§ 39. Закон сохранения энергии в приближении параболического уравнения

Исходное волновое уравнение

из которого было получено, уравнение (38.4) для , имеет интеграл энергии (26.2), (26.3):

(для упрощения дальнейших формул мы приняли входящий в (26.2) коэффициент а равным к). Вектор f представляет собой плотность потока энергии волны.

Пусть , где А — амплитуда и - фаза волны. Тогда для легко получить формулу

Выразим теперь через v. Если комплексную амплитуду v представить в форме то из выражения получаем соотношение

между полной фазой S и фазой S медленной функции v. Согласно (39.5)

и закон сохранения энергии (39.2) принимает вид

В приближении параболического уравнения имеем

Умножив это уравнение на :

и вычитая из него комплексно сопряженное уравнение

получаем

где мы использовали формулу полученное в приближении параболического уравнения, заменяет закон сохранения (39.2). Подставим в (39.7) что дает

Сравнение (39.8) с (39.6) показывает, что из компоненты плотности потока энергии при переходе к параболическому уравнению выпадает величина Следовательно, должно выполняться неравенство

Неравенство (39.9) означает, что фаза S должна мало меняться на длине волны в направлении оси . Это неравенство не является дополнительным ограничением, а вытекает из уже использованного при выводе (38.4) условия . Действительно, чисто геометрический набег фазы волны уже учтен слагаемым в (39.5). Поэтому слагаемое S связано только с наличием неоднородностей. Но характерные размеры последних велики по сравнению с длиной волны, в силу чего неравенство (39.9) удовлетворяется.

Уравнение (39.8) можно интерпретировать еще и иначе. Величина пропорциональна плотности энергии волны. Разделив (39.8) на имеем

    (39.10)

Уравнение (39.10) аналогично закону сохранения энергии в нестационарном поле. В (39.10) координата выступает в роли времени, а энергия распространяется в плоскости . Если проинтегрировать (39.10) по некоторой площадке , лежащей в плоскости и ограниченной замкнутым контуром , то получим

Применяя ко второму слагаемому теорему Гаусса для двумерного случая, находим

Таким образом, изменение энергии, сосредоточенной на площадке , связано с потоком энергии через контур ограничивающий .

Рассмотрим частный случай, когда неоднородности диэлектрической проницаемости статистически однородны в плоскостях , а падающая волна — плоская. Из соображений симметрии очевидно, что все усредненные величины могут зависать в этом случае только от и не зависят от поперечного радиуса-вектора . Усредним уравнение (39.8):

Так как не зависит от , имеем и, значит,

Мы видим, что для плоской волны, распространяющейся в среде, статистически однородной в плоскостях , выполняется равенство

    (39.11)

Этот результат строго вытекает из (39.8), но он оказывается приближенным, если исходить точного уравнения (39.6). Действительно, усредняя (39.6), мы получили бы

откуда видно, что равенство (39.11) справедливо с относительной погрешностью порядка