§ 2. СЛОЖЕНИЕ МГНОВЕННЫХ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ И МГНОВЕННЫХ ВРАЩЕНИЙ

57. Сложение одновременных поступательных движений.

Рассмотрим твердое тело, совершающее несколько одновременных поступательных движений. Как было объяснено выше (п°49), это значит, что тело совершает относительное движение и одно или несколько переносных движений, причем все они представляют собой поступательные движения. Само тело совершает относительное поступательное движение со скоростью v по отношению к движущейся системе отсчета эта последняя движется поступательно со скоростью относительно второй системы которая, в свою очередь, находится в поступательном движении со скоростью относительно системы и т. д. При этих условиях абсолютная скорость v точки твердого тела равна геометрической сумме скоростей указанных движений и, следовательно, одна и та же для всех точек тела.

Таким образом, если твердое тело совершает несколько одновременных поступательных движений, то его абсолютное движение будет тоже поступательным. Скорость этого результирующего поступательного движения в каждый момент времени равна геометрической сумме скоростей составляющих движений.

Вместо того, чтобы рассматривать непрерывные поступательные движения, можно также рассматривать мгновенные поступательные движения, т. е. можно ограничиться рассмотрением состояния скоростей в момент t: при этом твердое тело совершает мгновенное поступательное движение по отношению к системе совершает мгновенное поступательное движение по отношению к системе и т. д. Теорема сложения скоростей

с одинаковым правом может быть применена и в этом случае. Таким образом, несколько мгновенных поступательных движений, совершающихся одновременно, приводятся к одному результирующему мгновенному поступательному движению.

58. Сложение одновременных вращательных движений.

Пусть твердое тело совершает несколько одновременных вращательных движений; рассмотрим для всех этих движений только состояние скоростей в момент t. В соответствии с этим мы будем предполагать, что в этот момент твердое тело совершает мгновенное вращение и по отношению к подвижной системе совершает вращение по отношению ко второй системе совершает вращение по отношению к системе и т. д. В этом случае говорят, что твердое тело совершает в момент t несколько одновременных вращений причем векторы угловых скоростей этих вращений могут иметь произвольное положение в пространстве.

Скорость точки твердого тела в этом случае будет равна геометрической сумме скоростей, получающихся от каждого вращения отдельно. Каждая из составляющих скоростей равна моменту вектора угловой скорости соответствующего вращения относительно рассматриваемой точки. Абсолютная скорость точки твердого тела равна поэтому результирующему моменту (относительно этой точки) системы векторов угловых скоростей составляющих вращений. Отсюда следует основная теорема:

Если рассматривать в момент t две различные системы одновременных вращений твердого тела, то для эквивалентности этих систем в смысле состояния скоростей всех точек тела в этот момент необходимо и достаточно, чтобы эти две системы вращений геометрически были представлены двумя эквивалентными системами векторов.

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1°. Мгновенные вращения вокруг осей, пересекающихся в одной точке. — Сходящиеся векторы образуют систему векторов, эквивалентную их результирующей (п° 18). Отсюда следует, что несколько одновременных мгновенных вращений вокруг осей, пересекающихся в одной точке, с точки зрения состояния скоростей всех точек твердого тела в момент t, эквивалентны одному результирующему вращению. Эту теорему можно выразить следующим образом: несколько мгновенных вращений вокруг осей, проходящих через одну точку, приводятся к одному результирующему мгновенному вращению. В этом заключается теорема о сложении вращений вокруг пересекающихся осей.

В частности, два мгновенных вращения и приводятся к одному вращению w вокруг диагонали параллелограма, построенного на угловых скоростях составляющих вращений.

Можно, очевидно, предположить, что оба составляющие вращения (относительное и переносное) совершаются в течение конечного промежутка времени (одно в подвижной системе отсчета, другое в неподвижном пространстве). Но в этом случае ось результирующего вращения перемещается в неподвижном пространстве, и потому само результирующее вращение может быть только мгновенным.

2°. Вращения вокруг параллельных осей. — Параллельные векторы, геометрическая сумма которых равна нулю, не могут приводиться к одному вектору. Наоборот, если геометрическая сумма параллельных векторов не равна нулю, они приводятся к их главному вектору, приложенному в какой-либо точке центральной оси моментов (п°26). Отсюда следует, что мгновенные вращения вокруг параллельных осей в любом числе, если геометрическая сумма их не равна нулю, приводятся к одному результирующему вращению вокруг центральной оси, значение которого равно алгебраической сумме значений составляющих вращений.

3°. Пара вращений. — Если два одновременных мгновенных вращения образуют пару, то в действительности твердое тело будет обладать мгновенным поступательным движением, скорость которого равна осевому моменту пары. В самом деле, скорость каждой точки тела равна главному моменту пары относительно этой точки, постоянному для всех точек тела и равному осевому моменту пары. Отсюда следует, что пара вращений эквивалентна поступательному движению.

Следует заметить, что это заключение остается справедливым и в случае непрерывных вращений. Твердое тело, совершающее относительное и переносное вращения, которые образуют пару, изменяющуюся с течением времени, обладает непрерывным поступательным движением. Это поступательное движение будет, вообще говоря, криволинейным, так как величина и направление скорости изменяются с течением времени.

59. Приведение нескольких одновременных мгновенных поступательных движений и вращений.

Мгновенное поступательное движение может быть заменено парой мгновенных вращений; поэтому достаточно рассмотреть произвольное число мгновенных вращений . Эта система векторов и может быть приведена или к двум векторам (п° 27), или к одному вектору, приложенному в выбранном центре приведения, и к паре (п° 25). Таким образом, любая система одновременных мгновенных поступательных движений и вращений может быть приведена по желанию или к двум вращениям, или к вращению, ось которого проходит через произвольно выбранную точку О (центр приведения), и поступательному движению, скорость которого равна скорости точки О.

Скорость поступательного движения зависит от выбора точки Оу угловая же скорость вращения при любом центре приведения одна и та же (как геометрическая сумма векторов). Если центр приведения взят на центральной оси системы векторов , то осевой момент пары получает наименьшее значение и параллелен геометрической сумме

векторов. Отсюда следует, что при приведении одновременных движений твердого тела центр приведения можно выбрать таким образом, что ось вращения будет параллельна скорости поступательного движения. Б этом случае ось вращения, являющаяся центральной осью системы, называется мгновенной осью вращения и скольжения, или осью Моцци. Мы увидим в следующем параграфе, что всякое движение твердого тела в каждый данный момент может быть разложено на мгновенные поступательное и вращательное движения и что, следовательно, только что описанное нами мгновенное движение представляет собой наиболее общее движение, которое можно сообщать твердому телу.

В частности, геометрическая сумма вращений может быть равна нулю, тогда мгновенное движение приводится к поступательному; далее, если обращается в нуль момент результирующей пары, то движение приводится к мгновенному вращению, Наконец, если геометрическая сумма вращений и момент результирующей пары равны нулю, то состояние твердого тела в момент t есть мгновенный покой.