами), т. е. величину (электрон находится в вакууме)

Решение. Уравнение движения (I) в спектральной форме есть

где

Спектральная плотность компоненты флуктуационного поля по равна

где -спектральная плотность силы по от до . Согласно дискретной ФДТ выражается через обобщенную восприимчивость следующим образом:

(это формула (15.96) в частном случае единственной переменной). Из (2) — (4) следует, что

Заметим, что не играет роли, и поэтому электрон мог бы быть и свободным

Для того чтобы получить спектральную плотность энергии электромагнитного поли, достаточно учесть, что равновесное излучение в неограниченном пространстве изотропно, в силу чего

н что его магнитная энергии равна электрической:

Поэтому

т. е. мы получили формулу Планка.

2. Формулы (16.4) для корреляционных функций сторонних токов можно получить и более физический путей, «ем использованный в опираясь на классический закон Кирхгофа и принцип детального равновесия. Последний требует, чтобы для двух одинаково нагретых тел 1 к 2 мощность поглощаемая телом I на излучения тела 2, была на каждой частоте равна мощности поглощаемой телом 2 из излучения тела 1. Пользуясь этим, вывести формулы (16.4) из рассмотрения обмена энергией между телом и пластиной (ряс. 20). разнесенными на столь большое расстояние R, что их размеры гораздо меньше радиуса первой зоны Френеля (т. е. они находятся во фраунгоферовой зоне яруг друга). Вместе с тем размеры пластины настолько больше длины волны X, что излучение пластины можно вычислять по классическому закону Кирхгофа.

Рис. 20.

Решение. Подсчитаем при указанных условиях мощности поглощаемые телом и пластиной на частоте .

Пусть А — коэффициент поглощения пластины и площадь Поглощаемая пластиной мощность есть

где компонента вектора Пойнтинга теплового излучения тела. Для на одной поляризации мы имеем выражение (18.13), так что при учете обеих независимых поляризаций Подставив сюда записывая скалярные произведения векторов в компонентах, получаем в соответствии с (1), что

Теперь подсчитаем — мощность, поглощаемую телом на излучения пластины. Так как ее размеры велики по сравнению с X, для интенсивности излучения пластины в телесный угол ось которого направлена на тело, справедлива формула (18.16).

Сопоставим выражение (18.16) с мощностью, излучаемой в тот же телесный угол единичным точечным источником (электрическим диполем в точке М с моментом лежащим в плоскости пластины):

Мы видим, что пластина излучает в

раз больше точечного источника. Следовательно, во столько же раз больше мощность по сравнению с мощностью поглощаемой телом и»

излучения точечного источника:

Потери же дифракционного поля, создаваемого электрическим диполем, равны

так что

Выражения (2) и (3) должны быть равны друг другу. Почленное сравнение подынтегральных выражений дает формулы (16.4). Однозначность результата следует из того, что равенство интегралов должно иметь место при любой форме, величине и расположении тела и пластины (конечно, не нарушающих условий

Следует заметить, что при данном выводе формул (16.4) надо понимать под в только ту часть средней энергии осциллятора, которая зависит от температуры. Энергия нулевых колебаний не должна учитываться, поскольку рассматривается обмен энергией посредством излучения (§ 17).

3. В волноводе между двумя черными излучателями с температурой находится тело с температурой Найти поток энергии флуктуационного поля на собственной волне волновода и показать, что при любых Т и нулевые колебания из этого потока выпадают.

Решение. Поток энергии, скажем, справа от тела равен собственному излучению тела плюс отраженное телом излучение правого излучателя плюс прошедшее излучение левого излучателя и минус встречный поток излучения справа

Согласно (19.3)

так что

Но нулевая энергия разности выпадает, т. е. встречные потоки энергии нулевых колебаний взаимно уничтожаются при любых . Именно потому, что эти колебания никогда на участвуют в переносе энергии, член можно отбрасывать во всех случаях, когда речь идет о (среднем) потоке энергии.

4. Найти мощность, излучаемую в идеальный волновод на волне с постоянной распространения h излучателем, состоящим из поперечной идеально отражающей перегородки и поперечной же полупрозрачной пластинки, отстоящей от перегородки на расстояние . Пластинка предполагается тонкой» т. е. ее толщина мала по сравнению с длиной волны в ее материале, так что интерференции внутри пластинки можно не учитывать и характеризовать пластинку вещественными амплитудными коэффициентами отражения пропускания (d). При этом 1, где а — энергетический коэффициент поглощения пластинки.

Рис. 21.

Решение. Излучаемая мощность , где (излучатель в целом непрозрачен), — энергетический коэффициент отражения излучателя. Если справа падает волна , то в результате первого отражения от пластинки и последующих многократных повторных отражений прошедшей через нес волны между пластинкой и идеально отражающей перегородкой, амплитуда отраженной излучателем волны будет

Следовательно

От I поглощение зависит осцилляторно с периодом, равным половине длины волны и с максимумами на резонансных длинах резонатора, образуемого перегородкой и пластинкой. При уменьшении прозрачности пластинки получаем . Если же коэффициент отражения от пластинки — (при этом с необходимостью то

5. Формула Найквиста для спектральной плотности тепловой в двуполюснике с импедансом имеет вид

Для хороших проводников часто заменяют на омическое сопротивление R. При каких условиях эта замена законна? Ведь при переходе от проводника к идеальному диэлектрику (проводимость и соответственно получается неограниченное нарастание э. д. с. Как уже было отмечено в ч. 1, § 54, этот кажущийся парадокс возникает при забвении того, что замена на R законна лишь для столь хороших проводников, внутри которых можно пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости. Ясно что при это условие рано или поздно нарушается. Вывести формулу для в тонком проводе с учетом тока смещения.

Решение. Если при выводе формулы (20.9) для а значит, и при выводе выражения (20.13) для не пренебрегать током смещения в проводе, т. е. пользоваться общим выражением (20.5) для корреляции компонент теплового поля, то результатом снова будут формулы (20.9) и (20.13), в отличие от (20.10), теперь

Следовательно, для кваэнстационарной не зависит от равновесной цепи энергетическое сопротивление, определенное равенством,

аналогичным (20.15), равно

Смысл этого выражения лучше всего пояснить переходом к предельному случаю слабого скин-эффекта в проводе из однородного материала но постоянны). Тогда для участка провода длины l формула (1) принимает вид

где омическое сопротивление, а — внутренняя емкость данного участка провода. Таким образом, представляет собой в этом случае активное сопротивление -ячейки (рис. 22) и при получки За иена R, на R справедлива лишь при условии

Рис. 22.

6. Пользуясь формулами (15.11а, б), получить корреляционные функции -амплитуд полей в неограниченной однородной среде, т. е. амплитуд в пространственных разложениях Фурье

Решение. Проведем сначала расчет функции корреляции для -амплитуды

С учетом (15.116) имеем

Представим дельта-функцию в веде интеграла Фурье;

Поскольку действие линейного оператора на дает

где функция , получающаяся при замене в операторе Аналогично,

так что (1) приникает вид

Интегралы по дают после чего интегрирование по приводит к искомому результату:

Можно получить функцию корреляции для таким же путем (пользуясь формулой (15.11а)), а можно сделать это и иначе — исходя на того, что ) Полагая в множителе при имеем

Уравнения (15.1) (если явным образом записать зависимость операторов А и от ) принимают для -амплитуд вид

Первым из них мы только что воспользовались при выводе (3), а из второго видно, что уравнение

представляет собой дисперсионное уравнение задачи. Из (3) ясно, что любой интеграл по k и содержащий сразу же сводится к интегралу только по наличия , а последний часто может быть взят вычетами в полюсах функции т. е. в нулях функции или, иначе говори, при значениях являющихся корнями дисперсионного уравнения (4).

Нетрудно воспроизвести расчеты, проделанные при выводе формул (2) и (3), для случая многомерных однородных полей , используя при этом формулы (15.14а, б). Это приводит к корреляционным матрицам (23.11) и (23.12) для -амплитуд.

7. Для продольных волн, длинных по сравнению с радиусом нелояльности не слишком разреженная плазма, состоящая электронов, ионов разного сорта и нейтральных атомов и молекул, может быть хорошо описана в так называемом квазигидродинамическом приближении. Уравнения гидродинамики надо писать при этом для всех видов частиц, но мы ограничимся простейшей моделью одножидкостной (электронной) плазмы, т. е. будем считать ноны неподвижным.

Тогда линеаризованное уравнение движения электронной жидкости (газа) запишется в виде

где — масса электрона, е — абсолютная величина его заряда, N — средняя концентрация электронов, — переменная часть давлення:

— отношение Пуассона, — энергетическая температура электронного газа, -переменная часть концентрации). В уравнение (I) введено также «трение» — через эффективное число соударений в единицу времени (v). Плотность электронного тока (в данной модели это и полный ток) в линейном приближении равна , а переменная часть плотности заряда есть (средние плотности электронного и ионного зарядов скомпенсированы, т. е. плазма квазинейтральна). Поэтому линеаризованное уравнение непрерывности будет

Найти для описанной модели плазмы спектральную плотность флуктуаций электронной концентрации.

Решение. Согласно (23.25) для нахождения -плотности флуктуаций достаточно знать продольную диэлектрическую проницаемость . Для -амплитуд исключая из все величины, кроме получаем следующее уравнение для полного тока j (в компонентах):

где — плазменная (электронная) частота:

Удобно ввести обозначения

где

— так называемый дебаевский радиус (или радиус экранирования электрического поля, см. [16]). В этих обозначениях уравнение для принимает вид

откуда

Электрическая индукция связана с полным током j соотношением так что

Выражение в фигурных скобках — это диэлектрическая проницаемость Она легко преобразуется к виду

откуда следуют выражении для поперечной и продольной проницаемостей:

Таким образом, в рассматриваемой модели а не обладает пространственной дисперсией (не зависит от ). Пространственная же дисперсия возникает из-за члена с в (1), т. е. обусловлена упругостью электронного газа.

Согласно выражению (4) для в имеем

Подставив это в формулы (23.25) и (23.26), получаем, что -плотность флуктуаций электронной концентрации есть

а ее спектральная плотность равна

Интеграл в (6) легко вычисляется. Из-за четности интегранда можно взять половину значения интеграла в пределах . Записав далее в виде — изменим знак в интеграле с Это просто удваивает первый интеграл (с ) и дает

Замыкание пути интегрирования в верхней полуплоскости комплексного у. сводит интеграл к вычетам в полюсах где k — корень дисперсионного уравнения лежащий в первом квадранте плоскости

Окончательный результат:

Как это видно уже из (6), Эта особенность при вполне очевидная в (8), обусловлена недостаточно быстрым убыванием к нулю при возрастании Однако само гидродинамическое описание справедливо лишь для , т. е. для пространственных гармоник флуктуаций V с длинами волн . Поэтому брать значении нет смысла. В этой области фазовая скорость продольных волн становится одного порядка с тепловой скоростью электронов и, как показывает кинетическое рассмотрение, происходит сильное затухание продольных волн. Гидродинамическая модель не учитывает этого затухания, обусловленного тепловым движением зарядов ([14], § 2). Отметим в связи со сказанным» что, например, в слое F ионосферы, если принять , то

В диапазоне частот и при имеем приближенно

т. е. и основную роль в (8) играет член с Спектральная плотиость (8) представляет собой в функции от медленно затухающее колебание. Напротив, при значения меняются местами:

так что экспонента затухает гораздо быстрее, чем за период колебания . В окрестности т. е. при имеем

Заметим в заключение, что, ограничившись в ранках гидродинамической модели описанием состояния электронного газа переменными , мы исключили тем самым из рассмотрения флуктуации его температуры