§ 19. Волноводная форма закона Кирхгофа

При рассмотрении передачи электромагнитных сигналов по волноводам представляет интерес спектральная интенсивность тепловых «шумов», т. е. мощность теплового излучения, переносимая по волноводу в спектральном интервале . Тепловое поле может создаваться стенками самого волновода, Какими-либо антенными устройствами, к которым он присоединен щель, рупор), рефлекторами, диафрагмами, аттенюаторами и т. п. Назовем для краткости любую систему таких элементов излучателем. Разумеется, флуктуационное волновое поле в волноводе тоже может быть представлено как суперпозиция бегущих (докри-тических) собственных волн волновода, или так называемых собственных мод.

На основании формулы (17.11)-(17.13) нетрудно заранее предвидеть, что мощность теплового излучения, посылаемая в волновод любым излучателем на какой-либо моде и на частоте и, будет связана с коэффициентом поглощения этого излучателя, когда на него падает собственная волна частоте . Соответствующую формулу, названную волноводной формой закона Кирхгофа ([1], § 17), легко получить как при помощи теоремы взаимности, так и на основе принципа детального равновесия ([6], § 9). Мы приведем только второй способ вывода, кстати сказать, не предполагающий заранее выполнения теоремы взаимности.

В ч. I, § 54 было показано, что произвольный излучатель, согласованный с линией (волноводом, коаксиалом) на частоте посылает в линию в интервале частот

мощность

Если согласованный излучатель возбуждает только одну собственную волну, то это равенство должно выполняться и для Данной волны, т. е. для каждой моды и частоты, на которых излучатель согласован, имеем

Рассмотрим следующую равновесную систему. Между двумя сечениями регулярного волновода, показанными пунктиром на рис. 16, расположен некоторый несогласованный излучатель М (причем рассогласование, вообще говоря, различно по обе стороны от М).

Рис. 16.

Введем для М коэффициенты поглощения волны и коэффициенты ее трансформации при отражении от и при прохождении через занятую М область , где индексы плюс и минус означают падение первичной волны на М соответственно слева и справа. Из закона сохранения энергии имеем

Штрих около знака суммы должен напоминать, что суммирование распространяется только на те волны, которые на частоте о являются бегущими (докритическими).

Пусть по обе стороны от излучателя М находятся черные излучатели, т. е. тела, которые имеют ту же температуру, что и М, и согласованы с волноводом (при данной частоте ) на каждой из рассматриваемых бегущих волн. Обозначим через мощности, излучаемые М на волне вправо и влево (рис. 16). Принцип детального равновесия требует, чтобы встречные потоки энергии на этой волне были одинаковы (как справа, так и слева

Умножая (19.2) на и вычитая из соответствующих равенств (19.3), получаем

что и является искомым результатом.

При выполнении принципа взаимности матрицы R и D обладают симметрией:

и мы получаем тогда из (19.4)

т. е. мощность, излучаемая М направо (налево), определяется коэффициентом поглощении М при падении волны справа (слева).

В отсутствие трансформации типов воли, когда матрицы R и D диагональны, получаем из (19.4)

Выполнение принципа взаимности или же полная непрозрачность излучателя снова приводят к (19.5).

Заметим, что поскольку — неотрицательные величины, из следует, что для любого тела или системы М

т. е. доля энергии, поглощенная и пропущенная при облучении в одном направлении, всегда не меньше, чем доля энергии, прошедшая через М при облучении во встречном направлении.

Если материальные уравнения для тел, составляющих излучатель М, локальны, то можно перейти к квазиравновесному случаю, считая температуру Т функцией точки, и пользоваться средним значением , взвешенным по локальной величине джоулевых потерь внутри тел:

тогда (19.5) запишется в более общем виде:

Значения величии определяются, конечно, всей структурой поля, создаваемого в излучателе М падающей на него волной, а не только его поглощающими элементами (см. задачу 4).

Согласно (19.5) какое-либо удовлетворяющее принципу взаимности тело излучает, находясь в волноводе, следующие полные мощности в интервале частот До:

Рис. 17.

Сумма беретси по всем докритическим волнам, число которых при разных значениях различно. Рис. 17 иллюстрирует формулу (19.8) на примере одностороннего излучения хорошо проводящей поперечной перегородки в прямоугольном волноводе. Мощность (в некотором произвольном масштабе) показана в функции параметра где а — меньшая сторона прямоугольного сечения. С ростом g (повышением со) все большее число собственных Е- и H-волн переходит в разряд бегущих. Из-за того, что перегородка обладает только электрическими потерями и лишена магнитных, коэффициенты поглощения Е- и Н-волн ведут себя при переходе через критические частоты различно: для Н-волн они плавно нарастают (от нуля при критической частоте), а для Я-волн они начинаются с острых пиков, расположенных вплотную к критической частоте. Эти пики и дают сильные выбросы которые в принятом масштабе далеко выходят за пределы чертежа. Пунктиром на рисунке показан тот ход , который получился бы при экстраполяции на область малых классического закона Кирхгофа. Неприменимость этого асимптотического закона вполне очевидна.

Следует отметить, что для любой совокупности воли, распространяющихся в одном измерении (например, по радиальному направлению в случае излучения шара), можно представить излучаемую мощность в виде (19.8), т. е. в виде суммы по взаимно ортогональным модам. Таким образом, называя формулы типа (19-8) волноводной формой закона Кирхгофа, мы несколько сужаем область их применимости. Однако это оправдано, так как именно волноводы дают реальную возможность выделять волны отдельных типов (Е и Н) и номеров, тогда как при излучении тел в свободное пространство представляет интерес лишь вся входящая в (19.8) сумма, причем сумма бесконечная (ввиду отсутствия критических частот).

Рис. 18.

Волноводная форма закона Кирхгофа справедлива не только в бесконечном регулярном волноводе, но и в том случае, когда излучатель (система тел) М находится на конце полубесконечного волновода. Пусть, например, к концу волновода присоединен рупор, перед которым и (или) внутри него расположены любые тела с температурами Та (рис. 18). Под излучателем М надо понимать всю систему тел заключенную внутри замкнутой поверхности, охватывающей левое полупространство и достаточно удаленной от конца волновода, т. е. пересекающей его там, где уже существует одномерная совокупность взаимно ортогональных собственных воли регулярного волновода (сечение 2 на рис. 18). Мощность теплового излучения, посылаемого системой тел М в волновод на собственной волне, запишется в том же виде (19.7):

где суммирование распространяется на все тела (включая, конечно, и рупор, если в нем есть джоулевы потери).

Напомним, что — это поглощенная телом доля мощности волны, падающей справа через) сечение 2, т. е. при работе всего устройства в передающем режиме. При этом часть мощности излучается в окружающее пространство. Простое рассуждение показывает, однако, что можно и эту часть включить (19.9). Действительно, допустим, что среда, заполняющая пространство, охваченное замкнутой поверхностью, и окружающая тела обладает сколь угодно малым поглощением. Если при этом вся мощность, излучаемая в передающем режиме, в конечном счете поглощается средой, то последнюю можно рассматривать

как одно из тел . Таким образом, один из членов суммы (19.9) будет относиться к среде, а роль соответствующего будет играть так называемый энергетический коэффициент излучения, т. е. доля мощности падающей справа волны, излученная рассматриваемой системой в непоглощающую среду.