ГЛАВА VI. ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ ТОЧКИ ПО НЕПОДВИЖНОЙ КРИВОЙ ИЛИ ПОВЕРХНОСТИ

§ 1. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО НЕПОДВИЖНОЙ КРИВОЙ

148. Уравнения движения.

Пусть точка М вынуждена двигаться по кривой (С). На точку действуют непосредственно приложенная сила F и, так как точка не может сойти с кривой, реакция N, испытываемая ею со стороны кривой. Движущуюся точку можно рассматривать в этом случае как свободную, если реакцию N присоединить к силе F, представляющей собой движущую силу.

Пусть X, Y, Z — проекции силы на оси Охуz, которые мы будем предполагать прямоугольными; пусть далее — направляющие косинусы и N - величина реакции неподвижной кривой. Уравнения движения точки М тогда будут:

Одних этих уравнений недостаточно, чтобы определить движение точки, если неизвестно направление A., v реакции.

Мы будем рассматривать здесь лишь тот случай, когда кривая неподвижна и свободна от трения. Под этим понимают, по определению, что реакция кривой на точку может быть направлена лишь нормально к кривой. Предположим, что эта кривая задана параметрическими уравнениями

так что положение движущейся точки определяется только значением параметра и. В таком случае достаточно только одного уравнения между u и t, чтобы определить движение,

Это единственное уравнение получается на основании теоремы живой силы и не содержит реакции

так как работа неизвестной нормальной реакции N постоянно равна нулю. Чтобы интегрировать уравнение (2), нужно заменить в нем величины и их первые и вторые дифференциалы, входящие в так как имеем их значениями, выраженными через и, на основании уравнений кривой. Таким путем мы приходим к одному дифференциальному уравнению второго порядка в переменных интегрируя его, получаем и в зависимости от t и двух произвольных постоянных интегрирования.

Задача упрощается и становится более интересной, если движущая сила (X, Y, Z) имеет силовую функцию . В этом случае движение определяется интегралом живой силы, который получается интегрированием уравнения (2) и имеет вид:

Далее нужно выразить (содержащиеся в ) через и и Подставляя эти значения в предшествующее уравнение, получаем уравнение первого порядка в переменных и и t. Решение задачи приводится, таким образом, к интегрированию этого уравнения первого порядка. В результате мы должны получить и как функцию от t, постоянной h живых сил и одной новой постоянной интегрирования.

149. Определение нормальной реакции.

Если движение точки известно, то уравнения (1) предшествующего п° непосредственно дают выражения составляющих нормальной реакции.

Нормальная реакция может быть также определена простым геометрическим построением. Полная сила, действующая

на точку, равна геометрической сумме движущей силы и реакции; отсюда имеем геометрическое равенство

Приравниваем проекции обеих частей этого равенства на нормальную плоскость к неподвижной кривой. Обозначая через проекцию F и через проекцию J, получим

откуда следует геометрическое равенство

Таким образом, нормальная реакция кривой есть результирующая центростремительной силы (по величине равной ), направленной по главной нормали к неподвижной кривой, и нормальной составляющей движущей силы, взятой с обратным знаком.

В силу закона равенства действия и противодействия давление, производимое движущейся точкой на неподвижную кривую, равно и противоположно N, т. е. равно

На основании этого давление движущейся точки на кривую есть результирующая центробежной силы (n° 119) и нормальной составляющей движущей силы.

Реакция неподвижной кривой и давление точки на кривую могут быть определены a priori для каждой точки на кривой, если известна скорость, которой будет обладать движущаяся точка, проходя через эту точку кривой, так как Это будет в случае существования интеграла живой силы, так как этот интеграл выражает скорость как функцию от положения движущейся точки.