§ 34. Флуктуации углов прихода, боковых смещений луча и группового запаздывания волны

1. Флуктуации углов прихода. Углы прихода волны определяются направлением нормали к фазовому фронту, которое в изотропной среде совпадает с направлением единичного вектора касательного к лучу. Найдем отклонение этого вектора от невозмущенного положения

С точностью до первого приближения включительно имеем

Но согласно так что

и поправка первого порядка к направлению невозмущенного луча оказывается равной

где — оператор поперечного (по отношению к невозмущенному лучу) дифференцирования.

Рис. 44.

Согласно (34.1) вектор t, перпендикулярен к и лежит в плоскости, касательной к невозмущенному фазовому фронту . Пусть — два единичных ортогональных вектора в этой плоскости, составляющие вместе с вектором , касательным к певозмущенному лучу, ортогональный репер . Вектор t, можно разложить на две составляющие — по направлениям :

С точностью до членов второго порядка малости углы прихода луча отсчитываемые от направления невозмущенного луча t, (рис. 44), равны соответственно

Отсюда следует, что средние значения углов прихода в обеих взаимно ортогональных плоскостях равны нулю, поскольку а элементы корреляционной матрицы этих углов даются выражением

Эту формулу можно немного упростить, если учесть, что флуктуации эйконала в плоскости, касательной к невозмущенному фазовому фронту, квазиодиородны: поперечная функция корреляции эйконала масштабом зависит от разностного аргумента и «медленно» (с масштабом ) — от координаты «центра тяжести» Поэтому при переходе и формуле (34.2) от переменных к переменным , мы можем дифференцировать только по разностной переменной Опуская для краткости второй аргумент получаем

Второй вариант этого соотношения сохраняет силу не только для квазноднородных, но и для локально однородных флуктуаций когда корреляционной функции не существует.

Выберем орты так, чтобы при малых структурная функция имела вид . Тогда флуктуации углов прихода взятые в одной и тон же точке наблюдения, т. е. при оказываются некоррелированными:

Дисперсии же этих углов даются выражениями

и в общем случае анизотропных флуктуаций эйконала различны. В частности, эти дисперсии неодинаковы в случае отражения плоской волны от плоского слоя, в котором (рис. 43): даже при изотропных флуктуациях флуктуации угла прихода в плоскости чертежа меньше, чем в перпендикулярной плоскости.

При распространении плоской и сферических волн в статистически однородной и изотропной среде флуктуации эйконала в плоскости, перпендикулярной к лучу, изотропны: . В этом случае, в соответствии с общими свойствами изотропных векторных случайных полей (см. задачу 4 к гл. 1), корреляционный тензор выражается через единичный тензор и симметричный тензор (считаем, что ):

Здесь — поперечная, a — продольная функции корреляции изотропного двумерного векторного поля

(термины «поперечная» и «продольная» функции корреляции относятся здесь к компонентам корреляционного тензора, а не к корреляции вдоль и поперек луча). Из сравнения (34.6) с (34.3) находим

Эти функции связаны соотношением

которое является очевидным следствием потенциальности вектора Дисперсии углов 6а и для изотропных флуктуаций одинаковы:

Для плоской волны, когда дается выражением (33.19), для продольной и поперечной функций корреляции имеем

В частности, если функция корреляции имеет гауссову форму (33.12), то

где , а дается выражением (33.13).

Аналогичным путем можио вывести формулы и для сферической волны. Укажем на полезное соотношение между дисперсиями углов прихода плоской и сферической волн

    (34.10)

которое легко вывести, используя (33.26):

Таким образом, дисперсии углов прихода сферической волны в три раза меньше, чем у плоской волны, прошедшей тот же путь в среде. Качественно это можно объяснить различием в величине поперечного радиуса корреляции (напомним, что у сферической волны больше, так как лучи идут в среднем ближе друг к другу, чем в плоской волне).

На опыте обычно фиксируются не сами углы или а некоторые другие величины, при помощи которых затем и определяются (и большинстве случаев — приближенно). Так, на интерферометре, ориентированном вдоль оси а и имеющем базу измеряется разность фаз . Если отнести эту разность фаз к электрической длиие базы получится величина

которая при малых а именно при рсовпадает с В соответствии с этим дисперсия

при малых может служить мерой поскольку при

что совпадает с (34.8)

2. Статистика боковых смещений луча. Луч в среде, содержащей случайные иёоднородностн, представляет собой извилистую пространственную кривую. Вычислим среднеквадратичное смещение луча от его невозмущенного положения, ограничившись для простоты случаем плоской волны, распространяющейся в статистически однородной среде.

Запишем для траектории луча ряд теории возмущений по Для поправки первого порядка из уравнений лучей (32.6) имеем (при )

    (34.11)

откуда видно, что в первом порядке теории возмущений луч смещается только в поперечном по отношению к невозмущенному лучу направлении: если волна распространяется вдоль оси , то вектор q содержит только и у-компоненты.

Подставив в (34.11) значение из (32.17) и интегрируя по частям, находим

    (34.12)

Составим корреляционную матрицу боковых смещений луча :

    (34.13)

где — компоненты вектора q по двум взаимно перпендикулярным направлениям в плоскости . Выражение (34.13) можно упростить, перейдя в нем к переменным интегрирования . Повторив рассуждения, использованные при выводе (33.5), получаем

Если флуктуации изотропны, то изотропным будет и двумерное векторное поле q. Элементы корреляционной матрицы (34.14) в этом случае принимают вид, аналогичный (34.6):

где продольная и поперечная функции корреляции боковых смещений луча даются выражениями

Можно убедиться, что при изотропных флуктуациях взанмно ортогональные компоненты боковых смещений при , не коррелированы между собой

а средине квадраты равны друг другу:

    (34.16)

В частности, в случае изотропной гауссовой корреляционной функции флуктуаций проницаемссти (33.12) имеем

Если волна неплоская, но среда по-прежнему статистически однородна и к корреляционная матрица боковых смещений (34.13) приводится к виду

    (34.18)

где, как и ранее, — текущее расстояние между лучами, зависящее от поперечного разнесения точек наблюдения . В частном случае сферической волны , так что можно написать

Для среднего квадрата смещения получаем отсюда

    (34-2°)

Но интегрирование по s дает и поэтому

— средний квадрат бокового смещения луча в сферической волне в 10 раз меньше, чем в плоской.

Расчеты флуктуаций углов прихода и боковых смещений лучей можно было бы провести, опираясь на иной подход, развитый в [4] и заключающийся в том, что случайные отклонения и повороты луча можно при определенных условиях описать как марковский процесс, возникающий под действием случайных «толчков», обусловленных градиентами диэлектрической проницаемости

(ч. I, §§ 30 и 36). При таком подходе задача сводится к решению уравнения Эйнштейна — Фоккера для совместной плотности вероятностей поперечных смещений и направлений луча. В случае плоской волны, распространяющейся в статистически однородной и изотропной среде, решением уравнения Эйнштейна — Фоккера является нормальный закон распределения, причем вторые моменты, полностью характеризующие нор» мальное распределение, совпадают с вычисленными выше. Поэтому рассмотрения статистики лучей при помощи уравнения Эйнштейна—Фоккера мы здесь не проводим. Отметим только, что границы применимости такого подхода были установлены в [9,10], а распространение метода на среды с регулярной рефракцией было дано в работах [11 —13].

3. Флуктуации группового пути. Групповой путь в однородной и изотропной среде определяется выражением

где

— групповая скорость волны. Очевидно, отношение с представляет собой время распространения сигнала. В случайно-преломляющей среде групповой путь S, а следовательно, и время распространения сигнала испытывают флуктуации. Дисперсию флуктуаций группового пути можно вычислить методом возмущений. Ограничимся случаем, когда , т. е. регулярная рефракция отсутствует. Разлагай S в ряд по малым флуктуациям , получаем для поправки первого порядка невозмущениому значению группового пути выражение

    (34-23)

Интегрирование ведется, конечно, вдоль невозмущенного луча.

В недиспергирующей среде как , так и не зависят от частоты. В этом случае

    (34.24)

т. е. возмущение группового пути совпадает с возмущением эйконала Это является следствием равенства групповой и

фазовой скоростей в недиспергирующей среде, так что все сказанное в § 33 относительно флуктуаций эйконала без каких-либо изменений переносится и на флуктуации группового пути. В частности, для дисперсии группового пути, в соответствии с (33.12), имеем

    (34.25)

Важным частным случаем диспергирующей среды является изотропная холодная плазма, для которой даются выражениями (30.29). Подстановка (30.29) в (34.23) приводит к выражению (при )

в котором под знак интеграла входит вместо выражении (32.15) для эйконала Учитывая это, можно записать выражение для дисперсии группового пути в плазме, аналогичное (33.31), но с заменой на

    (34.27)

Ясно, что дисперсии могут совпасть лишь при т. е. в случае достаточно высокочастотных воли, для которых