§ 25. Средняя интенсивность рассеянного поля

Для того чтобы лучше уяснить основные закономерности рассеяния, сделаем ряд допущений, которые упрощают анализ, по вместе с тем сохраняют общность, достаточную для многих приложений теории. Допущения сводятся к следующему.

а) Среда в среднем однородна, т. е. .

б) Первичное поле представлнет собой ненаправленную сферическую волну с центром в точке

где -волновое число в однородной среде:

в) Функция Грина описывает ноле точечного источника в неограниченной однородной среде:

г) Поле флуктуаций статистически квазиоднородно, т. е. корреляционная функция имеет вид (§ 5)

где и зависимость от R «медленна», т. е. масштаб изменения по аргументу R существенно больше, чем характерный масштаб (радиус корреляции ) по разностному аргументу . Спектральная плотпость таких флуктуаций, определяемая выражением

— медленная функция R, т. е. она мало меняется на расстояниях порядка

д) Наконец, будем считать, что случайные неоднородности заполняют ограниченный объем К и в этом объеме содержится

много неоднородностей. Последнее условие можно записать в виде неравенства

где L — поперечный размер области, занятой неоднородностями. Предположение о конечности рассеивающего объема необходимо для обеспечения малости однократно рассеянного поля, тогда как неравенство (25.5) принято лишь для упрощения расчетов.

Конечность рассеивающего объема удобно учитывать при помощи обрезающей функции

Введя ее под знак интеграла в (24.11), можно распространить интегрирование на все пространство. Для первичной сферической волны (25.1) и функции Грина свободного пространства (25.2) однократно рассеянное поле (24.11) запишется в виде

В дальнейшем мы обратимся к некоторым более общим постановкам задачи (учет временных изменении , расчет поляризационных характеристик электромагнитного поля и др.). Вместе с тем мы будем иногда вводить частные допущения (плоская первичная волна, статистически однородные флуктуации и т. д.). Здесь же, исходя из (25.7), мы получим выражения для функции корреляции , в частности, для средней интенсивности рассеянного поля.

Согласно (25.7) пространственная функция корреляции поля равна

От выражения (24.14) эта формула отличается только тем, что в ней конкретизированы вид первнчного поля и вид функции Грина.

Перейдем в (25.8) к переменным интегрирования откуда причем

Формула (25.8) принимает вид

где

Все последующие упрощения формулы (25.9) основаны на том, что функция корреляции неоднородной среды становится при очень малой. Мы можем поэтому воспользоваться разложением модуля вектора в ряд Тейлора по степеням малого отношения

    (25.11)

где — перпендикулярная к составляющая вектора

Применим разложение (25.11) к каждому из слагаемых, входящих в и получаем

Здесь

    (25.13)

— разность хода от «точки рассеяния» до точек наблюдения ; - единичные векторы, направленные на точки (рис. 23):

— перпендикулярные к составляющие вектора .

Выясним условия, при которых в (25.12) можно пренебречь квадратичными и кубичными по членами.

Рис. 23.

Фактическая область интегрирования по выделена неравенством Требуя малости квадратичных членов в (25.12) по сравнению с при получаем неравенство

    (2515)

которое заведомо будет выполнено, если оно справедливо для каждого из слагаемых:

Смысл же последних неравенств заключается в том, что точки наблюдения должны находиться во фраунгоферовой зоне по отношению к неоднородностям размера

Ясно, однако, что неравенство (25.16) следует рассматривать как достаточное условие пренебрежения высшими степенями , поскольку в (25.15) входит разность двух примерно одинаковых по величине, слагаемых. Если точки наблюдения совмещены ), то левая часть (25.15) обращается в нуль и квадратичные члены в разложении (25.12) просто отсутствуют. Вместо (25.15) следует потребовать в этом случае малости (по сравнению с ) уже не квадратичных, а кубичных членов:

Это неравенство налагает на расстояния ограничение

В случае крупных неоднородностей условие (25.17) значительно слабее условия (25.16), согласно которому точки наблюдения должны находиться во фраунгоферовой зоне отдельной неоднородности (размер ). Напротив, при неравенстве (25.17) сильнее условия (25.16). Для неоднородностей, размеры которых сравнимы с длиной волны, оба условия (25.16) и (25.17) равносильны.

Что касается слагаемого , то разложение этой величины содержит только нечетные степени . Поэтому при выполнении аналогичного (25.17) условия

    (25.18)

позволяющего отбросить кубичные члены разложения, имеем

где

    (25.19)

— единичный вектор в направлении распространения первичной волны в точке R (рис. 23). В результате

В знаменателе подынтегрального выражения (25 9) и в произведении мы просто пренебрежем . Для такого упрощения знаменателя достаточно, чтобы обе точки наблюдения и точка излучения отстояли от точки рассеяния R не меньше, чем на . Замена же произведения на или, что то же, на пригодна во всем объеме V, за исключением приграничного слоя толщины порядка Совершаемая при этой замене относительная ошибка — порядка отношения объема пограничного слоя к полному объему т. е. порядка (см. (25.5)).

При сделанных допущениях формула (25.9) принимает вид

где введено обозначение

    (25.22)

Согласно (25.4) интеграл по можно выразить через спектральную плотность квазиоднородных флуктуаций:

    (25.23)

так что окончательно получаем

    (25-24)

Анализ этой функции корреляции мы отложим до § 27, а здесь рассмотрим только пространственное распределение средней интенсивности

    (25.25)

При совмещении точек наблюдения — , так вектор Q (25.22) переходит в так называемый вектор рассеяния

В результате средняя интенсивность будет

Как видно отсюда, волны, рассеянные отдельными элементами объема складываются некогерентно, т. е. складываются их интенсивности: выражение под интегралом (конечно, вместе с коэффициентом, вынесенным в (25.27) из-под интеграла) представляет собой среднюю интенсивность поля, рассеянного элементом объема

Формулу (25.27), выведенную для сферической первичной волны (25.1), нетрудно распространить на волны другой формы. Величина интенсивность сферической волны в точке R. Записав (25.27) в виде

мы получаем выражение, справедливое для любого первнчного ноля, если его структура в пределах одной неоднородности размера практически не отличается от структуры сферической волны. Последнее означает, что и пределах отдельной неоднородности амплитуду поля и радиус кривизны волнового фронта можно считать постоянными, причем радиус должен удовлетворять еще неравенствам вида (25.18), т. е.

Таким образом, мы можем применить выражение (25.28) и к плоской первичной волне

    (25.29)

для которой отличие от (25.19), единичный вектор указывающий направление распространения первичной волны, здесь постоянен во всем пространстве), и к направленной сферической волне

    (25.30)

— диаграмма направленности излучателя), для которой

Наиболее существенная особенность формул (25.27) и (25.28) заключается в том, что они отражают селективный характер рассеяния. Пусть — угол между волновыми пекторами падающей и рассеянной волн, называемый углом рассеяния. Очевидно,

    (25.32)

Этому значению q отвечает простраиствеиная гарйоиика возмущений с длиной волиы

а направление нормали к фронту параллельно вектору q, т. е. параллелыю (рис. 24). Следовательно, равенство (25.33) — это условие Вульфа—Брегга, определяющее пространственный период той гармоннки, на которой волна дифрагирует под углом

Рис. 24.

Разумеется, пространственный спектр флуктуаций содержит бесконечный набор таких гармоник (объемных «днфракционных решеток») со всевозможными периодами и ориентациями. Селективность рассеяния заключается в том, что в заданном направлении , дают вклад волны, рассеянные лишь на выделенной решетке — с пространственным периодом (25.33) и с ориентацией, отвечающей закону отражения (в точке R) первичной волны из точки в точку . Интенсивность этой гармоники пропорциональна спектральной плотности которая и фигурирует в (25.27) и (25.28).

При обратном рассеянии, когда так что вектор рассеяния равен , а , рассеяние обусловлено гармоникой с периодом , т. е. с периодом, равным половине длины волны падающего излучения. Обратное рассеяние наблюдают в очень многих случаях, например в радио- и гидролокации, когда источник и приемник излучения расположены в одной точке.

Рассеяние мод произвольным углом часто используется в оптике при изучении неоднородностей в прозрачных материалах.

Рис. 25.

При уменьшении угла рассеяния 0 период А? увеличивается. Значения и X равны друг другу при При дальнейшем уменьшения пространственный период рассеивающей решетки , превышает X и для рассеяния вперед величина q обращается в нуль, а бесконечность. Это означает, что рассеяние вперед обусловлено наиболее крупными объемными возмущениями с пространственными масштабами

Формула (25.28) упрощается для столь малого рассеивающего объема, что в его пределах величины , практически постоянны. Вынося их из-под знака интеграла со значениями, соотнетствующимн, скажем, центру О рассеивающего объема получаем

    (25.34)

Здесь — вектор рассеяния, отвечающий центру рассеивающего объема, a -единичные векторы, направленные из О (рис. 25).

Замена множителя на возможна при очевидном условии, что точка наблюдення удалена на расстояние, значительно превышающее поперечный размер L рассеивающего объема:

    (25.35)

Если падающая волна сферическая, то переход от точного выражения для ннтеисивиостн к приближенному значению требует выполнения такого же неравенства и для расстояния до источника:

Что касается замены постоянным значением то для этого необходима, во-первых, статистическая однородность

флуктуаций в пределах должен быть больше поперечника L) и, во-вторых, малость изменения (в пределах объема V) вектора q по сравнению с характерным масштабом изменения спектра равным

    (25.36)

По порядку величины или — вариации направлений падающей и рассеянных волн в пределах V). Очевидно, так что неравенство (25.36) сводится к условию

    (25.37)

Поскольку ограничения для расстояния до источника сферической волны формулируются аналогичным образом, мы будем далее говорить только о неравенствах, относящихся к расстоянию до точки наблюдения.

В случае мелкомасштабных неоднородностей из двух неравенств (25.35) и (25.37) более жестким, очевидно, является первое, тогда как для крупномасштабных неоднородностей минимальное расстояние до точки наблюдения ограничено условием (25.37). Обозначив через меньшую из величин можно записать оба неравенства и (25.37) в виде

Обычно упрощенное выражение (25.34) выводят в предположении, что точка наблюдения находится Во фраунгоферовой зоне всего объема V. Для этого в выражении (25.7) (или в аналогичном ему выражении для плоской первичной волны) разлагают модуль разности в ряд по степеням и пренебрегают квадратичным слагаемым непосредственно в функции Грина (25.2). Это и приводит к фраунгоферову приближению

    (25.39)

Выражение для средней интенсивности, вычисляемое при помощи (25.39), значительно проще, чем в общем случае, а именно совпадает с (25.34). Однако условие

    (25.40)

которое необходимо для фраунгоферова приближения (25.39), гораздо жестче, чем условие (25.38), достаточное для применимости (25.34).

Во многих прикладных задачах измеряется не само рассеянное ноле а сигнал на выходе приемной антенны. Если

центр приемной апертуры расположен в точке , то выходной сигнал v представляет собой поле и, проинтегрированное по апертуре с весовой функцией которая описывает распределение тока в антенне в передающем режиме:

    (25.41)

Интегрирование по апертуре (волнистая черта), разумеется, не равносильно статистическому усреднению.

Подставим в (25.41) рассеянное поле (25.7), не конкретизируя пока вида первичной волны

Величину разложим в ряд Тейлора по :

    (25.43)

где единичный вектор, направленный из точки рассеяния в центр приемной апертуры (рис. 26).

Пусть d — наибольший размер приемной антенны, так что в пределах ее апертуры и пусть выполнено условие (точка лежит во фраунгоферовой зоне антенны, где уже сформировалась диаграмма направленности).

Рис. 26.

Тогда в показателе экспоненты в (25.42) можно ограничиться двумя первыми членами разложения (25.43), а в знаменателе подынтегрального выражения — первым членом этого разложения. Выполнив интегрирование по , находим

    (25.44)

где

— диаграмма направленности приемной антенны. Максимальное значение удобно нормировать к единице. Если весовая функция симметрична относительно центра то максимум достигается при т. е. при ориентации вектора по нормали к плоскости антенны.

От исходной формулы (25.7) выражение (25.44) отличается тем, что под интегралом появился диаграммный множитель . При малых по сравнению с длиной волны размерах приемной антенны этот множитель не зависит от направления и мы возвращаемся тогда к формуле (25.7).

Взяв в качестве первичной направленную сферическую волну (25.30), получаем для v выражение

которое, если ввести обозначение

    (25.47)

можно записать в виде

    (25,48)

Заметим, что в рассматриваемом случае, когда излучение и прием осуществляются направленными антеннами, область интегрирования в (25.46) или (25.48) остается конечной и тогда, когда неоднородности заполняют все пространство, т. е. всюду равно единице. Специальное ограничение величины занятого неоднородностями объема теперь излишне, так как произведение диаграммных множителей спадает практически до нуля вне области пересечения центральных (главных) лепестков обеих диаграмм (рис. 27).

Рис. 27.

Располагая выражением (25.46), нетрудно вычислить среднюю интенсивность сигнала на выходе антенны . В отличие от (25.27), под знак интеграла теперь войдет множитель

    (25.49)

При использовании остронаправленных передающих и приемных антенн интенсивность рассеянного поля удобно характеризовать величиной эффективного рассеивающего объема. Обозначим через вектор рассеяния отвечающий точке пересечения максимумов диаграмм направленности, которую естественно принять за начало координат, и запишем (25.49) в форме, аналогичной выражению

    (25.50)

Множитель

    (25.51)

определенный из сравнения (25.49) и (25.34), и представляет собой эффективный рассеивающий объем.

Величина как следует из (25.51), зависит от многих факторов: от расстояний до источника и приемника, от формы диаграмм направленности антенн и от вида спектра . При использовании остронаправленных антенн, если область пересечения диаграмм целиком лежит в рассеивающем объеме, величины можно с хорошим приближением принять равными единице, и тогда

    (25.52)

Эта формула часто используется при расчетах интенсивности радиоволн, рассеянных в тропосфере и нижней ионосфере [1].