§ 5. РАБОТА СИЛЫ

122. Элементарная работа силы.

Пусть F есть сила, приложенная к движущейся точке М, и ММ — бесконечно малое перемещение точки. Элементарной работой силы на перемещении ММ называют скалярное произведение (п° 10) этих двух векторов. Другими словами, элементарная

работа есть произведение величины силы на величину перемещения ее точки приложения и на косинус угла между силой и перемещением. Она может быть написана в следующих двух видах:

Обычно сила F и ее точка приложения М бывают отнесены к прямоугольным осям координат . Проекции вектора F и координаты x,y,z точки М являются функциями параметра t, который чаще всего представляет собой время, но это вовсе не обязательно. Кривая, описываемая точкой М, определяется тогда уравнениями в параметрической форме:

где t есть независимая переменная.

Если переменной t дадим приращение то проекции кг соответствующего перемещения точки М будут отличны от дифференциалов представляющих собой проекции вектора но отношения приращений координат к соответствующим дифференциалам имеют пределом единицу, когда стремится к нулю, и потому при вычислении сумм бесконечно малых слагаемых эти приращения можно заменять соответствующими дифференциалами. Мы можем поэтому перемещение ММ заменить вектором ds.

Элементарная работа силы F на перемещении которое можно рассматривать как определяемое изменением параметра есть, таким образом, скалярное произведение векторов F и и может быть написано в одной из двух форм:

Элементарная работа будет поэтому положительна, отрицательна или равна нулю, смотря по тому, составляет ли сила с перемещением угол острый, тупой или прямой. Говорят, что мы имеем работу движущей силы, если

работа положительна, и работу сопротивлении, если она отрицательна.

Рассмотрим два разложения

элементарной работы на произведение двух множителей; мы видим, что элементарная работа равна произведению величины перемещения на алгебраическое значение проекции силы на направление перемещения. Она равна также произведению величины силы на алгебраическое значение проекции перемещения на направление силы.

Применим теорему о проекциях; из предшествующих определений следует, что: 1°. Элементарная работа равнодействующей F равна сумме элементарных работ ее составляющих; Если перемещение ds есть результирующее нескольких других перемещений, то элементарная работа силы F равна сумме элементарных работ, выполненных ею на каждом из составляющих перемещений.

Аналитическое выражение элементарной работы мы получим, если напишем аналитическое выражение скалярного произведения двух векторов F и ds. Пусть X, Y, Z — проекции силы F на оси; проекции вектора равны тогда будем иметь (п° 10):

Этот результат может быть также получен как следствие предшествующих теорем. Работа силы F равна сумме работ ее составляющих X, Y, Z по осям координат на каждом из перемещений (составляющих перемещения ds). Работа составляющей X на двух перемещениях dy и dz (перпендикулярных к X) равна нулю; работа этой силы на перемещении dx равна по величине и знаку так как произведение положительно или отрицательно, смотря по тому, будут ли X и dx иметь одинаковые ориентации или противоположные. Таким образом, работа составляющей X равна точно так же работы составляющих Y и Z равны соответственно и работа силы F равна сумме этих трех выражений.

123. Полная работа.

Предположим, как в предыдущем n°, что проекции X, Y, Z на оси силы Р и координаты ее точки приложения М являются непрерывными функциями параметра t. Когда этот параметр изменяется от до точка М описывает дугу кривой ММХ.

Разделим промежуток времени на последовательные бесконечно малые промежутки величины Полная работа силы F вдоль дуги есть сумма элементарных работ, произведенных силой F на каждом из элементарных перемещений, соответствующих последовательным промежуткам времени Полная работа силы F есть поэтому интеграл от элементарной работы и выражается определенным интегралом, распространенным на весь рассматриваемый промежуток времени:

Если заменить элементарную работу ее аналитическим выражением, то полная работа получит вид:

Не нужно, однако, забывать, что в этих интегралах независимая переменная есть t и что пределы относятся к t. Поэтому последний интеграл мог бы быть выражен в следующей более явной форме:

Обратим внимание на некоторые частные случаи:

1°. Если сила постоянна по величине и направлению, то полная работа равна произведению силы на сумму проекций элементарных перемещений на направление силы.

Но элементарные перемещения являются составляющими полного прямолинейного перемещения. Следовательно,

работа силы, постоянной по величине и направлению, равна произведению модуля силы на алгебраическое значение проекции полного перемещения на направление силы.

2°. Прямолинейное перемещение. Если сила постоянна по величине и направлению и, сверх того, перемещение прямолинейно и направлено по силе, то полная работа равна произведению модуля силы на модуль перемещения и будет положительна или отрицательна в зависимости от того, перемещается ли точка в сторону действия силы или в противоположную сторону.

124. Единицы работы.

Единица работы есть работа силы, равной единице, если точка приложения силы перемещается на единицу длины в направлении и в сторону действия силы. В системе, где единицы длины и силы равны соответственно метру и килограмму, единица работы есть килограммометр.

В системе COS единица работы есть (или дина сантиметр).

В практических измерениях за единицу работы берут величину, кратную эргу, джоуль, равный эргов.. Джоуль есть работа одной мегадины на перемещении в 10 см. Один килограммометр равен 9,81 джоулей.

В системе MTS единица работы есть килоджоуль, или произведение одного стена на один метр (стен-метр). Действительно, дин эргов джоулей.

Это равно примерно 100 кгм, так как 100 кгм равны 0,98 килоджоулей.

Формула размерности работы имеет вид FL или

125. Мощность машины.

Мощностью машины называют количество работы, которую эта машина совершает в единицу времени.

В системе CCS единица мощности есть эрг-секунда. Это есть мощность машины, которая производит работу в за секунду. Практически применяемая единица есть ватт или джоуль-секунда, равный 107 эрг-секунд. В качестве единицы мощности берут также

киловатт или килоджоуль-секунду (равный 1000 ватт, или 1010 эрг-секунд). Отсюда следует, что киловатт-час есть единица работы, равная 3600 килоджоулей.

В технике часто за единицу мощности берут лошадиную силу, представляющую собой мощность машины, которая производит работу в 75 кгм в секунду. Одна лошадиная сила равна ватт. Лошадиная сила имеет, таким образом, величину порядка одного киловатта. Один киловатт равен 1,36 лошадиной силы.

Мощность есть отношение работы ко времени, поэтому формула размерности мощности имеет вид: или .