§ 42. Распределение вероятностей флуктуаций амплитуды и фазы. Закон сохранения энергии и границы применимости МПВ

Исследуем законы распределения вероятностей для уровня и фазы волны. Если при расчете комплексной фазы Ф можно ограничиться первым приближением то, согласно (40.5а) и (40.6),

где функция К определяется формулой (40.8). Отсюда для уровня фазы S следуют формулы

    (42.2а)

Для того чтобы найти законы распределения вероятностей и можно было бы, пользуясь этими формулами, найти моменты и по ним построить плотности вероятностей для и совместную плотность вероятностей для Такой путь, однако, слишком сложен.

В конце предыдущего параграфа нам удалось получить основные формулы для средних квадратов флуктуаций уровня и фазы, исходя из простых качественных соображений, причем неоднородная среда разбивалась на отдельные объемы, вносившие статистически независимые вклады в . Аналогичное разбиение можно провести и в формулах (42.2), представив интегралы как суммы интегралов по слоям продольные размеры которых значительно превышают радиус корреляции флуктуаций диэлектрической проницаемости При этом мы получим для и S формулы, имеющие вид

в которых отдельные слагаемые можно приближенно считать статистически независимыми. Если размер [можно выбрать так, что будут выполняться соотношения

то на протяжении пути волны число независимых слагаемых в формуле (42.3) будет велико: . В этом случае величины и S оказываются представленными в виде сумм большого числа статистически независимых слагаемых и в силу центральной предельной теоремы их можно считать распределенными по нормальному закону.

Приведенное рассуждение весьма нестрого. В действительности вклады отдельных слоев не являются модностью некоррелированными, так как неоднородности, примыкающие к границам этих слоев, вносят коррелированный вклад в соседние члены сумм (42.3). Далее, из некоррелированности отдельных слагаемых, входящих в суммы (42.3), еще не следует их статистическая независимость. Поэтому строгое обоснование утверждения о стремлении законов распределения для у. и S к нормальным должно опираться на предельные теоремы для линейных функционалов от случайных функций (см., например, [7]). Мы не будем,

однако, углубляться в этот вопрос. Отметим, что экспериментальные данные хорошо подтверждают вывод о нормальности распределений вероятностей для случаях, когда применимо первое приближение МПВ [8].

Амплитуда А волны связана с уровнем формулой

    (42.4а)

откуда

    (42.46)

Как следует из (42.4а), логарифм амплитуды распределен по нормальному закону, откуда вытекает, что сама амплитуда имеет логарифмически нормальное распределение. Легко найти моменты Для этого представим в виде Как уже отмечалось выше, величина в первом приближении МПВ равна нулю и для ее расчета необходимо использовать второе приближение. Формула (42.46) принимает вид . Отсюда

Так как для нормальной случайной величины среднее значение которой равно нулю, справедлива формула

то для А получаем

При распространении плоской волны в статистически однородной среде имеет место закон сохранения (см. . Полагая в , получаем

Отсюда и из равенства следует, что должно выполняться соотношение

являющееся следствием закона сохранения энергии.

Разумеется, величину можно было бы найти и непосредственно из второго приближения уравнений МПВ. Такой расчет проведен, например, в работе [9], и его результат согласуется с равенством (42.6).

Если подставить (42.6) в формулу (42.5), то она принимает вид

Найдем средний квадрат флуктуаций интенсивности Очевидно, . Для получаем из . Поэтому дисперсия интенсивности , будет

Отметим, что интенсивность имеет, как и амплитуда, логарифмически нормальное распределение.

Рассмотрим теперь вопрос о границах применимости МПВ. Прежде всего, поскольку уравнения МПВ получены из приближенного параболического уравнения (38.4), условия применимости последнего необходимы и для применимости МПВ. Но уравнения МПВ решены нами лишь в первом приближении, поэтому следует выяснить условия, при которых поправки к величинам и т. д., найденные из второго приближения, будут малыми. Соответствующие расчеты проведены в целом ряде работ (см., например, [9,10]), результаты которых сводятся к следующему.

Прежде всего, должно выполняться условие малости флуктуаций уровня, найденных в первом приближении МПВ:

При выполнении условия поправки второго приближения величине будут несущественными. Например, если трехмерная спектральная плотность флуктуаций имеет чисто степенной вид, как в случае турбулентных неоднородностей, то для Величины (с учетом следующих приближений МПВ) справедлива формула

    (42.10)

Причем при .

Если же мы интересуемся величиной , то для нее случае степенных спектров) с учетом следующих приближений МПВ имеет место формула

    (42.11)

В которой — структурная функция фазы, найденная Первом приближении МПВ. Поэтому условием применимости

МПВ для вычисления служит неравенство

    (42.12)

Следует подчеркнуть, что условия (42.9) и (42.12) независимы: возможны такие соотношения между параметрами задачи, когда одно из них выполнено, а другое нет. В этом случае первое приближенно МПВ пригодно для расчета одной величины, но непригодно для расчета другой. Ограничение (42.12) является, по-видимому, излишне жестким. Расчеты, проведенные в приближении параболического уравнения (гл. VII), приводят к значительно более слабому ограничению величины чем (42.12).

Важно отметить также следующее. Если условие нарушено, например , то учет второго приближения не спасает положения, так как, согласно (42.10), при этом все члены ряда становятся существенными.

В области применимости МПВ, в силу условия мы можем разложить экспоненциальные множители и формулах для в ряды и ограничиться их первыми членами. Например, вместо (42.8) можно написать

    (42.13)

В связи с этим возникает следующий вопрос. Так как МПВ применим лишь в случае слабых флуктуаций уровня (и амплитуды) волны, то имеет ли он преимущества по сравнению с методом малых возмущений?

Если поле и искать в виде то флуктуации амплитуды А и фазы S можно выразить через Поэтому, зная вторые моменты для можно найти соответствующие величины для амплитуды и фазы. Формулы для амплитудных и фазовых флуктуаций, найденные таким путем, совпадают с полученными из уравнении первого приближения МПВ, за исключением того, что вместо следует подставить , т. е. учесть первый член разложения в ряд по .

Если же обратиться к законам распределения вероятностей для амплитуды, то здесь выводы, получаемые при помощи обоих сравниваемых способов, будут отличаться коренным образом.

Применив к амплитудным флуктуациям теорию возмущений, мы находим для закона распределения вероятностей амплитуды обобщенный закон Релея формула . Для этого закона распределения отношение , т. е. большие

флуктуации амплитуды не находят объяснения. В то же время МПВ приводит к логарифмически нормальному закону распределения для А, при котором такого ограничения нет. Хотя формально должно выполняться неравенство (42.9), фактически оказывается, что формулы для получаемые в первом приближении МПВ, хорошо согласуются с экспериментальными данными вплоть до значений [8, 11].

Рис. 62.

Законы распределения вероятностей для А, полученные экспериментально тоже хорошо согласуются с логарифмически нормальным распределением, и их нельзя аппроксимировать распределением Релея.

Однако в области, где рассчитанная при помощи МПВ величина превышает единицу, экспериментальные данные резко расходятся с результатами расчета. Сопоставление измеренных и рассчитанных помощи МПВ результатов приведено на рис. 62 [8]. На этом рисунке по вертикальной оси отложены измеренные значення а по горизонтальной оси — значения вычисленные в рамках первого приближения МПВ с использованием независимо полученных (из микрометеорологических измерений) величин

Из сказанного ясно, что для описания области, в которой необходимо использовать методы расчета, выходящие за рамки теории малых возмущений и МПВ.