ГЛАВА II. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 1. ПРОСТЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

51. Кинематическое определение твердого тела.

Твердым телом в кинематике называют всякую совокупность точек, неизменно связанных между собой. Эта совокупность может содержать все точки некоторой геометрической фигуры (линии, поверхности или объема), в предположении, что фигура эта не изменяет своей формы. Можно также понимать под указанной совокупностью точек все пространство. При этом все физические свойства твердых тел, встречающихся в природе, в частности, непроницаемость, исключаются: идеальные твердые тела, как они рассматриваются в кинематике, могут проникать друг в друга. Мы не обращаем при этом внимания на их внешнюю форму и из всех свойств твердого тела удерживаем только одно: все точки одного и того же твердого тела могут совершать только перемещения всей совокупности в целом (deplacements densemble), при которых все расстояния между точками сохраняются неизменными.

Если закрепить две точки твердого тела, то оно сможет только вращаться вокруг прямой, проходящей через эти точки: эта прямая есть ось вращения тела. Если закрепить третью точку, взятую вне указанной прямой, то все тело окажется закрепленным. Таким образом, положение твердого тела определяется положениями трех его точек, не лежащих на одной прямой.

52. Перемещения твердого тела. — Если твердое тело переходит из некоторого положения (А) в другое положение (В), то оно испытывает при этом перемещение

совокупности, которое и называют перемещением твердого тела. Каждая из точек тела совершает при этом свое собственное перемещение. Так как положение твердого тела определяется положениями трех его точек, не лежащих на сдной прямой, то ясно, что и перемещение твердого тела будет известно, если известны перемещения трех его точек, не лежащих на одной прямой.

Если твердое тело двумя последовательными перемещениями переводится соответственно сначала из (А) в (В), потом из (В) в (С), то в результате оно получит полное перемещение, переводящее его из (А) в (С). Это выражают, говоря, что перемещения твердого тела образуют группу.

Если всем точкам системы задать геометрически равные перемещения, то точки останутся на одних и тех же расстояниях между собой. Такое движение есть, следовательно, не что иное, как перемещение твердого тела (deplacement d’ensemble d’un solide). Перемещение твердого тела, при котором перемещения всех точек тела геометрически равны, называется поступательным перемещением (translation). Мы знаем, что перемещение твердого тела определяется перемещениями трех его точек, не лежащих на одной прямой. Поэтому, если три точки твердого тела, на лежащие на одной пр .мой, получают геометрически равные перемещения, то перемещение твердого тела будет поступательным.

Если два последовательных перемещения твердого тела поступательные, то полные перемещения всех точек тела, равные геометрической сумме составляющих перемещений, будут геометрически равны между собой. Два последовательных поступательных перемещения дадут поэтому тоже поступательное перемещение. Таким образом, перемещения твердого тела, принадлежащие к частному виду поступательных перемещений, сами по себе образуют группу (подгруппу предшествующей группы).

Если при перемещении твердого тела две его точки закреплены, то тело повернется на определенный угол вокруг оси, проходящей через закрепленные точки. Такое перемещение называется вращением.

Можно доказать, и мы вернемся к этому далее, что всякое перемещение твердого тела представляет собой комбинацию поступательного перемещения и вращения. Сначала, однако, следует изучить распределение скоростей в различных точках твердого тела, совершающего непрерывное движение; начнем с определения и изучения двух наиболее простых движений твердого тела.

53. Поступательное движение.

О твердом теле, непрерывно перемещающемся с течением времени, говорят, что оно совершает поступательное движение (mouvement de translation), если перемещение тела между двумя произвольными моментами времени поступательно, иначе говоря, если соответствующие перемещения двух произвольных точек тела геометрически равны между собой.

При поступательном движении твердого тела любые две его точки А и В совершают в течение промежутка времени геометрически равные перемещения АА и ВВ. Если мы разделим эти перемещения на то получим для точек А к В одну и ту же среднюю геометрическую скорость. Переходя к пределу, увидим, что в поступательном движении все точки твердого тела в каждый момент имеют геометрически равные скорости. Эта общая скорость называется скоростью поступательного движения твердого тела.

При поступательном движении все точки твердого тела описывают одинаковые траектории с равными скоростями, так что движение одной точки тела позволяет определить движение всего тела.

Смотря по тому, будут ли траектории прямыми или кривыми линиями, поступательное движение будет прямолинейным или криволинейным.

Положение твердого тела практически может быть определено положением трех прямоугольных осей, неизменно связанных с телом. В поступательном движении эти оси переметаются параллельно самим себе. Обратно, если

три прямоугольные оси (или даже только две пересекающиеся прямые), связанные с телом, перемещаются параллельно самим себе, то твердое тело движется поступательно.

54. Вращение вокруг неподвижной оси. Угловая скорость. Геометрическое представление.

Когда твердое тело вращается вокруг неподвижной оси OR, то каждая его точка М описывает окружность в плоскости, перпендикулярной к оси, со скоростью, перпендикулярной к плоскости MOR и пропорциональной расстоянию точки от оси. Угловой скоростью <в называют величину скорости точки, находящейся на расстоянии единицы длины от оси. Величина скорости точки М, находящейся на расстоянии от оси, будет поэтому равна Чаще всего угловую скорость рассматривают как величину положительную или отрицательную, смотря по тому, в какую сторону происходит вращение вокруг оси. Вращательное движение твердого тела вокруг оси в самом общем случае можно определить, задавая в функции от t угол , на который плоскость MOR, связанная с телом, повертывается из своего начального положения. При таком определении скорость точки М тела равна алгебраическое же значение угловой скорости равно это значение положительно или отрицательно в зависимости от направлении вращения.

Чтобы определить равномерное вращение твердого тела, необходимо знать три элемента: положение оси, величину угловой скорости и направление вращения. Эти три элемента можно представить одним вектором, который определяется следующим образом:

Начиная от точки О, взятой произвольно на оси вращения, откладывают на этой оси вектор OR, по величине равный <в (величине угловой скорости), ориентированный так, чтобы вращение тела вокруг OR происходило в положительном направлении (против часовой стрелки) для

наблюдателя, ноги которого находятся в О, а голова в

Этот вектор OR, определяющий вращение, называется угловой скоростью вращения, или, короче, вращением твердого тела. Он обозначается о), и в этом случае говорят, что тело совершает вращение и.

Согласно этому определению, вектор угловой скорости есть вектор скользящий (п°23), так как начало его может быть выбрано произвольно на оси вращения.

Преимущество представления угловой скорости твердого тела вектором и вытекает всецело из следующей основной теоремы, позволяющей использовать геометрическую теорию векторов, изложенную во введении к курсу:

Геометрическая скорость произвольной точки М твердого тела, вращающегося вокруг оси, равна моменту вектора угловой скорости и относительно точки М.

В самом деле, эта скорость по величине равна , перпендикулярна к плоскости, содержащей М и и ориентирована в положительную сторону вращения вокруг и: она определяется, таким образом, совершенно так же, как и момент вектора о).

Если вектор приложен к точке О, то скорость точки М равна векторному произведению

55. Проекции скорости точки вращающегося твердого тела на прямоугольные оси координат.

Пусть — проекции угловой скорости и на три прямоугольные оси Ох, Оу, Oz.

Предположим, что вектор приложен в начале О координат. Скорость v точки М с координатами равна векторному произведению векторов и и ОМ с проекциями х, соответственно. Проекции вектора v на оси равны поэтому определителям, образованным из матрицы

В общем случае вектор угловой скорости и может быть приложен в произвольной точке А с координатами Проекции вектора ОМ должны быть заменены проекциями , равными Поэтому получим:

56. Мгновенное поступательное движение и мгновенное вращение твердого тела.

Может случиться, что в некоторый момент I скорости v всех точек твердого тела геометрически равны между собой. Эти скорости оказались бы в этот момент теми же самыми, если бы твердое тело совершало поступательное движение со скоростью V. В этом случае говорят, что твердое тело совершает мгновенное поступательное движение со скоростью V. Однако важно никогда не упускать из виду, что выражение мгновенное поступательное движение обозначает исключительно состояние скоростей всех точек твердого тела в момент t, а не действительное движение этого тела.

Может также случиться, что в некоторый момент времени скорости всех точек твердого тела таковы, как если бы тело находилось во вращательном движении, определенном вектором угловой скорости . В этом случае говорят, что тело совершает в этот момент мгновенное вращение и, или что и есть мгновенная угловая скорость. Проекции скорости произвольной точки тела в этот момент определяются формулами предыдущего . Но следует заметить еще раз, что выражение мгновенное вращение обозначает исключительно состояние скоростей точек твердого тела в момент t, а не действительное конечное вращение

тела вокруг неподвижной оси. В частности, ускорения в момент t могут быть совершенно другими, чем при настоящем вращении тела с угловой скоростью и вокруг неподвижной оси.