§ 18. Примеры применений обобщенного закона Кирхгофа

Рассмотрим в качестве первого примера случай полупространства заполненного поглощающей однородной и изотропной средой с проницаемостями над которым среда тоже однородна и изотропна, но прозрачна (проницаемости вещественны) (рис. 13). Как мы знаем, для нахождения вторых моментов флуктуационного поля в какой-либо точке прозрачной среды надо знать дифракционные поля элементарных электрического и магнитного диполей с моментами помещенных в эту точку и I, — единичные векторы). Решение этой классической задачи можно найти в любом учебнике по распространению радиоволн (подобное изложение см., например, в монографиях [9, 10]).

Рис. 13.

Потери дифракционного поля в поглощающем полупространстве проще всего вычислить Как поток энергии через границу в это полупространство:

На плоскости мы ввели в (18.1) полярные координаты , причем диполи находятся на высоте h над началом Отсчета . Ясно, что будет зависеть только от и, конечно, от ориентаций диполей .

Разные выражения для отвечающие различным ориентациям , определят по формулам средние значения произведений соответствующих компонент флуктуационного поля. Если, скажем, направить по оси х и положить

, то мы получим если направить по оси по оси у, то соответствующее даст и т. д. Отличными от нуля оказываются только следующие моменты:

зависящие уже только от высоты h точки наблюдения над границей раздела.

Зная моменты (18.2), нетрудно составить выражения для спектральных плотностей (по электрической и магнитной энергий флуктуационного поля в прозрачной среде (с в и не зависящими от , т. е. в отсутствие дисперсии) и для -компоненты вектора Пойнтинга:

Как и моменты (18.2), величины (18.3) выражаются однократными интегралами от 0 до по некоторой переменной , причем расстояние h точки наблюдения от границы входит в подынтегральные выражения только через экспоненту где -волновое число в прозрачной среде . Тем самым, интегралы по , выражающие величины (18.3), распадаются на два существенно различных слагаемых. 1) Интегралы по интервалу от 0 до k. Здесь q чисто мнимое, и эта доля в величинах (18.3) не зависит от h. Это волновая часть флуктуационного поля. 2) Интегралы по интервалу от k до , где вещественно и положительно; соответствующие вклады в убывают с удалением от границы а в потоке энергии эта часть вообще отсутствует, так как в подынтегральное выражение для входит еще и множитель который при вещественном q обращается в пуль. Это квазистационарное флуктуацнонное поле, не дающее вклада в поток энергии.

Для волнового поля, если в качестве переменной интегрирования ввести вместо угол между волновым вектором к и плоскостью так что величины (18.3) приводятся

к виду

Здесь — показатель преломления прозрачной среды, «от и — соответственно плотность энергии и интенсивность равновесного излучения вакууме, а — полусумма френелевских коэффициентов отражения (по энергии) при угле падения плоской волны 0 и при двух ее поляризациях — с электрическим вектором, параллельным плоскости падения и перпендикулярным к ней:

относительный показатель преломления). В (18.6) вошла полусумма так как в рассматриваемой задаче обе поляризации совершенно равноправны.

Сопоставление (18.5) с общим выражением нормальной к поверхности компоненты вектора Пойнтинга через интенсивность :

показывает, что в нашем случае, т. е. в случае излучения полупространства, заполненного однородной и изотропной поглощающей средой, интенсивность не зависит от угла и равна (закон Кирхгофа)

Отсюда можно перейти к случаю бесконечного пространства, аполиенного прозрачной средой с показателем преломления просто положив Тогда получается закон Клаузиуса,

связывающий равновесные интенсивностя в прозрачной среде и в вакууме:

Тот же переход к дает, согласно (18.4),

т. е. половину плотности энергии равновесного излучения в прозрачной среде, как и должно быть, поскольку мы выделили из этого излучения односторонний поток энергии (в сторону

Для квазистационарного поля квадратуры, выражающие плотности энергии сложнее, и можно дать лишь приближенные их оценки.

Если гораздо больше величин , то

т. е. убывание плотностей энергии с удалением от границы (с ростом ) происходит по закону . На расстояниях , при которых

плотность энергии квазистационарной части теплового поля уже пренебрежимо мала по сравнению с постоянной в полупространстве плотностью энергии волновой части поля (18.4). Напротив, на малых расстояниях преобладает квазистационарное поле, так что малые зазоры и полости, для которых условие (18.8) не выполнено, практически заполнены именно квазистационарным флуктуационным полем.

При малых с точностью до членов порядка получаются оценки

Отсюда видно, что при наличии только электрических потерь плотность электрической энергии растет с уменьшением как , а магнитной — лишь как (а в случае, когда -наоборот). Интеграл от по любому конечному объему, прилегающему к границе раздела, тоже расходится. Как уже было сказано в § 16,

это результат принятой нами дельта-корреляции сторонних источников в поглощающей среде. Если бы мы взяли нелокальную среду, которой, тем самым, сторонние флуктуационные токи обладали бы некоторым отличным от нуля радиусом корреляции а, то плотность оставалась бы при конечной, достигая значения порядка

Современная усилительная техника в диапазоне СВЧ вполне позволяет поставить прямой опыт, выявляющий сильное нарастание квазистационарного флуктуационного поля вблизи поверхности нагретого проводящего тела, но, к сожалению, таком опыт пока не осуществлен.

В рассмотренном примере мы получили для волновой части доля классический закон Кирхгофа (18.7), так как в случае бесконечного полупространства этот закон справедлив для любой длины волны. Правда, для достаточно малых расстояний h от поверхности среды были прослежены эффекты, выходящие за рамки классической теории теплового излучения (наличие квазисгационарного флуктуационного поля). Но особый интерес предъявляют приложения общей теории к таким задачам, где классическая теория вообще неприложима, так как размеры тел не слишком велики по сравнению с длиной волны. Тогда и в волновой части теплового поля должна проявиться новая закономерность — зависимость характеристик волнового поля от отношения где I — характерный размер (выше это было расстояние от границы). Приведем пример, иллюстрирующий сказанное, — тепловое излучение равномерно нагретого шара.

Общий метод остается прежним: надо найти вспомогательное дифракционное) поле диполей с моментами , находящихся в какой-либо точке прозрачной среды вещественные проницаемости ), окружающей который заполнен средой с комплексными проницаемостями и Решение этой краевой задачи (с обычными условиями непрерывности потенциальных компонент на поверхности шара и условием излучения на бесконечности) нетрудно получить в виде видов по фундаментальным векторным функциям шара. Потери дифракционного поля в шаре можно вычислить затем как поток энергии внутрь шара через его поверхность. Напомним, что для всех таких, по сути дела, неравновесных задачах («высвечивание» нагретого тела) предполагается, что внутри тела каким-то образом поддерживается квазиравновесное состояние и, в частности, постоянная температура.

Мы приведем только один результат — зависимость среднего вектора Пойнтинга флуктуационного поля нагретого шара от

радиуса шара а. На рис. 14 для случая шара, обладающего хорошей электрической проводимостью, но лишенного магнитных потерь, показана зависимость удельной мощности (т. е. мощности, излучаемой с единицы поверхности шара) от параметра . При мощность стремится к постоянному значению которое отвечает классическому закону Кирхгофа. По оси ординат на рис. 14 отложено отношение .

Рис. 14.

Мы видим, что с ростом а удельная мощность излучения сначала растет, а затем спадает со слабо выраженными максимумами, которые несколько сдвинуты вправо от значений а, соответствующих собственным частотам электрических колебаний шара. У малого хорошо проводящего шара излучение с единицы поверхности оказывается в полтора — два раза интенсивнее, чем у большого . Зависимость от отношения — это и есть то новое, что дает флуктуациоиная электродинамика.

Полный поток энергии, излучаемой шаром на частоте равен и, конечно, одинаков через любую окружающую шар замкнутую поверхность. Но средняя плотность энергии на флуктуационного поля ведет себя иначе. Вдали от шара убывает, как . Это плотность энергии излучения (волнового поля). При приближении же к поверхности шара быстро нарастает и при обращается в бесконечность. Разумеется, и здесь это нарастание обусловлено квазистационарной частью флуктуационного поля.

Заметим, что решение вспомогательной дифракционной задачи о полях диполей существенно облегчается в случае хорошо проводящих тел (сильно выраженный скин-эффект). Для таких тел можно воспользоваться решением дифракциоииой задачи с так называемыми импеданснымн граничными условиями, т. е. вообще не рассматривать поле внутри тела. В первом приближении дифракционное паче рассчитывается для идеально проводящих тел той же формы и расположения, что и рассматриваемые (кстати сказать, случай идеально проводящих тел пользуется из-за простоты граничных условий наибольшим вниманием специалистов по теории дифракции). Тепловые потери вычисляются

затем интегрированием по поверхности тела поверхностной плотности джоулева тепла. На элементе поверхности тела поглощается тепло

где - вещественная часть импеданса, а (тангенциальная компонента ) берется из решения дифракционной задачи для идеально проводящего тела.

Другой приближенный способ вычисления потерь Q, дифракционного поля применим в тех случаях, когда, во-первых, все характерные размеры тела (включая радиусы кривизны его поверхности) велики по сравнению с длиной волны и с глубиной проникновения поля внутрь тела и, во-вторых, моменты флуктуационного поля ищутся лишь вдали от тела — на расстояниях, значительно превышающих . Соответственно точечные источники дифракционного поля тоже помещаются на таких расстояниях. Кроме того, предполагается, что форма тела такова, что в приближении геометрической оптики лучи, выходящие из точечного источника, испытывают на границе тела лишь однократные отражения.

Перечисленные условия позволяют считать, что в ближайшей окрестности каждого элемента поверхности тела поле удаленного точечного источника имеет структуру плоской волиы, а значит, полное дифракционное поле у поверхности можно вайти, пользуясь френелевскими коэффициентами отражения (для каждой из поляризаций и с локальным значением угла падения первичной волны). Так как, по предположению, многократных отражений нет, а преломленная волна поглощается, не доходя Ко других участков поверхности тела, потери дифракционного поля равны просто суммарной мощности преломленных в тело волн, причем интеграл берется по «освещенной» части поверхности тела.

Ряд примеров использования обоих приближенных методов расчета потерь (т. е. применение формул сильного скин-эффекта и применение френелевских отражательных формул) приведен в монографии

Остановимся теперь на случае, когда излучение тела, находящегося в свободном пространстве (для простоты — в вакууме), интересует нас только в волновой зоне этого тела, т. е. на расстояниях , где l — размеры тела. Помещая диполи на столь большом расстоянии, мы можем считать, что в области, взятой телом, приходящая волна —плоская. Если моменты (т. е. орты ) взять взаимно ортогональными и образующими с R ортогональную правовинтовую связку (рис. 15), то Напряженности в падающей на тело волне будут различаться

только знаком:

    (18.11)

т. е. падающая волна линейно поляризована (по ), амплитуда (при равна

Рис. 15.

В силу (18.11) формулы (17.4) и (17.5) дают для напряженностей теплового поля в точке R выражения

    (18.12)

где К — объем тела, а индексы 1 и 2 обозначают компоненты по ортам и . По формулам (17.11)-(17.13) мы получаем поэтому, что

Соответственно поток энергии (вектор Пойитинга) излучения тела (с поляризацией и в направлении R) будет

    (18.13)

а поток в телесный угол т. е. через площадку находящуюся на расстоянии R от тела, составит

    (18.14)

Индекс (о указывает, как обычно, что речь идет о спектре по частотам

Выразим теперь потери дифракционного поля в теле через так называемый эффективный поперечник поглощения:

Таким образом, — это та площадь фронта падающей на тело плоской волиы, поток энергии через которую равен поглощаемой телом мощности (на поляризации ). Подставив в значение находим

Наконец, внося это выражение для в (18.14) и удвоив результат (для учета обеих независимых поляризаций), получаем

    (18.15)

Таков поток энергии теплового излучения тела в дальней зоне В телесный угол в направлении и на частоте

Если тело представляет собой перпендикулярную к R пластину, размеры которой гораздо больше , то где — площадь пластины, а коэффициент поглощения. Тогда

    (18.16)

соответствии с классической теорией теплового излучения.