§ 45. Среднее поле и функция когерентности второго порядка

1. Среднее поле. Среднее поле подчиняется полученному в предыдущем параграфе уравнению (44.9):

Нетрудно получить решение этого уравнения. Заметив, что

запишем уравнение (45.1) в следующем виде:

Рассмотрим поле в однородной, среде. Уравнение для него получается из (45.1), если положить

Сравнивая (45.3) с (45.2), мы видим, что эти уравнениями начальные условия к ним) совпадают. Тем самым совпадают и функции , подчиненные этим уравнениям, т. е. имеет место равенство

которое связывает среднее поле с полем , создаваемым теми же истопниками на плоскости но в однородной среде. Таким образом, влияние случайных неоднородностей среды проявляется в том, что среднее поле экспоненциально затухает.

Этот результат нетрудно попять, если сравнить коэффициент экстинкции в формуле (45.4) с его значением, полученным в борновском приближении. Последнее определяется формулой (26.13):

которая сразу записана здесь для статистически изотропных флуктуаций диэлектрической проницаемости. Выполнив интегрирование по и введя вместо новую переменную интегрирования приводим формулу для , к виду

Но в интересующем нас случае крупномасштабных неоднородностей функция пренебрежимо мала в области в силу чего можно, практически не меняя значения интеграла,

отодвинуть верхний предел в бесконечность:

(эта формула была получена в задаче 1 к гл. IV).

Сравним это выражение с величиной где, согласно (43.5),

Мы находим, что

Для интенсивности среднего поля из (45.4) и (45.6) получается следующий закон убывания с ростом :

Отсюда ясно, что убывание среднего поля можно целиком объяснить перекачкой энергии из упорядоченной составляющей поля в его неупорядоченную (флуктуирующую) часть. Например, в случае падающей плоской волны, когда , формула (45.7) принимает

В то же время средняя интенсивность поля, как мы установили в § 39, в этом случае постоянна:

    (45.9)

Комбинируя формулы (45.8) и (45.9), получаем

    (45.10)

Мы видим, что интенсивность флуктуационной части поля нарастает по мере углубления волны в неоднородную среду, и на расстояниях практически вся интенсивность волны связана с ее случайной компонентой.

2. Функция когерентности второго порядка. Рассмотрим теперь функцию когерентности второго порядка Для нее в предыдущем параграфе было получено уравнение (44.24). Преобразуем это уравнение.

Введем на плоскости координату центра тяжести точек и относительную координату :

Тогда

Если ввести обозначения , то уравнение для Г, получаемое из (44.24) путем перехода к новым переменным, будет

Уравнение (45.11) можно решить при помощи преобразования Фурье по переменной

    (45.12)

Подставив это в (45.11), получаем для у уравнение

    (45.13)

Используем операторную запись для ряда Тейлора

    (45.14)

и преобразуем сумму первых двух членов в уравнении (45.13):

Уравнение (45.13) можно записать поэтому в виде

или, если умножить этот результат слева на оператор в виде

используя формулу (45.14) и полагая в ней можно записать уравнение (45.15) еще и следующим образом:

Решение этого уравнения относительно функции

где - значение функции у при . Если заменить на , то решение примет вид

Подставив (45.17) в (45.12), получаем

    (45.18)

Остается лишь выразить здесь трансформанту Фурье через функцию Согласно (45.12)

Поставив это разложение в (45.18), находим

Для того чтобы придать правой части этого равенства более симметричный вид, введем вместо новую переменную интегрирования . Тогда окончательно имеем

    (45.19)

Мы получили решение уравнения (45.11) в самом общем случае — для произвольной функции и произвольной функции на границе

Рассмотрим частный случай падения на неоднородную среду плоской волны. Тогда и в (45.19) можно выполнить интегрирование по что приводит к появлению множителя После этого выполняется интегрирование и по , в результате чего получаем

Естественно, в случае плоской волны, распространяющейся в статистически однородной среде, Г не зависит от координаты центра тяжести Полагая в и учитывая, что получаем

Равенство для плоской волны мы уже получали в § 39.

Как мы знаем, функция возрастает при увеличении своего аргумента. Поэтому функция Г с ростом уменьшается. Можио ввести некий характерный масштаб , для которого уже мало по сравнению с , определив этот масштаб, скажем, как корень уравнения

    (45.21)

Если расстояние между точками наблюдения мало по сравнению с то и значения полей в этих точках сильно коррелированы. Если же то и значения полей оказываются пространственно некоррелированными. Таким образом, масштаб является пространственным радиусом корреляции полей, или радиусом когерентости. Ясно, что уменьшается с увеличением . Если, например, это имеет место для турбулентной среды, то

Этот результат уже был получен в § 37 при помощи МГО.

Обратимся теперь к общему случаю, когда не является постоянной величиной (например, может быть отлично от нуля лишь в некоторой области , что соответствует ограниченному волновому пучку). Рассмотрим интеграл от Г по переменной . Интегрируя выражение (45.19), получаем под интегралами по множитель что позволяет выполнить интегрирование также по и приводит к следующему

соотношению:

    (45.22)

Таким образом, усредненная по сечению пучка функция когерентности второго порядка ведет себя так же, как функция когерентности плоской волны.

Полагая в и учитывая, что , получаем закон сохранения

    (45.23)

Равенство (45.23) показывает, что флуктуации диэлектрической проницаемости приводят лишь к перераспределению средней интенсивности в плоскости ; интеграл же от этой интенсивности по плоскости сохраняется.

Формула (45.19) позволяет рассчитывать распределения средней интенсивности и степени когерентности для волновых пучков в случайно-неоднородных средах (см. задачу 1).

3. Связь с уравнением переноса излучения. Остановимся теперь на связи полученных результатов с так называемым уравнением переноса излучения (УПИ), которое применяется для расчета энергетических характеристик излучения (в том числе теплового) в рассеивающих средах и широко используется во многих задачах астрофизики и геофизики. Обычно УПИ обосновывается феноменологически.

Рассмотрим абсолютную величину плотности потока энергии в телесный угол с вершиной, расположенной в точке R, и осью, направленной вдоль единичного вектора :

    (45.24)

Введенная таким образом величина Э носит название яркости или лучевой интенсивности. Мы уже рассматривали ее в § 9 для однородной среды (см. формулу (9.26)). Значение в точке отличается от за счет двух факторов. Первый из них — ослабление излучения на пути из-за поглощения и рассеяния в другие направления: . Коэффициент ослабления (экстинкции) а равен сумме коэффициентов рассеяния и поглощения. Второй фактор — прирост потока энергии в направлении из-за рассеяния потоков энергии, первоначально распространявшихся в других направлениях:

(Здесь отнесенное к единице объема сечение рассеяния при изменении направления от до ). Тогда

что приводит к уравнению

где — производная по направлению , которую можно записать в виде . В результате получаем УПИ

    (45.25)

Рассмотрим теперь случай крупномасштабных неоднородностей, когда, как мы знаем, индикатриса рассеяния сильно вытянута вперед, т. е. функция заметно отлична от нуля лишь при . Будем также считать первоначальный пучок излучения узконаправленным, так что функция заметно отлична от нуля лишь в узком конусе направлений около оси и

То же относится к вектору поскольку рассеяние происходит лишь на малые углы. Интеграл в формуле (45.25) распространяется на единичную сферу, но основной вклад в него дает лишь небольшая область вблизи оси . Воспользовавшись этим, можно заменить интегрирование по сфере интегрированием по касательной плоскости, перпендикулярной к оси :

Это приближенное равенство выполняется в силу того, что функция отлична от нуля лишь при и, значит, далекие от полярной оси части сферы, равно как я далекие части касательной плоскости, не вносят и интеграл заметного вклада.

Далее,

где Поэтому в случае крупномасштабных неоднородностей и узконаправленных пучков излучения можно записать УПИ в так называемом малоугловом

Приближении [4, 5]:

    (45.26)

Покажем теперь, что полученное из феноменологических соображений уравнение (45.26) тесно связано с уравнением (45.11) для функции .

При решении уравнения (45.11) мы вводили преобразование Фурье функции по переменной . Введем теперь трансформатору Фурье от Г по разностной переменной :

    (45.27)

Умножив уравнение (45.11) на и интегрируя по , получаем с учетом формулы (43.7).

Используем формулу (43.5) с тем, чтобы преобразовать член, содержащий :

В результате уравнение принимает вид

Сравнивая уравнения (45.29) и (45.26), мы видим, что если положить , то уравнение (45.29) совпадет с уравнением (45.26), в котором коэффициенты а и принимают значения

    (45.30)

Легко показать, что интеграл от взятый по всем направлениям рассеяния, равен а. Это означает, что истинное поглощение отсутствует и введенный выше коэффициент ослабления а совпадает с коэффициентом рассеяния, т. е. с полным эффективным поперечником рассеяния из единицы объема.

Обращаясь к формуле (45.6), мы убеждаемся, что т. е. эффективный поперечник рассеяния а из единицы объема во все направления — это именно та величина которая фигурировала в формуле для ослабления когерентной составляющей поля. Что же касается то в этой величине мы узнаем найденный в гл. IV эффективный поперечник рассеяния в единичный телесный угол из единичного объема

Таким образом, уравнение для функции Г, полученное из параболического уравнения для поля, описываемого в марковском приближении, оказывается эквивалентным малоугловому приближению УПИ. Эта связь впервые была установлена в работе [7]. Связь между дается следующей, вытекающей из (45.27), формулой:

    (45.31)

В гл. VIII мы получим полное уравнение переноса (45.25) из уравнения для функции когерентности поля в более общем случае, исходя не из параболического уравнения, а из уравнения Гельмгольца.

Отметим, что приведенное выше решение уравнения для Г, выражаемое формулой (45.19), позволяет, в силу соотношения (45.31), одновременно найти в аналитической форме и решение УПИ в малоугловом приближении. Именно для этой задачи оно и было первоначально получено в работах [4, 5].