ГЛАВА V. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ

§ 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

115. Дифференциальные уравнения движения.

Пусть М — точка массы , j — ее ускорение, -действующая на нее сила. Эти величины связаны между собой основным уравнением динамики

Отнесем движущуюся точку М к системе осей Oxyz, прямоугольной или косоугольной. Пусть X, Y, Z — проекции силы F на оси; проекции ускорения j равны соответственно . Предшествующее геометрическое равенство распадается на три алгебраических уравнения

которые называются дифференциальными уравнениями движения.

Вектор F представляет собой движущую силу. Если мы имеем лишь одну движущуюся точку, то часто оказывается удобным вместо движущей силы ввести ускоряющую силу. Эта последняя определяется как частное от деления силы на массу точки; она представляет, таким образом, силу, отнесенную к единице массы, и совпадает по величине, направлению и ориентации с ускорением точки. Пусть — проекции ускоряющей силы на оси; тогда дифференциальные уравнения движения принимают следующую более простую форму:

Частные случаи. — Если движение точки происходит в плоскости, то эту плоскость можно принять за плоскость в этом случае, так как постоянно равно нулю, уравнения движения приводятся к двум:

Если движение прямолинейное, то можно принять траекторию за ось тогда равны нулю, и остается лишь одно уравнение движения

Если сравним уравнения движения в этих двух частных случаях с уравнениями, относящимися к общему случаю, то придем к заключению, что проекцияточки на плоскость или на прямую движется, как точка с той же массой под действием силы, равной проекции на эту плоскость или прямую действующей на точку силы.

Дифференциальные уравнения движения применяются при решении двух взаимно обратных задач, которые указываются ниже. Прямая задача относится к дифференциальному исчислению; обратная задача принадлежит к области интегрального исчисления.

1°. Прямая задача. — Зная конечные уравнения движения, или, иными словами, положение движущейся точки в функции от времени, определить силу для каждого момента.

Эта задача решается непосредственно. По предположению, даны конечные уравнения движения:

из этих уравнений находят вторые производные

— после чего дифференциальные уравнения движения дают;

2°. Обратная задача является той задачей, которую обычно решают в механике и которая оказывается значительно более трудной. Она заключается в следующем: дана сила посредством ее статического определения , требуется найти движение точки.

В самом общем случаэ, который можно допустить в механике, сила зависит от положения движущейся точки, от ее скорости и от времени; поэтому X, Y и Z суть функции от семи переменных .

Внося эти значения X, Y, Z в дифференциальные уравнения движения, получаем следующую систему дифференциальных уравнений второго порядка:

Решение задачи получается в результате интегрирования этой системы. При интегрировании появятся произвольные постоянные, число которых легко определить заранее. В начальный момент, когда точка предоставлена действию движущей силы, ее положение и скорость могут быть произвольными. Это дает три произвольные координаты и три произвольные проекции скорости. Таким образом, шесть произвольных постоянных, которые войдут в решение при интегрировании, должны определяться начальными условиями. Если движение плоское или прямолинейное, то число уравнений и, соответственно, число постоянных уменьшится, но постоянные попрежнему будут определяться на основании тех же соображений, как и в общем случае.

116. Количество движения. Измерение постоянных сил.

Рассмотрим прямолинейное движение точки с массой под действием постоянной силы величины F. Мы будем

предполагать, что точка выходит из начала координат с нулевой скоростью и двигается по оси направленной в сторону действия силы F. Единственное уравнение движения будет

Интегрируя последовательно два раза и замечая, что v и х обращаются в нуль вместе с t, получим:

Если положим , то первое уравнение нам даст

и если

Количеством движения, или импульсом точки называют вектор, равный произведению массы точки на ее геометрическую скорость; величина этого вектора (алгебраическая) равна поэтому . Предшествующие уравнения выражают, таким образом, следующие теоремы:

Постоянная сила измеряется количеством движения, которое она сообщает движущейся точке в единицу времени. — В частности, постоянная сила, действующая на единицу массы, измеряется скоростью, которую она сообщает этой массе в единицу времени.

Эти правила имеют частое применение в физических науках, но их можно прилагать только к силам, постоянным по величине и направлению.