Задачи

1. Найти распределение средней интенсивности по поперечному сечению пучка излучения, у которого в плоскости поле имеет вид

(гауссов лучок с эффективным радиусом а и с расстоянием от плоскости до центра излучения, равным F) [6]. Рассмотреть частный случай, когда что соответствует турбулентным флуктуациям диэлектрической проницаемости.

Решение. Средняя интенсивность может быть получена из функции Г при На основании (45.19) имеем поэтому

Подсчитаем функцию используя начальное условие (1) для поля:

Подставим (3) в (2) и выполним интегрирование по В результате получаем формулу

где введено обозначение

Формула (4) справедлива при любом виде функции . Если то

и формула (4) после перехода к полярных координатам принимает вид

Интеграл по равен так что для 1 получаем выражение

Введем интенсивность на оси пучка в однородной среде, т. е. при

Отношение можно записать в виде

Если ввести безразмерную переменную интегрирования то (7) запишется так:

Из (8) следует простая формула для интенсивности на оси пучка:

где

Параметр и пропорционален структурной функции фазы на базе . Разлая или в ряды, нетрудно получить для разложения

Второе из них представляет собой асимптотическое разложение при больших . График функции приведен на рис. 66.

Рис. 66.

Согласно (45.23) интеграл от по поперечному сечению пучка не завесит от 2. Уменьшение средней интенсивности на оси пучка можно объяснить его уширением. Если определить эффективную площадь пучка при помощи равенства

то на закона сохранения (45.23) будет следовать, что

Правая часть этого равенства не зависит от неоднородностей среды. Поэтому, если записать (12) для однородной среды, в которую посылает излучение тот же источник (т. е. то же распределение поля на плоскости то мы получим равенство

где интенсивность на оси пучка и его эффективная площадь в однородной среде.

Из (12) и (13) следует, что

Если то, согласно (11), а и

Например, при (коллимированный пучок) . Если (ближняя зона источника), то и тогда

Если же (фраунгоферова зона источника), то и

2. Случайный радиус-вектор «центра тяжести» распределения интенсивности пучка в его поперечном сечении определяется формулой

Выразить средний квадрат через функцию когерентности

Решение. Интеграл в знаменателе является постоянной детерминированной величиной. Обозначая его через Р, получаем

Но

т. е. в формуле для Г следует положить что эквивалентно для новых переменных (см. (46.2)) равенствам при этой и

Следовательно,

3. Фотодетектор, представляющий собой диск радиуса R, реагирует на интеграл от интенсивности света . Найти закон убывания относительных флуктуаций фототока J при увеличении R в случае, хогда падаюшая плоская световая волна распространяется в статистически изотропной случайно-неоднородной среде.

Решение. Мгновенное значение фототока равно

где а — чувствительность фотодетектора, 2 — круг радиуса . Усредняя (1), имеем Из следует также, что

так что относительные флуктуации выражаются формулой

Возводя (2) в квадрат и усредняя, получаем

    (3)

где корреляционная функция, деленная на Вводя функцию можно представить в в виде

или, после введения новых переменных интегрирования в в

Обозначим через функцию

Тогда (4) записывается в виде

Из определения М следует, что произведение равно площади пересечения двух кругов радиуса R, центры которых раздвинуты на расстояние р. Элементарный расчет приводит к формуле

В силу статистической изотропности флуктуаций (т. е. тоже зависит только от ) можно записать (6) в виде однократного интеграла;

Рассмотрим случай, когда R намного превышает радиус корреляции флуктуации. Тогда функция быстро спадает еще при таких значениях , при которых не успевает заметно измениться. Разложим в ряд Тейлора по степеням

и подставим это разложение в (7):

Первый интеграл можно записать в форме

что приводит к формуле

Но интеграл в первом члене в силу (46.16) равен нулю, и поэтому в разложении (9) член с исчезает. Таким образом, флуктуации фототока убывают с ростом R быстрее, чем

Заметим, что при больших функция отрицательна, так что . Убывание с ростом более быстрое, чем объясняется тем, что на площади фотодетектора при больших R происходят почти полная компенсация положительных и отрицательных флуктуаций интенсивности.