§ 10. Дифракция плоской волны на безграничном хаотическом экране

Первичное поле на границе рассматриваемой области может флуктуировать как из-за флуктуаций в его источниках (находящихся вне данной области), так и в результате случайных возмущений, внесенных в первоначально детерминированную первичную волну при ее распространении. Примером может служить прохождение этой волны через случайно-неоднородную среду или слой такой среды. Если толщина этого слоя достаточно мала, то его можно рассматривать как бесконечно тонкий экран. Применимость общих методов расчета поля в области, на границе которой задано случайное поле (§ 9), конечно, не связана с тем, по каким причинам флуктуирует поле на границе. Существенно лишь то, что статистика этих флуктуаций известна,

Начнем с простейшей задачи о прохождении плоской монохроматической волны через плоский безграничный хаотический экран, следуя в основном работе [23].

1. Основные соотношения. Пусть монохроматическая волна падает на безграничный экран, расположенный в плоскости Экран пространственно модулирует падающую волну в соответствии со своей функцией пропускания — комплексной функцией, модуль которой описывает амплитудную модуляцию, а аргумент — фазовую. Граничное поле , т. е. поле непосредственно за экраном есть

Для краткости мы опускаем множитель а также аргумент в спектральных амплитудах.

Если падающая волна плоская н распространяется по нормали к экрану, то так что

— поле на граничной плоскости просто равно функции пропускания, и, соответственно, статистика в случае хаотического экрана та же, что Формулы (9.12) и (9.16) позволяют связать статистические моменты поля и за экраном (т. е. в области с моментами граничного поля . Найдем первый и второй моменты поля и в простейшем случае статистически однородного хаотического экрана, для которого

а корреляционная функция зависит только от разностей координат:

В силу (10.2) имеем

Для среднего поля за экраном по формуле (9.12) находим

Интеграл легко вычисляется и равен . Таким образом, среднее поле за экраном — это плоская волна

амплитуда которой равна средней прозрачности

Для нахождения функции корреляции воспользуемся выражением (9.16), из которого следует, что

где даются выражением (9.15) соответственно при . Но для однородного граничного поля

где — двумерная спектральная плотность, через которую выражается корреляционная функция граничного поля:

Подставляя (10.5) в (10.4), находим

Таким образом, поле статистически однородно в плоскостях , что является следствием однородности в плоскости . Из сравнения (10.7) с двумерным спектральным представлением

следует, что пространственная спектральная плотность есть

Спектральные составляющие с (неоднородности граничного поля меньше длины волны) порождают в полупространстве неоднородные волны, ослабевающие при удалении от экрана по экспоненциальному закону. Для точек наблюдения

и удаленных от экрана уже на несколько длин волн приближенно

Подставляя (10.9) в (10.8), получаем для корреляционной функции выражение

где Из (10.10) видно, что при случайное поле становится статистически однородным не только в поперечных плоскостях , но и в продольном направлении .

Используя формулу (10.10), рассмотрим частные случаи мелкомасштабных и крупномасштабных флуктуаций граничного поля .

В случае мелкомасштабных флуктуаций, когда радиус корреляции граничного поля мал по сравнению с длиной волны , т. е. при можно принять, что спектральная плотность практически постоянна в круге игйи приближенно равна Тогда из (10.10) получаем

    (10.11)

Поперечная функция корреляции, т. е. функция корреляции в плоскости , перпендикулярной к направлению распространения, получается из (10.11) при

где - функция Бесселя первого порядка. При увеличении отношение проходит в первый раз через нуль , т. е. при Таким образом, уже на расстояниях в несколько X от экрана поперечный радиус корреляции поля — величина порядка длины волны, т. е. значительно больше радиуса корреляции в плоскости

Из выражения для продольной функции корреляции

следует, что продольный радиус корреляции тоже порядка длины волны: Таким образом, в случае мелкомасштабных флуктуаций на экране как поперечный, так и продольный

радиусы корреляции поля при удалении от экрана увеличиваются и при достигают значений порядка длины волны.

Вместе с тем происходит уменьшение дисперсии флуктуаций, т. е. их сглаживание. Действительно, при помощи (10.11) находим

Но

так что

В пределе при (очень мелкие неоднородности экрана) флуктуационное поле и вообще исчезает, так как столь мелкие неоднородности порождают за экраном только неоднородные (экспоненциально спадающие) волны.

Обратимся теперь к крупномасштабным неоднородностям граничного поля . Такие флуктуации порождают бегущие волны, в силу чего особенно важны в приложениях. Мы уделим им поэтому основное внимание.

В случае крупномасштабных флуктуаций граничного поля двумерный спектр сосредоточен в узком интервале значений Это позволяет разложить продольное волновое число в формуле (10.10) в ряд Тейлора по степеням и ограничиться двумя первыми членами:

Кроме того, не совершая заметной ошибки, можно раздвинуть пределы интегрирования в (10.10) до и тогда 00

    (10.12)

Нетрудно убедиться, что сделанные допущения эквивалентны использованию для поля френелевского приближения (9.17).

Положив в получаем поперечную функцию корреляции:

    (10.13)

(см. (10.6)). Таким образом, поперечная функция корреляции волнового поля и равна функции корреляции граничного поля

и не меняется при удалении от экрана. Тем самым и поперечный радиус корреляции такой же, как в плоскости экрана:

Сохранение поперечной функции корреляции, отмеченное впервые в работе [24], означает сохранение и дисперсии и поперечной функции когерентности. В самом деле, учитывая закон изменения среднего поля (10.3), имеем для волны, не ограниченной в поперечной плоскости,

При отсюда вытекает постоянство средней интенсивности при удалении от экрана:

Следует подчеркнуть, что сохранение при удалении от плоскости не имеет места для статистически неоднородного экрана и для иеплоской падающей волны, а более высокие моменты поля не сохраняются даже для плоской волны и статистически однородного экрана.

Продольная функция корреляции получается из (10.12) при

Заметное уменьшение модуля функции по сравнению с максимальным значением наступает при когда подынтегральная экспонента начинает осциллировать в пределах интервала в котором сосредоточен спектр Отсюда можно оценить продольный радиус корреляции

т. е. в 1 раз больше поперечного масштаба

Можно сказать, что продольная корреляция флуктуаций поля исчезает тогда, когда радиус первой зоиы Френеля V% отрезка становится больше поперечного радиуса корреляции:

Проиллюстрируем сказанное о соотношении между продольным и поперечным масштабами корреляции примером, в котором функция корреляции поля вычисляется точно. Пусть у поля на экране корреляционная функция гауссова:

Для нее

и простой расчет по формуле (10.12) дает

где Характерный масштаб изменения имеет порядок , в поперечном направлении и в продольном. Поверхности равных значений имеют при этом форму овалоидов, сильно вытянутых вдоль оси .

2. Прохождение плоской волны через фазовый хаотический экран. Так называют прозрачный экран с функцией пропускания где S — вещественная случайная функция, т. е. экран модулирует только фазу, но оставляет неизменной амплитуду (и, следовательно, интенсивность) волны. В полупространстве фазовый экран вызывает в прошедшей волне - как фазовую, так и амплитудную модуляцию. Последнюю можно наблюдать, например, на листе бумаги при прохождении света через оптически неоднородное или неровное (скажем, обычное оконное) стекло, если отодвинуть бумагу на некоторое расстояние от стекла.

Фазовый экран часто используется в качестве модели для описания ряда явлений как в оптике, так и в радиофизике. Например, линза с оптическими неоднородностями модулирует главным образом фазу проходящей световой волны. Такое же действие оказывает ионосфера Земли на проходящие через нее радиоволны УКВ-диапазона. Модель фазового экрана применяют Также (хотя и с меньшими основаниями) при анализе мерцаний радиоволн, посылаемых внеземными радиоисточниками и проходящих через статистически неоднородную межпланетную или межзвездную среду.

Если на неограниченный плоский фазовый экран падает плоская волна то граничное значение поля в плоскости экрана равно

Выясним, как связаны статистические моменты поля прошедшей волны с функцией корреляции фазы

где — дисперсия, — коэффициент корреляции фазы.

Предположим, что флуктуации S статистически однородны в плоскости имеют нулевое среднее значение и подчиняются нормальному закону распределения вероятностей.

Учитывая, что для нормально распределенной величины а с справедлива формула находим

Но при средний квадрат разности фаз — это структурная функция фазы связанная с корреляционной функцией соотношением (4.6). Поэтому

Среднее значение и поперечную функцию когерентности поля за экраном можно найти по формулам (10.3) и (10.14):

причем поперечная функция корреляции равна

    (10,15)

Если флуктуации фазы на экране слабы то из (10.15) имеем

т. е. при малых флуктуациях фазы поперечная функция корреляции поля во всем полупространстве совпадает с . В случае же больших дисперсий фазы среднее значение поля пренебрежимо мало по сравнению с единицей, а величина заметно отличается от иуля только при малых . Учитывая это, пренебрежем в (10.15) членом и разложим коэффициент корреляции в ряд Тейлора.

Считая для простоты флуктуации фазы на экране изотропными, имеем

    (10.17)

где штрихом обозначено дифференцирование по (линейный по член в разложении (10.17) отсутствует, так как случайное поле фазы предполагается дифференцируемым, . В результате получаем

    (10.18)

где учтено, что значения в нуле вторых производных отрицательны.

Из (10.18) видно, что корреляция исчезает при где — радиус корреляции фазы. Поэтому поперечного радиуса корреляции получаем оценку

Таким образом, при радиус корреляции примерно в раз меньше корреляционного масштаба фазы Нетрудно понять, с чем связано это различие масштабов смещении вдоль экрана на расстояние порядка радиуса корреляцни фаза S изменяется на величину совершив при этом не более одной осцилляции. В то же время граничное поле испытывает на том же расстоянии примерно осцилляций, откуда и следует, что

Приведенные выше соотношения используются, например, при интерпретации данных о прохождении ультракоротких радиоволн от внеземных источников через ионосферу Земли [23—26], в которой имеются неоднородности электронной концентрации. При определенных условиях можно считать, что поле на выходе из ионосферы испытывает только фазовые флуктуации.

Если дисперсия фазы мала. по сравнению с единицей, то пространственная функция корреляции поля на поверхности Земли совпадает, согласно с функцией корреляции фазы которая определенным образом связана с функцией корреляции ионосферных неоднородностей. Следовательно, при можно непосредственно измерить корреляционную функцию фазы волны, прошедшей через ионосферу, и судить о неоднородностях ионосферы.

Значительно сложнее интерпретировать данные наблюдений при В этом случае функция корреляции изотропного поля связана с соотношением (10.18), при помощи Которого можно оценить лишь величину - Дополнительные сведения о и 15 можно извлечь из данных об относительных флуктуациях интенсивности волны (см. ниже), но и с привлечением этих данных добиться однозначной интерпретации трудно.

Дело в том, что ионосферные неоднородности расположены не на фиксированной высоте, а распределены (причем неравномерно) на высотах от 100 до 400 и более километров над уровнем Земли. Кроме того, эти неоднородности имеют широкий Диапазон горизонтальных масштабов {от 1 до 1 500 км), их действие часто маскируется сильно фокусирующими образованиями («ионосферными линзами») и т. д. Поэтому наблюдения флуктуаций поля на Земле позволяют оценивать только грубые

характеристики ионосферных неоднородностей: их горизонтальные масштабы, степень анизотропии (неоднородности, как правило, вытянуты вдоль линий магнитного поля Земли), вероятную высоту их расположения, а также среднюю скорость перемещения (дрейфа) неоднородностей [28, 29].

3. Флуктуации амплитуды и фазы за безграничным фазовым экраном. Во многих приложениях, в частности в задачах радиосвязи и радионавигации, представляют самостоятельный интерес статистические характеристики амплитуды и фазы волны. Для их вычисления кроме первой функции корреляции комплексного поля которая в случае плоской волны и статистической однородности экрана не меняется при удалении от последнего, необходима и вторая корреляционная функция

Закон преобразования второй функции корреляции при/удалении от экрана можно получить помощи френелевского приближения (9.17), которое применимо к полям именно с крупномасштабными неоднородностями на границе. Используя (9.17) и опуская для краткости аргумент находим

    (10.19)

где — вторая корреляционная функция поля на экране. Введем новые переменные итерирования Интеграл по легко вычисляется, при этом зависимость от из (10.19) выпадает и остается лишь зависимость от . Переобозначив в оставшемся интеграле через через , получаем

Таким образом, вторая корреляционная функция преобразуется почти так же, как и само поле: отличие от (9.17) заключается лншьвтом, что в (10.20) входит удвоенное расстояние от экрана .

Последующие выкладки упростятся, если вместо флуктуационной части поля и ввести вспомогательную случайную величину а которая представляет собой комплексную амплитуду флуктуаций поля. Первая и вторая корреляционные функции этой величины преобразуются по формулам, аналогичным

    (10.21)

В отличие от (10.20), в (10.22) не входит множитель

Кроме того, удобно нормировать средний квадрат поля на экране а к единице:

    (10.23)

Такая нормировка отвечает непоглощающим и неотражающим экранам, поскольку падающая волна единичной интенсивности порождает за экраном волну с той же средней интенсивностью:

Это условие, очевидно, выполнено для чисто фазового экрана.

Рис. 3.

Свяжем теперь величину а с амплитудой А и фазой волны распространяющейся за экраном. Имеем

где без ограничения общности можно считать вещественной величиной. Разделяя а на вещественную (а) и мнимую части, находим, что

откуда

    (10.24)

На рис. 3 показаны соответствующие векторы на комплексной плоскости амплктуды .

Задача о нахождении из (10.24) статистических характеристик амплитуды А и фазы 5 решается до конца в двух частично перекрывающихся случаях: при слабых флуктуациях поля на экране, когда малы по сравнению с единицей, и во фраунгоферовой зоне, когда величины а и а" распределены по нормальному закону. Эти случаи и будут рассмотрены ниже.

Исследуем сначала флуктуации амплитуды и фазы при слабых флуктуациях. Пренебрегая малыми членами порядка

и учитывая, что в силу при помощи (10.24) получаем средние значения А и

    (10.25)

а также выражения для корреляционных функций :

где - корреляционные функции вещественной и микмой частей комплексного случайного поля а. В общем случае они выражаются через первую и вторую функции корреляции при помощи формул (2.14). Однако, если - четная функция , то справедливы более простые формулы (2.22):

Таким образом, посредством формул (10.25) и (10.26) первые два момента амплитуды и фазы выражены через первую и вторую корреляционные функции комплексного поля а. Последние же преобразуются при удалении от экрана в соответствии с выражениями (10.21) и (10.22), чем и решается поставленная задача [23].

В частном случае фазового экрана с начальной фазой S, распределенной по нормальному закону, имеем

    (10.28)

где - корреляционная функция фазы в плоскости Для гауссовой корреляционнойфункции фазы

    (10.30)

эти интегралы легко вычисляются и, в частности, при дают

где Величину D называют вслед за Г. С. Гореликом [43] волновым параметром. Этот параметр показывает

во сколько раз площадь первой зоны Френеля превышает по порядку величины «площадь» одной неоднородности т. е. сколько неоднородностей умещается в этой зоне. В зависимости от значения волнового параметра можно выделить три области дистанции (которые тоже называют зонами): ближнюю френелевскую и фраунгоферову зоны (по отношению к отдельной неоднородности). Для каждой них характерны определенные особенности флуктуаций.

В ближней зоне преобладают, естественно, фазовые флуктуации: При удалении от экрана амплитудные флуктуации нарастают, а фазовые уменьшаются, причем в пределе (фраунгоферова зона) дисперсии амплитуды и фазы выравниваются:

    (10.32)

Корреляция между А и S пренебрежима в ближней и дальней зонах и максимальна при

Обратимся теперь к флуктуациям в зоне Фраунгофера при произвольных (не обязательно слабых) флуктуациях поля на экране. При в пределах первой зоны Френеля с радиусом которая только и существенна для интегрирования в (9.17), умещается много неоднородностей поля на экране. В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей закон рчспределення величин приближается поэтому к нормальному.

Нормализация этих величин обусловлена «фильтрующим» действием свободного пространства и имеет такую же природу, как и нормализация временных сигналов на выходе узкополосных фильтров (ч. I, § 50). Действительно, преобразование случайного поля по формуле (9.17) вполне аналогично преобразованию случайных процессов, причем аналогом импульсной функции в нашем случае является разностное ядро преобразования (9.17), которое и осуществляет фильтрацию с эффективной шириной полосы пространственных частот . С ростом дистанции эта полоса сужается и при (т. е. в дальней зоне, ) становится значительно уже первоначальной ширины пространственного спектра При этих условиях и происходит нормализация поля .

То обстоятельство, что в дальней зоне распределены по нормальному закону, дает возможность найтн плотности вероятностей амплитуды и фазы и вычислить моменты этих величин. По существу, речь идет о хорошо изученной задаче о статистике огибающей А и фазы S сигнала представляющего собой сумму гармонического колебания и гауссова шума и

Для гауссовых величин закон распределения вероятностен полностью характеризуется только низшими моментами — средними значениями и функциями корреляции. В нашем случае , а функции корреляции выражаются через первую и вторую функции корреляции комплексного поля а посредством формул (10.27). В зоне Фраунгофера эти формулы существенно упрощаются, поскольку при вторая корреляционная функция пренебрежимо мала по сравнению с первой. В результате при 1 имеем

т. е. в зоне Фраунгофера поля некоррелированы, а автокорреляционные функции одинаковы и отличаются коэффициентом от первой функции корреляции поля на экране. Как следствие этого, функции и связанные с ними статистические характеристики амплитуды и фазы не зависят от расстояния до экрана: с ростом дистанции г они остаются такими же, как на «входе» в дальнюю зону

Определение статистических моментов амплитуды и фазы при известной (гауссовой) статистике а и а проводится таким же образом, как и в ч. I, §§ 25 и 44 (см. также [30, 31]).

4. Флуктуации интенсивности за безграничным фазовым экраном. При рассмотрении флуктуаций интенсивности обычно интересуются их функцией корреляции

и так называемым индексом мерцаний :

который характеризует относительные флуктуации интенсивности. Если принять, как и выше, что то

    (10.34)

Как и при анализе амплитудных и фазовых флуктуаций, расчеты удается довести до конца лишь в двух частично пересекающихся предельных случаях — для слабых флуктуаций и для фраунгоферовой зоны.

Используя результаты п. 3, легко показать, что в случае слабых флуктуаций

Таким образом, флуктуации интенсивности меняются при удалении от экрана по тому же закону, что и флуктуации амплитуды. При 1 (зона Фраунгофера) стремится к предельному значению

    (10.36)

независимо от вида функции корреляции фазы на экране.

При расчете в дальней зоне воспользуемся формулой из задачи 12 к гл. 1, которая справедлива для полей, распределенных по нормальному закону. При 1 имеем да 0, так что и

    (10.37)

Так как мы приняли, что для индекса мерцаний в дальней зоне получаем

    (10.38)

Согласно этим формулам функция корреляции интенсивности и индекс мерцаний при уже не зависят от .

В частном случае фазового экрана с гауссовыми флуктуациями фазы, когда дается выражением (10.15), получаем

    (10.39)

При последнее выражение переходит, как и следовало ожидать, в формулу (10.36). В другом частном случае — экран с нулевым средним полем выражения (10.37) и (10.38) принимают особенно простой вид:

Аиалнз флуктуаций в общем случае наталкивается на значительные математические трудности. Если флуктуации поля на экране не малы и точка наблюдения не удалена во фраунгоферову зону по отношению к отдельной неоднородности, то расчет индекса мерцаний сводится, в рамках френелевского приближения (9.17), к вычислению интеграла

    (10.40)

где

— смешанный момент четвертого порядка. Для произвольных функций (1,2, 3,4) значения интегралов вида (10.40) можно находить лишь численными методами. Рассмотрим полученные таким путем в [32] результаты для фазового экрана.

Если фазовые флуктуации распределены по нормальному закону, то

где — значения функции корреляции фазы S при — дисперсия фазы. На рис. 4 показаны полученные в [32] графики зависимости индекса мерцаний (52 от нового параметра для гауссовой функции корреляции фазы (10.30) и для значений дисперсии от 0,1 до 5.

Рис. 4.

Поведение этих кривых нам уже частично известно: в зоне Фраунгофера а при слабых флуктуациях фазы Новым является наличие при максимумов при промежуточных значениях величины максимумов при сильных флуктуациях фазы в [32], а также в [33], где было проведено качественное рассмотрение вопроса, дана оценка Более аккуратные расчеты, проделанные в [34, 35] для функции корреляции фазы произвольного вида, привели к следующему асимптотическому значению при

Здесь у — численный коэффициент, равный а — величина порядка радиуса корреляции фазы. Для гауссовой функции корреляции Эти оценки указывают на логарифмическое «насыщение» индекса мерцаний с ростом

Максимум индекса мерцаний приходится, согласно [32—35], на расстояние равное

Формула (10.41), как и самый факт появления максимумов, допускает простую геометрическую интерпретацию: флуктуации интенсивности максимальны там, где волны за фазовым экраном фокусируются. Действительно, в приближении геометрической оптики фокусировка происходит на расстоянии от фазового экрана, где v — кривизна фазового фронта. По порядку величины (х — одна из координат в плоскости Следовательно, что совпадает с (10.41). Очевидно, чем больше дисперсия фазы тем ближе к экрану расположена зона фокусировок.

Эффект фокусировки волн и обусловленные им максимумы индекса мерцаний характерны, очевидно, только при условии, что на экране хорошо выражены именно фазовые флуктуации. Если же на экране флуктуирует только амплитуда, то дифракция приводит не к увеличению, а, наоборот, к сглаживанию флуктуаций интенсивности, т. е. к уменьшению индекса мерцаний. Примеры такого сглаживания рассмотрены в задачах 7 и 8. Сглаживание флуктуаций интенсивности происходит также в том случае, когда на фазовый экран падает не плоская волна, а волна от источника конечных угловых размеров [32].