§ 52. Рассеяние на крупномасштабных неровностях. Метод Кирхгофа

В акустике, оптике и радиофизике часто интересен случай не малых, а больших неровностей, когда зеркальное отражение практически отсутствует. Примером может служить рассеяние дециметровых и сантиметровых радиоволн на поверхности взволнованного моря или отражение звуковых волн от морского дна. Эта задача была впервые достаточно полно исследована М. А. Исаковичем [4], который применил для ее решения метод Кирхгофа. Мы будем следовать в основном оригинальной работе [4], а также работе [5], где сняты некоторые ограничения, принятые в ряде предшедствующих публикаций.

Для интересующего нас теперь случая больших неровностей воспользуемся формулой Грина (9.13). Пусть на поверхность падает локально плоская скалярная волна

которую мы описываем в приближении геометрической оптики. Это может быть, в частности, плоская или сферическая волна (направленная или ненаправленная). Мы будем предполагать, что ни для падающей волны, ни для рассеянной нет затенений каких-либо элементов поверхности. Очевидно, сколь бы плавной поверхность ни была, это условие исключает слишком малые углы скольжения как для падающей волны, так и для направления наблюдения.

Как известно, при падении плоской волны на плоскую границу раздела отраженное поле и и его нормальная производная связаны на этой границе с U и точными соотношениями

где — коэффициент отражения, зависящий от угла падения. В соответствии с принципом Кирхгофа мы принимаем, что граничные условия (52.2) приближенно справедливы для локально плоской волны (52.1), падающей на локально плоскую поверхность , т. е. на поверхность с плавными неровностями. Разумеется, под следует понимать в этом случае локальный коэффициент отражения.

Подставляя (52.2) в формулу для вторичного (рассеянного) поля получаем

где — расстояние от точки наблюдения до точки , лежащей на неровной поверхности

Преобразуем это выражение к виду, удобному для статистического усреднения. Для простоты рассмотрим случай, когда подстилающей поверхностью является плоскость

Прежде всего, перейдем в (52.3) к интегрированию по подстилающей плоскости если то

Вводя нормальный к поверхности вектор с компонентами , имеем

(оператор дифференцирования действует на координаты точки .

Далее, пусть точка наблюдения удалена от 2 на расстояние, которое превышает и длину волны , и высоту неровностей: Тогда можно дифференцировать в (52.4) только быстро осциллирующую экспоненциальную функцию пренебрегая производными от медленных функций

где

— вектор рассеяния. Величина представляет собой нормаль к фазовому фронту падающей волны, а единичный вектор

указывает направление из точки на точку наблюдения .

Учитывая, что для пологих неровностей и рассеяние на таких неровностях происходит в направлениях, близких к направлению зеркального отражения (в этом направлении заменим скалярное произведение просто на . В результате имеем

Все величины под интегралом относятся к точке неровной поверхности Чтобы выделить в явном виде зависимость от возмущения . разложим подынтегральные функции в ряды Тейлора по S, причем в медленных функциях ,

ограничимся нулевым приближением, а в показателе экспоненты учтем еще и линейный по член:

Локальный коэффициент отражения отвечает здесь направлению зеркального отражения, в котором и является уже детерминированной величиной. Для френелевских коэффициентов отражения, меняющихся (если исключить случай полного отражения) в функции угла падения медленно, это приближение вполне оправдано, поскольку в данном направлении рассеивают только такие участки поверхности S (дающие «блики»), которые наклонены под одним и тем же определенным углом (рис. 76).

Рис. 76.

Пренебрегая линейными членами в медленных амплитудных функциях и квадратичными — в показателе экспоненты, мы совершаем относительную ошибку, не превышающую , где D — либо радиус кривизны фазового фронта падающей волны, т. е., по существу, расстояние до источника, либо расстояние до точки наблюдения R. Требуя, чтобы выполнялось неравенство

означающее, что источник и точка наблюдения должны находиться в зоне Фраунгофера по отношению к масштабу неровностей а», после подстановки (52.8) и (52.7) находим

    (52.10)

где значения величин , взяты на плоскости

Более аккуратный расчет, при котором член муле (52.5) не отбрасывается, а преобразуется путем интегрирования по частям [41, приводит к выражению

которое отличается от (52.10) заменой на . В выражениях (52.10) и (52.11) все величины являются функциями точки подстилающей плоскости а не точки неровной поверхности , как в (52.7).

Наличие возмущения в показателе экспоненты придает некоторое сходство рассматриваемой задаче с задачей о прохождении волны через фазовый экран но следует помнить, что при рассеянии на шероховатости случайный набег фазы зависит (через ) от направлений первичной и отраженной волн.

Переходя к статистической части задачи, мы сразу обратимся к случаю не малых Нелинейная зависимость поля и от означает, что для нахождения моментов и необходимо знать уже не моменты случайного поля того же порядка, а его функции распределения.

Согласно (52.11) среднее значение и равно

Величина

где — плотность вероятностей отклонений, представляет собой характеристическую функцию поля . Если это поле однородно, то зависит от лишь неявно — через локальное значение -компоиенты вектора рассеяния . Таким образом,

    (52.12)

Поскольку и определяется характеристической функцией , формула (52.12) легко распространяется на случай, когда неровность поверхности представляет суперпозицию независимых возмущений Функция равна тогда произведению соответствующих характеристических функций.

Применив для вычисления (52.12) метод стационарной фазы можно показать, что

    (52.13)

где нижний индекс означает, что 51 и берутся в стационарной точке отвечающей зеркальному лучу, приходящему в точку наблюдения (рис. 77). Через обозначено значение интеграла (52.11) при т. е. поле волны, отраженной от подстилающей плоскости по законам геометрической оптики.

Например, для плоской звуковой волны (52.11), падающей на абсолютно мягкую поверхность (для нее дается выражением (52.12), а для сферической первичной волны это поле зеркального (относительно плоскости ) точечного источника.

Рис. 77.

Из (52.13) видно, что неровной поверхности Можно приписать эффективный коэффициент отражения для среднего ноля

    (52.14)

Для идеально отражающей поверхности, очевидно,

В случае малых неровностей приближенно поскольку Это означает, что в первом приближении по неровности не влияют на среднее иоле. С ростом Среднее поле быстро убывает, так как уменьшается.

Найдем теперь среднюю интенсивность флуктуационного поля

Согласно (52.11)

    (52.16)

где одним и двумя штрихами отмечены величины, относящиеся к точкам подстилающей плоскости Выражение

    (52.17)

— это двумерная характеристическая функция поля , зависящая от как от параметров.

Пользуясь формулами (52.12) и (52.16), для интенсивности рассеянной волны находим

    (52.18)

Через S здесь обозначена разность двумерной характеристической функции (52.17) и произведения одномерных характеристических функций:

Эта разность обращается в нуль при большом (по сравнению с радиусом корреляции неровностей U) разнесении точек поскольку при значения становятся некоррелированными, а двумерная характеристическая функция распадается на произведение одномерных характеристических функций. Ниже мы убедимся на одном из примеров, что область, где S заметно отличается от нуля, в действительности даже меньше, чем круг

Воспользуемся указанным свойством функции S для приближенного вычисления интеграла (52.18). Перейдем от к переменным . Разность в показателе экспоненты разложим в ряд Тейлора сохранив в нем только линейный член:

    (52.20)

В предэкспоненциальном же множителе положим и, кроме того, заменим в аргументах S значением в «центре тяжести» , т. е. положим Тогда

где

Распространив, далее, пределы интегрирования по в (52.18) до бесконечности, получаем формулу некогерентного рассеяния (сложения интенсивностей)

    (52.21)

в которой величина

    (52.22)

имеет смысл сечения рассеяния единичной площадки.

Область применимости выражения (52.21) определяется теми приближениями, которые были сделаны при его выводе. Наиболее жестким оказывается условие

    (52.23)

при выполнении которого можно отбросить кубичный член в разложении (52.20) (квадратичный член и вообще слагаемые четных степеней в этом разложении отсутствуют). Здесь R — расстояние от точки на плоскости до точки наблюдения или до источника, а характерный масштаб изменения по переменной В случае малых неровностей, когда

    (52.24)

характерный масштаб совпадает, очевидно, с радиусом корреляции неровностей . В противоположном предельном случае I масштаб по порядку величины равен В этом можно убедиться, скажем, на примере двумерного нормального распределения

для которого

    (52.26)

Оценка выводится отсюда так же, как и аналогичная оценка случае фазового экрана (см, § 10), причем роль фазового набега в данном случае играет «фазовая высота» неровностей [6].

В обоих предельных случаях и величина значительно меньше, чем расстояние начиная с которого точка наблюдения находится в фраунгоферовой зоне отдельной неровности. Таким образом, формула некогерентного рассеяния (52.21) становится справедливой еще до удаления точки наблюдения и источника во фраунгоферову зону отдельной неровности [5].

Сечение рассеяния а существенно при расчете энергетических характеристик поля как при рассеянии на площадке конечных размеров, так и в случае неограниченной неровной поверхности. Вычислить интеграл (52.22) точно удается лишь в немногих случаях, обычно он оценивается приближенно. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. В случае малых неровностей когда, в соответствии с (52.24), сечение а выражается через трансформанту Фурье корреляционной функции т. е.

пропорционально спектральной плотности (51.15):

    (52.27)

Для абсолютно жесткой и абсолютно мягкой поверхностей это выражение эквивалентно результатам теории возмущений (см. задачу I), поскольку в направлениях, близких к направлению зеркального отражения,

2. При вычислении интеграла (52.22) в противоположном случае неровностей, больших по сравнению с длиной звуковой волны

1), можно использовать то обстоятельство, что основной вклад в (52.22) вносит область малых , а второе слагаемое в выражении (52.19) при пренебрежимо мало по сравнению с первым, и, следовательно,

    (52.28)

Вычислим в качестве примера сечение рассеяния а для неровностей, распределенных по нормальному закону (52.25) и изотропных в плоскости Изотропность поля означает, что коэффициент корреляции зависит только от модуля вектора . Разлагая в формуле (52.26) в ряд Тейлора и пренебрегая единицей по сравнению с экспонентой в квадратных скобках, получаем для S приближенное выражение

    (52.29)

Подстановка (52.29) в (52.22) дает после интегрирования

Этой формулой можно пользоваться в случае неровностей, обладающих единственным пространственным масштабом (радиусом корреляции) Если же коэффициент корреляции убывает не монотонно, а имеет осциллирующий характер (как, например, в случае морского волнения), то, наряду с окрестностью точки надо учитывать вклад и других точек, в которых S имеет локальные максимумы (пример такого расчета приведен

3. Для высоких неровностей обладающих единственным радиусом корреляции, сечение рассеяния можно рассчитать и без предположения о нормальном распределении [7, 8]. Полагая, как и ранее, что основной вклад в интеграл (52.22) вносит окрестность точки разложим разность в формуле (52.28) в ряд Тейлора по

Тогда

где вектор характеризует случайные наклоны неровной поверхности. Но — это характеристическая функция v, связанная с функцией распределения наклонов преобразованием Фурье:

так что обратное преобразование дает

    (52.32)

Если ввести в (52.31) новую переменную интегрирования а в соответствии с (52.32), сечение а можно выразить через

    (52.33)

Таким образом, сечение а пропорционально вероятности такого наклона, при котором происходит зеркальное отражение. Сечение максимально при поскольку имеет максимум при (наиболее вероятная ориентация элементов неровной поверхности — параллельная плоскости , а увеличение приводит к уменьшению а, в соответствии с тем, что большие наклоны менее вероятны.

Рис. 78.

Если неровности распределены по нормальному закону и изотропны в плоскости то формула (52.33), как легко убедиться, переходит в (52.30). Отметим еще, что формулы (52.30) и (52.33) соответствуют вычислению сечения рассеяния (52.22) в приближении геометрической оптики. Это ясно уже из того, что обе формулы не содержат длины волны, поскольку отношения не зависят .

4. Для изотропного поля , распределенного по нормальному закону с гауссовым коэффициентом корреляции в работе [9] было получено точное выражение для сечения а в направлении зеркального отражения ):

Здесь — постоянная Эйлера, — интегральная экспонента при выражается в виде бесконечного ряда). График нормированного сечения в зависимости от показан на рис. 78. Сначала растет, как в соответствии с первым приближением метода малых возмущений. При сечение достигает максимума, а при больших убывает по закону Разумеется, полное (проинтегрированное повеем углам) сечение рассеяния продолжает расти при но при этом происходит пространственное перераспределение рассеянного излучения, сопровождающееся уширением индикатрисы рассеяния и уменьшением