§ 40. Метод плавных возмущений

Параболическое уравнение (38.4)

определяющее комплексную амплитуду v, связанную с волновым полем и формулой , в общем случае, как и исходное уравнение Гельмгольца (38.1), не может быть решено точно. Поэтому и для уравнения (40.1) приходится использовать приближенные методы решения. В этом параграфе мы рассмотрим так называемый метод плавных возмущений (МПВ), предложенный С. М. Рытовым в детерминированной задаче о дифракции

света на ультразвуковой волне [3] и примененный для решения статистических задач А. М. Обуховым [4]. МПВ приспособлен в первую очередь для исследования таких параметров волны, как ее фаза и уровень.

Представим комплексную амплитуду в виде

откуда . Здесь (см. (39.5)) — отклонение фазы от регулярного ее набега в отсутствие неоднородностей, а — уровень. Таким образом,

Подставив (40.2) в (40.1), получим уравнение

для комплексной фазы Ф. Уравнение (40.3), в отличие от (40.1), нелинейно, но случайная функция входит в него не в качестве Коэффициента, а аддитивно.

Будем искать решение уравнения (40.3) в виде ряда

предполагая, что имеет порядок малости — порядок и т. д. Подставив (40.4) в (40.3) и приравнивая нулю Группы членов одинакового порядка малости, получаем следующую систему уравнении последовательных приближений:

    (40.5а)

Рассмотрим при помощи этих уравнений задачу о флуктуациях уровня и фазы волны в статистически однородной случайной среде, заполняющей полупространство если из области нее падает плоская волна . Поскольку мы пренебрегли обратным рассеянней, на границе должно быть непрерывным только поле и, но не

Таким образом, граничные условия ко всем уравнениям (40.5) имеют один и тот же вид:

а сами уравнения различаются только правыми частями. Поэтому решение любого из этих уравнений можно представить в виде

где К — функция Грина оператора — правая часть соответствующего уравнения для

Фактически удается вычислить лишь несколько первых членов ряда (40.4) (обычно используется только первое приближение, а следующий член служит лишь для оценки погрешности). Для того чтобы Ф мало отличалось от необходимо, чтобы правые части уравнений (40.5) достаточно быстро убывали с ростом номера I, т. е. необходимо потребовать выполнения неравенства

Условие (40.7) означает, что изменения Ф, на поперечных расстояниях порядка длины волны X должны быть малыми по сравнению с (сама величина Ф, имеет тот же порядок малости, что и ). Таким образом, условие (40.7) требует достаточной плавности изменения . В связи с этим и сам метод, основанный использовании теории возмущений для комплексной фазы Ф, получил название метода плавных возмущений

Входящая в (40.6) функция Грина имеет вид (см. задачу 2)

Она отличается от функции Грина уравнения Гельмгольца, взятой в приближении Френеля (см. (38.12)), лишь отсутствием множителя .

В дальнейшем вместо формулы (40.6) мы будем пользоваться соответствующей формулой, связывающей трансформанты Фурье по поперечным координатам:

Эквивалентная (40.6) формула имеет вид (см. задачу 2)

Рассмотрим первое приближение Согласно (40.5а) , получаем (опустим индекс 1 в )

    (40.10)

где - случайная двумерная амплитуда Фурье диэлектрической проницаемости . Перейдем теперь к уровню и фазе .

Так как

можно написать

    (40.11)

причем спектральные амплитуды уровня и фазы выражаются через следующим образом:

    (40.13)

Найдем . Так как поле вещественно, имеем , и поэтому из (40.10) получаем

Подставляя (40.10) и (40.14) в (40.13), находим 2

    (40.15)

Усредняя эти формулы, получим (здесь мы восстановили индекс 1, так как средине значения уровня и фазы равны пулю только в первом приближении). Во втором приближении в формулах, аналогичных (40.15) и (40.16), вместо фигурировала бы спектральная плотность величины (см. (40.56)), среднее значение которой не равно нулю. Тем самым и величины и оказались бы отличными от нуля. На вычислении этих средних мы остановимся позднее. Если же нас интересуют средние квадратичные величины, например то формулы (40.15) и (40.16) достаточны для их расчета (учет членов второго порядка в привел бы к членам третьего порядка малости в малым но сравнению с основным членом).

Рассмотрим корреляционную функцию уровня в плоскости . Из (40.11) имеем

Таким образом, для расчета необходимо знать функцию корреляции спектральных компонент, входящую в (40.17). Используя (40.15), получаем

    (40.18)

Но для статистически однородной случайной среды справедлива формула

    (40.19)

где двумерная спектральная плотность сосредоточена в области

(см. задачу 4 к гл. I).

Из (40.19) и (40.18) следует, что

    (40.21)

где

Если подставить (40.21) в выражение (40.17) для то получим

    (40.23)

Мы видим, что функция представляет собой двумерный (в плоскости ) пространственный спектр флуктуаций уровня.

Формулу (40.22), связывающую двумерные плотности флуктуаций уровня и флуктуаций , можно существенно упростить, если использовать свойство функции выражаемое неравенством (40.20). Для этого сначала введем в (40.22) новые переменные интегрирования

Рис. 52.

Для этих переменных уравнения границ области интегрирования будут и (40.22) примет вид

    (40.24)

Область интегрирования 2 изображена на рис. 52.

В силу (40.20) в области, существенной для интегрирования по , справедливо неравенство Поэтому члены в аргументах синусов можно оцепить в этой области следующим образом:

поскольку максимальное волновое число ограничивающее область, где сосредоточена функция , по предположению мало по сравнению с волновым числом Следовательно, с точностью до поправок порядка малости можно вообще отбросить члены в аргументах синусов, и (40.24) переходит

тогда в формулу

    (40.25)

Рассмотрим спектральную плотность при таких которые удовлетворяют условию

    (40.26)

Это неравенство означает, что характерные поперечные масштабы неоднородностей уровня, которые мы хотим рассмотреть, малы по сравнению с длиной трассы Для таких значений область, существенная для интегрирования по , ограничена в силу (40.20) неравенством Следовательно, из всей области интегрирования, изображенной на рис. 52, существенной является лишь узкая полоса ширины вблизи оси (на рис. 52 она указана горизонтальной штриховкой). Вне этой полосы функция пренебрежимо мала, что позволяет добавить к области интегрирования 2 дополнительные участки, изображенные на рис. 52 вертикальной штриховкой, т. е. расширить область интегрирования 2 до бесконечной (по ) полосы (аналогичные соображения использовались в § 33, рис. 38). Так как в добавляемой области интегрирования функция пренебрежимо мала (например, она убывает там с ростом J экспоненциально, как в случае степенных спектров ), то допускаемая при этом погрешность несущественна. В результате описанного преобразования мы получаем из (40.25) выражение

    (40.27)

Но функция удовлетворяет равенству (см. формулу (3) в задаче 4 к гл. I)

    (40.28)

где — трехмерная спектральная плотность флуктуаций аргументом которой является двумерный вектор . Используя это равенство и вычисляя первый из входящих в (40.27) интегралов, получаем окончательную формулу для

    (40.29)

Эта формула получена для области Однако в области функция стремится к нулю, как Поэтому, если , то практически во всей области, где сосредоточена функция (40.29), условие хорошо выполняется. Поэтому ограничение , использованное при выводе (40.29), несущественно, если выполняется условие

означающее, что на длине трассы укладывается много длин волн.

Остановимся еще на одном чисто формальном обстоятельстве, которое, однако, в дальнейшем будет использовано. При выводе формулы (40.29) мы предположили, что является «острой» функцией практически для всех представляющих интерес значений Фактически мы неявным образом заменили функцию на дельга-функцию Убедимся, что при замене

    (40.30)

мы сразу же получаем из (40.22) формулу (40.29). Действительно, подставляя (40.30) в (40.22) и выполняя интегрирование но мы получаем формулу (40.27), в которой использован интеграл (40.28).

Подобно тому, как, исходя из формулы (40.15), мы подсчитали двумерную спектральную плотность флуктуаций уровня, можно вычислить и двумерную спектральную плотность фазы , если исходить из формулы (40.16). Не приводя вычисления (см. задачу 3), дадим окончательный результат:

    (40.31)

Корреляционная функция флуктуаций фазы в плоскости выражается через функцию обычным образом:

    (40.32)

Если поле статистически изотропно в плоскостях или в трехмерном пространстве, то и трехмерная спектральная плотность имеет вид . В этом случае т. е. зависит лишь от модуля двумерного вектора Из формул (40.29) и (40.31) при этом. следует, что спектральные плотности ) тоже зависят лишь от и, значит, случайные поля статистически изотропны в плоскостях . Формулы, выражающие корреляционные функции и через

принимают при этом вид

    (40.33)

где — функция Бесселя.

Структурная функция фазы выражается в этом случае интегралом

    (40.35)