§ 7. РАВНОВЕСИЕ НИТЕЙ

205. Уравнения равновесия.

Мы будем рассматривать условия равновесия гибкой и нерастяжимой нити, находящейся под действием непрерывно распределенных сил. Сечение нити будем предполагать настолько малым, что им можно пренебречь. Обозначим через s длину нити, отсчитываемую от некоторой начальной точки А в определенную сторону (от А к В), и допустим, что внешние

силы, приложенные к элементу дуги могут быть приведены к одной силе, приложенной в некоторой точке этого элемента. Обозначим эту силу через а ее проекции на три прямоугольные оси — через

так что F представляет собой величину силы, отнесенной к единице длины.

Будем рассматривать нить АВ, находящуюся в равновесии, и выделим мысленно часть ее AM от конца А до некоторой точки М. Эта часть нити находится в равновесии под влиянием приложенных к ней внешних сил и усилия, действующего на нее в конце М со сгороны оставшейся части MB. Это усилие может быть заменено силой Т, приложенной в точке М и способной удержать нить натянутой, а потому направленной по касательной к нити в сторону возрастающих дуг.

Чтобы часть AM нити была в равновесии, необходимо, чтобы результирующая сил, приложенных к ней, была равна нулю. Эти силы следующие: натяжение Т, приложенное в М, натяжение в начальной точке А, направленное в обратную сторону по нити (т. е. — ), и, наконец, сумма всех внешних сил вида приложенных ко всем элементам отрезка нити AM. Получаем соотношение

Дифференцируя (1) по 5, получим

Это есть векторное уравнение равновесия нити. Оно выражает, что каждый элемент нити, рассматриваемый как материальная точка, находится в равновесии. Поэтому и вся нить в целом будет в равновесии. Нетрудно было бы убедиться в том, что условие равновесия, относящееся

к моментам сил, осуществляется для нити одновременно с предыдущим уравнением.

Пусть — направляющие косинусы касательной в точке М кривой, представляющей фигуру равновесия нити. Проектируя соотношение (1) на три оси, получим

и два другие аналогичные уравнения; дифференцируя эти уравнения по s, будем иметь

т. е. три алгебраические (или скалярные) уравнения равновесия нити.

Из них можно вывести несколько интересных следствий: 1°. Если сила F для всех точек нити перпендикулярна к одной из осей, например, к оси то проекция натяжения нити на эту ось постоянна.

В самом деле, из равенства следует . 2°. Если сила F параллельна некоторой неподвижной прямой, например, оси то нить лежит в плоскости, параллельной этой прямой.

Действительно, из предыдущего следствия имеем

кроме того, откуда -Интегрируя последнее равенство, найдем, что

т. е. уравнение плоскости, параллельной оси

3°. Если сила F пересекает ось Ох или. ей параллельна, то момент натяжения относительно этой оси для всех точек нити имеет постоянную величину.

Действительно, имеем

206. Интегрирование уравнений равновесия.

Заменим в уравнениях (3) величины а, [3, у их значениями тогда получим три дифференциальные уравнения второго порядка относительно функций x,y,z и первого порядка относительно Т, которые, в соединении с условием

и позволят определить четыре неизвестные х, у, z и Т как функции от s. Интегрирование уравнений введет шесть постоянных, которые позволят выбрать произвольно начальные значения величин х, у, z, Т и двух первых производных (из трех) от х, у, z (т. е. выбрать точку прикрепления, направление нити и натяжение ее в этой точке). Однако решение будет годиться лишь в том случае, если натяжение Т нигде не получит отрицательных значений, так как нить не оказывает сопротивления сжатию.

В действительности, при решении задач чаще всего приходится удовлетворять условиям на концах, отличным от высказанных начальных условий, однако при выполнении интегрирования эти последние оказываются наиболее естественными и удобными.

207. Внутренние, или естественные уравнения равновесия нити.

Выполним дифференцирования, указанные в равенствах (3), и воспользуемся формулами Френе:

где суть направляющие косинусы главной нормали к кривой, представляющей собой фигуру равновесия нити, а есть радиус кривизны нити. Получим:

Направим ось Ох по касательной (поэтому ), ось Оу — по главной нормали (поэтому ). Пусть — проекции силы F на касательную, главную нормаль и бинормаль; предыдущие уравнения приведутся в этом случае к виду

Эти уравнения называются естественными уравнениями равновесия нити.

Последнее из них показывает, что в каждой точке нити сила, приложенная в ней, лежит в соприкасающейся плоскости к кривой, представляющей собою фигуру равновесия.

Если сила нормальна к нити, то и первое уравнение показывает, что натяжение остается постоянным по всей длине нити.

Если сила направлена по нити, то второе уравнение дает : нить принимает форму прямой линии, что очевидно apriori.

208. Нить на поверхности.

Пусть нить натянута на абсолютно гладкой поверхности, с которой она не может сойти, и пусть она находится только под действием нормальной реакции поверхности. Эта реакция есть единственная сила, приложенная к точкам нити, она непрерывно

распределена вдоль нее. На основании сделанного в предыдущем замечания, реакция лежит в соприкасающейся плоскости к кривой, представляющей собой фигуру равновесия нити. Следовательно, главная нормаль к этой кривой есть в то же время нормаль к поверхности.

Кривые на поверхностях, обладающие этим свойством, носят название геодезических линий. Отсюда имеем следующую теорему:

Если нить натянута на абсолютно гладкой поверхности и не подвергается действию никаких других непрерывно распределенных сил, кроме реакции поверхности, то фигура равновесия нити представляет собой геодезическую линию поверхности.

Эта теорема в наглядной форме выражает то обстоятельство, что геодезические линии имеют наименьшую длину по сравнению со всеми прочими кривыми, проведенными на поверхности между какими-нибудь двумя ее точками.

209. Равновесие тяжелой нити.

Рассмотрим тяжелую однородную нить, подвешенную к двум неподвижным точкам А и В, и определим форму, которую она принимает, находясь под действием только силы тяжести. Так как в этом случае сила направлена по вертикали, т. е. параллельна неподвижной прямой, то фигура равновесия будет лежать в вертикальной плоскости (п° 205, 2°). Примем эту плоскость за плоскость тогда число уравнений равновесия сведется к двум.

Проведем ось горизонтально и ось у вертикально в сторону, противоположную направлению силы тяжести. Пусть есть вес единицы длины нити; его составляющие по осям будут: . Пусть Т есть величина натяжения нити; тогда уравнения равновесия запишутся:

или, если обозначить через угол наклона касательной к оси

Первое уравнение показывает, как мы это уже знаем (п° 205), что есть постоянная величина. Обозначим ее через , так что

Подставляя полученное отсюда значение Т во второе уравнение, будем иметь

Заменяя через у, и ds через получим дифференциальное уравнение линии равновесия нити

Разделяя переменные и интегрируя, мы получаем

вторичное интегрировтние дает

Таким образом, фигура равновесия есть цепная линия, ось которой вертикальна. Этот результат принадлежит Гюйгенсу.

В уравнения (2) и (3) вошли три постоянные интегрирования: и . Для их определения необходимо иметь три условия на концах.

Два первых выражают то, что кривая проходит через данные точки А и В; в качестве третьего условия можно взять, например, то, что дуга кривой между точками А и В должна иметь данную длину, а именно, длину нити.

Определение цепной линии. — Выберем именно эти условия. Пусть - координаты точки ; — координаты

точки В, и — длина нити. Каково бы ни было положение начала координат, мы можем положить

где h и k — две заданные постоянные величины, зависящие лишь от относительного положения точек А и В; первую из них h мы всегда можем считать положительной.

Постоянные С и С] зависят от положения осей координат. Расположим оси так, чтобы эти постоянные обратились в нуль, так что задача приводится к определению положения точек А и В относительно осей. Уравнения (2) и (3) принимают вид:

а уравнение (1) после интегрирования от А до В дает

Заменим и в уравнении их значениями (5), потом в уравнении (6) их значениями (4); получим

Складывая и вычитая эти уравнения, будем иметь

умножая почленно уравгения (7), получим

Получилось трансцендентное уравнение для определения величины а и, следовательно, уравнения (5) цепной линии.

Если для упрощения записи положить , то последнее уравнение можно представить в виде

Правая часть возрастает от 1 до когда и изменяется по абсолютному значению от 0 до . Поэтому решение получится лишь в том случае, когда левая часть больше 1. В этом случае уравнение даст для и два корня с противоположными знаками. Выберем из них положительный, который дает и для а положительное значение.

Действительно, величина а должна быть положительной, чтобы цепная линия была обращена своей выпуклостью вниз и чтобы нить была натянута. Задача допускает поэтому одно и только одно решение, если имеет место неравенство

выражающее тот факт, что длина нити больше расстояния между двумя точками А и В. В самом деле, когда величина а найдена и цепная линия этим определена, то одно из уравнений (7) даст после чего имеем — , а значения определяются уравнением (5). Таким образом, положения точек А и В цепной линии относительно осей координат найдены, и задача решена.