§ 11. Дифракция случайных полей в простейших оптических системах

В предыдущем параграфе мы рассмотрели одну из простейших статистических дифракционных задач — дифракцию детерминированной плоской и монохроматической волны на бесконечном и статистически однородном хаотическом экране. Здесь мы обратимся к дифракции случайных полей на детерминированных объектах. В основном мы будем иметь в виду слабо расходящиеся волновые пучки, чаще всего встречающиеся в оптических и квазиоптических системах.

1. Прохождение случайной волны через отверстие в экране. Теорема Ван-Циттерта — Цернике. Пусть — спектральная амплитуда поля, создаваемого каким либо источником в плоскости . Если поместить в этой плоскости непрозрачный экран с отверстием S, вырезающим пучок волн конечного диаметра, то непосредственно за экраном образуется поле «на выходе» , которое в

приближении Кирхгофа равно

Это поле можно записать через функцию пропускания отверстия:

считая, что

В случае плавных (в масштабе длины волны) флуктуаций граничного поля о (со, р) для вычисления поля за отверстием можно воспользоваться френелевским приближением (9.17), которое с учетом (11.1) дает

Среднее по ансамблю источников значение равно нулю, вследствие чего и

Вычислим поперечную функцию когерентности дифракционного поля, т. е. функцию когерентности в плоскости . В соответствии с (11.3) имеем

где — пространственная функция когерентности граничного поля , которое предполагается статистически однородным. Пространственно-временные функции когерентности полей связаны с преобразованиями Фурье, например:

В силу (11.4) все эти функции когерентности совпадают с соответствующими функциями корреляции.

Не конкретизируя вида функции когерентности (корреляции) граничного поля, интеграл (11.5) можно вычислить в двух предельных случаях — при больших и малых размерах отверстия а по сравнению с радиусом корреляции (но всегда при ).

При (малое отверстие) функция когерентности граничного поля практически постоянна в пределах отверстия и ее можно вынести за знак интеграла со значением . В результате

где поле дается выражением

и представляет собой дифракционное поле за отверстием при нормальном падении на него плоской волны единичной амплитуды.

Коэффициент корреляции при дифракции на малом отверстии равен

Так что . Это означает, что случайная волна, прошедшая через малое отверстий), порождает пространственно когерентное поле. До создания лазеров пропускание света через малое отверстие (наряду с использованием малых источников света) было практически единственным способом получения пространственно когерентного света. Этим способом пользуются и в настоящее время, если не требуется высокой интенсивности поля.

Обратимся к другому предельному случаю (широкое отверстие). Прежде всего отметим, что вблизи отверстия имеется область, в которой функция корреляции будет такой же, как и в отсутствие непрозрачного экрана. Форму и размеры этой области можно оценить, используя спектральное представление. Ширина двумерного спектра случайного поля v имеет порядок или, в пересчете на углы, Следовательно, если точки наблюдения и находятся внутри

конуса с основанием а и углом при вершине (рис. 5), то поле почувствует» влияния краев диафрагмы. Для всех точек внутри этого конуса поперечная функция корреляции будет такой же, как у граничного поля:

Рис. 5.

Предельная дистанция на которой еще справедливо это соотношение, оценивается как

При эта дистанция отвечает дальней зоне по отношению к размеру неоднородностей так как

и ближней зоне по отношению к размеру отверстия а:

Отсюда, в частности, следует практически важный вывод, что распределение флуктуаций поля за отверстием нормализуется еще в ближней зоне апертуры а.

Вычислим интеграл (11.5) при Для этого перейдем к новым переменным и обозначим полусумму через а разность - через . Тогда (11.5) принимает вид

Область интегрирования по ограничена здесь неравенством так как при функция корреляции близка к нулю. В то же время , поскольку при обращается внуль произведение . Поэтому первое слагаемое в показателе экспоненты ограничено сверху неравенством При этим слагаемым

можно пренебречь, и тогда интегралы по разделяются

Точно такое же выражение можно получить и непосредственно из формулы (9.18) для поля во фраунгоферовой зоне:

    (11.11)

Однако приближение (11.11) справедливо только в дальней зоне а формула (11.10) применима и на гораздо меньших дистанциях . Иными словами, функция когерентности (11.10) формируется еще в ближней зоне по отношению к отверстию.

Зависимость функции когерентности (11.10) от поперечных координат определяется произведением трех сомножителей. Множитель перед интегралом

возникает просто из-за того, что сферические волны, покидающие отверстие, не согласованы с плоской формой поверхности , на которой рассматривается корреляция поля. Если взять корреляцию на сфере этот множитель обратится в единицу.

Интеграл по в (11.10), зависящий только от разности характеризует поле когерентного источника с распределением амплитуды При размере отверстия а угловая ширина диаграммы направленности такого излучателя имеет порядок а линейная ширина центрального дифракционного лепестка в плоскости равна . Отсюда для поперечного радиуса корреляции сразу же следует, что

где — угловой размер отверстия из точки наблюдения. Как и ширина дифракционных лепестков, поперечный радиус корреляции возрастает по мере удаления от плоскости . Увеличение радиуса когерентности геометрически объясняется

тем, что при удалении от отверстия фазовые фронты всех элементарных сферических волн можно считать (с точностью до ) совпадающими на все большей площади.

Второй интеграл в (11.10) определяет пространственное распределение средней интенсивности дифракционного поля. Положив в учитывая, что интеграл по при равен площади отверстия S, имеем

По предположению масштаб изменения функции мал по сравнению с поперечником отверстия а. Поэтому ширина распределения интенсивности в плоскости , составляющая (угловая ширина имеет порядок велика по сравнению с поперечным радиусом корреляции

Рис. 6.

Таким образом, мы имеем здесь дело с примером квазиоднородного (в плоскости ) поля. В данном случае все реализации дифракционного поля за отверстием представляют собой быстрые пространственные осцилляции с масштабом и с размахом порядка (рис. 6.).

Если разделить функцию когерентности (11.10) на среднюю интенсивность дифракционного поля, то мы получим коэффициент

поперечной пространственной корреляции поля

где величина

представляет собой нормированное к единице преобразование Фурье от и одновременно — диаграмму направленности отверстия при нормальном падении на него плоской монохроматической волны. В частном случае круглого отверстия, когда при и обращается в нуль вне этого круга,

где — функция Бесселя первого порядка.

В пределе, когда радиус корреляции граничного поля мал по сравнению с длиной волны, интеграл по перестает зависеть от

Через здесь обозначена эффективная площадь когерентности граничного поля:

    (11.15)

которая по порядку величины равна 1%. В результате при из (11.10) вытекает так называемая теорема Ван-Циттерта — Цернике.

    (11.16)

Входящую сюда величину

    (11.17)

называют приведенной интенсивностью.

Согласно теореме Ван-Циттерта—Цернике модуль поперечной Функции когерентности зависит от разности так

же, как и поле в зоне Фраунгофера, создаваемое полностью когерентным источником с распределением амплитуды, пропорциональным . От обычных дифракционных формул выражение (11.16) отличается в двух отношениях. Во-первых, квадратичная по полю величина обратно пропорциональна квадрату (а не первой степени) расстояния. Во-вторых, это выражение вместе с исходной формулой (11,10) применимо, как уже отмечалось, на дистанциях причем в рассматриваемом пределе величина сравнима с а, тогда как диаграмма когерентного источника с поперечником а формируется на значительно больших дистанциях а.

Обычно теорему Ван-Циттерта—Цернике (11.16) получают путем формального введения дельта-коррелированных флуктуаций граничного поля, полагая в (11.5) или в (11.10)

    (11.18)

при этом в выражении (11.16) для приведенной интенсивности вместо произведения возникает переменная интенсивность . Источник с независимыми значениями поля в сколь угодно близких точках называют пространственно некогерентным.

Представление о пространственно некогерентном источнике является идеализацией, имеющей ограниченную область применимости. Дело в том, что поле бегущих волн по самой своей природе не может быть дельта-коррелированным в пространстве, поскольку (§ 9) масштаб изменения поля не может быть меньше длины волны Поэтому в рассматриваемой постановке задачи (дифракция случайного поля на отверстии) переход к пределу является, строго говоря, незаконным, что ставит справедливость вывода теоремы Ван-Циттерта—Цернике на основе (11.18) под сомнение. С теоремой (11.16) мы встретимся еще в одном важном случае, а именно в задаче об излучении поля системой точечных независимых источников, к которой мы обратимся в § 12. Смысл приведенной интенсивности в этой задаче будет, разумеется, иным, чем в (11.17).

Результаты, полученные выше для пространственной корреляции спектральных амплитуд, в случае квазимонохроматического поля сохраняют силу и для самих полей. В самом деле,

согласно (11.6) пространственная корреляционная функция равна

    (11.19)

Для квазимонохроматического поля функция сосредоточена в узкой полосе частот вблизи частоты . Поэтому приближенно

    (11.20)

где

— пространственная функция корреляции граничного поля, а - эффективная ширина полосы частот.

Переход от (11.19) к (11.20) возможен при выполнении неравенства

физический смысл которого заключается в том, что разность хода воли от разных частей отверстия должна быть мала по сравнению с длиной когерентности Простые оценки показывают, что для выполнения неравенства (11.21) достаточно условия квазимонохроматичности ) и условия которое требует, чтобы «центр тяжести» точек наблюдения не выходил за пределы размеров отверстия а.

2. Фокусировка случайных волн. Дифракционную картину в фокусе линзы можно получить из предыдущих результатов при помощи простых преобразований, поскольку поде

в фокальной плоскости линзы подобно полю отверстия на бесконечности.

Пусть в отверстии непрозрачного экрана иаходитси тонкая линза с главным фокусным расстоянием F. Действие линзы можно описать, введя под знак интеграла в фазовый множитель

    (11.22)

В главной фокальной плоскости показатель экспоненты упрощается и поле выражается просто преобразованием Фурье от

    (11.23)

От фраунгоферова приближения (11.11) для поля отверстия (без линзы) выражение (11.23) отличается только заменой на F, так что формулы для функций корреляции повторяют соответствующие выражения из п. 1. Так, при (малое отверстие) распределение интенсивности в фокальной плоскости оказывается таким же, как и для пространственно когерентной плоской волны. В противоположном случае (большое отверстие) распределение интенсивности может быть получено из (11.13):

Размер фокального пятна в этом случае дается выражением т. е. оно в раз больше, чем для детерминированного поля плоской волны Однако интенсивность в центре дифракционной картины теперь равна

что примерно в раз меньше, чем при когерентном освещении (малое отверстие). Разумеется, полная интенсивность, полученная интегрированием по всей плоскости , в обоих случаях одинакова и равна полной «входной» интенсивности

Как и при дифракции на отверстии, распределение интенсивности для квазимоиохроматического поля оказывается практически таким же, как и для строго монохроматической волны. Более того, в, оптике даже в случае белого света, у которого распределение интенсивности в плоскости лишь незначительно отличается от соответствующей картины для монохроматического поля. Именно поэтому при рассмотрении задач формировании оптического изображения допустимо пренебрежение эффектами, обусловленными временной некогерентностью поля [21, 36].

3. О роли пространственной когерентности освещения в формировании оптического изображения. Рассмотрим простейшую оптическую систему, содержащую только одну тонкую линзу (рис. 7).

Рис. 7.

Полупрозрачный объект, например диапозитив, характеризуемый комплексным коэффициентом пропускания расположен в предметной плоскости При освещении этого объекта слева плоской монохроматической волной непосредственно за объектом создается поле

где — радиус-вектор точки в предметной плоскости.

В плоскости где расположена линза, образуется ноле — вектор в плоскости которое вофренелевском приближении (9.17) равно

«На выходе» линзы возникает поле

    (11.26)

где множитель равный нулю вне линзы и единице на линзе, описывает действие ограничивающей линзу диафрагмы, а множитель действие линзы с фокусным расстоянием

Наконец, пересчет поля (11.26) от линзы к плоскости изображения также может быть произведен во френелевском приближении:

Выражения связывают поле и в плоскости изображения с коэффициентом пропускания характеризующим объект, и с первичным полем а свойства которого определяются источником света. Не рассматривая собственно оптический аспект задачи, уделим основное внимание особенностям формирования изображения в зависимости от степени пространственной когерентности освещения полупрозрачного объекта.

С этой целью примем с самого начала, что плоскости предмета и изображения сопряжены в смысле геометрической оптики, т. е. Подставив последовательно (11.26), (11.25) и (11.24) в (11.27), получаем

Интегрирование по дает

где S — площадь отверстия, а через обозначена нормированная к единице трансформанта Фурье от (см. (11.14)). В результате

Выражение (11.28) представляет собой частный случай более общей формулы

которая принадлежит к соотношениям типа (9.2) и в рассматриваемой задаче связывает поле в предметной плоскости произвольной оптической системы с облучающим полем и функцией пропускания объекта Функцию называют аппаратной функцией системы. Характерный масштаб изменения аппаратной функции в плоскости изображения (т. е. по ) — это радиус дифракционного пятна, отвечающего точечному объекту, а масштаб изменения по аргументу определяет размер области в плоскости предмета, дающей заметный вклад в поле в данной точке плоскости изображения. Ииыми словами, это предел разрешения оптической системы.

В рассматриваемом случае однолинзовой системы с круглой диафрагмой аппаратная функция равна

где Согласно (11.30) точечному объекту, помещенному в точку отвечает дифракционное пятно с центром В точке Отношение характеризует увеличение данной системы, а знак минус отвечает перевернутому изображению. Так как функция Бесселя первый раз обращается в нуль приха характерным масштабом аппаратной функции по может служить радиус первого темного кольца Эйри в дифракционном изображении точечного объекта, равный тогда как масштаб изменения по , (с точностью до множителя порядка единицы — это релеевский предел разрешения) равен

При анализе свойств изображения мы будем исходить из общей формулы (11,29), а частный вид этой формулы (11.28) используем только для иллюстрации общих выводов. Согласно (11.29) при освещении объектов частично когерентным светом средняя интенсивность поля в плоскости изображения равиа

где

пространственная функция когерентности первичного поля.

Для заданного объекта (функция фиксирована) характер распределения интенсивности в предметной плоскости зависит

от соотношения между радиусом когерентности первичного поля характерный масштаб изменения функции когерентности , размером области разрешения (характерный масштаб изменения аппаратной функции по и размером наиболее мелких деталей объекта Соотношение между определяется характеристиками соответственно объекта и оптического прибора. Если считать эти величины заданными, то воздействовать на изображение можно, только менян т. е. меняя характер облучения.

Рассмотрим предельные случаи , которые принято называть соответственно когерентным и некогерентным освещением предмета. При когерентном освещении можно считать, что в области, существенной для интегрирования в (в этой области обе функции отличны от нуля, так что функция когерентности практически постоянна (поскольку ). Вынося ее за знак интеграла со значением где интенсивность облучающего поля, получаем

Такую же формулу можно получить, разумеется, и непосредственно из (11.31), если считать первичное поле когерентным на всей плоскости предмета. Из приведенного вывода видио, что требование когерентности на всем предмете является излишним: для справедливости (11.32) достаточно, чтобы первичное поле было когерентным лишь в пределах области разрешения 6.

В другом предельном случае некогерентного освещения существенная для интегрирования область в (11.32) ограничена площадью когерентности с линейными размерами . В пределах этой площади функции ) можно приближенно заменкть соответственно на и в результате получим

Внутренний интеграл равен , где, подобно (11.15), введена площадь когерентности равная интегралу от коэффициента корреляции первичного поля .

Таким образом, распределение средней интенсивности в плоскости изображения при некогерентном освещении дается выражением

Формально это выражение можно получить из (11.31), считая, как и в (11.18), первичное поле дельта-коррелированным.

Формулы (11.32) и (11.33) существенно отличаются друг от друга. Можно сказать, что при когерентном (в указанном выше смысле, т. е. при освещении происходит преобразование самого комплексного коэффициента пропускания передаточной функцией а при некогерентном освещении преобразуется квадрат модуля (с передаточной функцией ). Отсюда следует, в частности, что при некогерентном освещении изображение не зависит от фазы комплексной функции пропускания тогда как когерентное освещение может выявить резкие вариации фазы/даже при . Например, если на некоторой линии в плоскости предмета фаза скачком меняется на , а , то, как следует из (11.32), в плоскости изображения на соответствующей (сопряженной) линии интенсивность обратится в нуль и мы увидим там темную полосу. Правда, при плавном (в масштабе 8) изменении модуля и аргумента коэффициента прозрачности, т. е. при вида освещения дают практически одинаковое изображение, так как в обоих случаях распределение интенсивности в плоскости изображения пропорционально

Укажем еще на два различия между когерентным и некогерентным освещением. Во-первых, при одинаковой интенсивности освещения интенсивность и плоскости изображения при когерентном свете будет больше, чем при некогерентном, поскольку Ширина углового спектра у некогерентного облучения больше, Чем у когерентного. Во-вторых, в предельных случаях освещения возникают различия и в величине разрешающей способности: некогерентном освещении размер наименьших различимых Релею деталей несколько меньше (примерно на ), чем при когерентном. Это различие связано просто с тем, что входящий в формулу (11.33) квадрат модуля меняется функции от координаты , круче, чем сама аппаратная функция ) в формуле . В результате при разрешении двух точечных объектов с центрами в точках провал между горбами в распределении интенсивности в плоскости изображения получается более глубоким, если световые колебании в точках некогерентны. Провал можно сделать еще глубже, если добиться отрицательной корреляции освещающего поля в точках (отрицательные значения может принимать, например, функция когерентности вида отвечающая равномерно светящемуся диску или же пучку света, пропущенному через малое круглое отверстие). Этот красивый по своей идее способ увеличения разрешающей способности дает, однако, весьма незначительный выигрыш (всего лишь на несколько

процентов) по сравнению с некогерентным облучением. Более подробно этот вопрос рассмотрен в книге [21].

Возникающие в оптике статистические задачи, конечно, не исчерпываются приведенными примерами. Среди других проблем упомянем пространственную фильтрацию, статистические вопросы, связанные с несовершенством оптических систем и с зернистостью фотоматериалов, использование оптических систем для корреляционного анализа и т. д. С этими и некоторыми другими приложениями можно познакомиться по работам [13—22]. Многие идеи, развитые первоначально в оптике, нашли применение и в радиотехнике [37].