§ 6. ПЛОСКИЕ СТЕРЖНЕВЫЕ (ИЛИ СОЧЛЕНЕННЫЕ) СИСТЕМЫ

201. Определение.

Рассмотрим систему точек лежащих в одной плоскости, из которой они не могут выйти; будем называть эти точки узлами системы.

Предполагают, что каждый узел связан по меньшей мере с двумя другими узлами твердыми стержнями, из которых каждый соединяет только два узла. Стержни, сходящиеся в одном и том же узле, связаны между собой в этой точке сочленением (шарниром), позволяющим этим стержням, если бы их другие концы были свободны, вращаться независимо один от другого вокруг узла в общей плоскости. Такую систему стержней называют сочлененной (или шарнирной) системой. Она может находиться под действием внешних сил, расположенных в ее плоскости; при этом предполагается, что силы приложены только в узлах системы.

Сочлененная система называется изменяемой, если наложенные на нее связи не обеспечивают ее жесткости, т. е. позволяют некоторым углам, образованным стержнями, изменяться. В противном случае система называется неизменяемой.

Система называется строго неизменяемой (или системой без лишних стержней), если достаточно удалить только один стержень, чтобы сделать ее изменяемой. Система, образованная тремя сторонами треугольника, очевидно, обладает этим свойством. Наоборот, если можно отбросить стержней без того, чтобы сделать систему изменяемой, то говорят, что система имеет лишних стержней. Система, образованная шестью сторонами полного четырехсторонника, имеет, на основании сказанного, один лишний стержень.

Система без лишних стержней называется мгновенноизменяемой если удаление какого-нибудь одного стержня, например позволит сообщить системе бесконечно малую деформацию, при которой расстояние изменится. Строго неизменяемая система,

вообще говоря, обладает этим свойством. Действительно, точки только в том случае могли бы, после удаления стержня, перемещаться нормально к отрезку , если бы единственное назначение стержня в системе заключалось в том, чтобы связывать два другие стержня, расположенные точно на его продолжении, или в том, чтобы связывать две неизменяемые части системы, в точности заменяющие два такие стержня. Этот исключительный случай можно оставить в стороне.

202. Равновесие шарнирной системы.

Допустим, что сочленения стержней допускают их вращение без трения, под этим подразумевают, что эти сочленения не вызывают действия моментов на стержни, а могут действовать на них только сосредоточенными силами, приложенными к концам и направленными по осям стержней.

Так как каждый из стержней должен быть в равновесии, то он должен находиться под действием двух равных и прямо противоположных сил, приложенных к его концам. Эти силы вызывают в стержне усилия натяжения или усилия сжатия, смотря по ориентации сил. Возникающие усилия натяжения или сжатия представляют собой внутренние силы системы.

Будучи неизменяемой, система может рассматриваться, как абсолютно твердое тело, и условия равновесия ее будут совпадать с условиями равновесия абсолютно твердого тела. Отсюда получаем следующую теорему:

Для равновесия сочлененной системы необходимо и достаточно, чтобы система внешних сил, приложенных к узлам, была эквивалентна нулю; другими словами, чтобы главный вектор и главный момент этих сил были равны нулю.

203. Определение усилий в стержнях. Теорема Мориса Леви (Maurice Levy).

Наибольший интерес при изучении стержневых систем представляет вопрос о том, может ли определение усилий в стержнях быть выполнено на основании принципов только геометрической статики,

т. е. при помощи только условий равновесия абсолютно твердого тела, без рассмотрения деформаций. В этом вопросе мы обязаны Морису Леви следующей теоремой:

Для того чтобы определение усилий в стержнях сочлененной системы могло быть основано только на законах геометрической статики, необходимо и достаточно, чтобы система была мгновенно изменяемой.

Почти непосредственно очевидно, что это условие необходимо. Если бы система не была мгновенно изменяемой, то существовал бы по меньшей мере один стержень который можно было бы отбросить без того, чтобы точки могли удалиться или приблизиться одна к другой при бесконечно малой деформации системы. Ясно, что при этих условиях стержень может быть подвергнут какому угодно внутреннему усилию (растяжению или сжатию) без изменения положения его концов, и, следовательно, без нарушения равновесия системы. Таким образом, условие равновесия фигуры в предположении, что она представляет собою абсолютно твердое тело, оказывается недостаточным для определения этих усилий.

С другой стороны, высказанное в теореме условие достаточно. Доказательство достаточности почти непосредственно следует из принципа виртуальных перемещений. Мы и приведем его как применение принципа виртуальных перемещений, что может быть сделано лишь в одной из следующих глав (п° 245).

204. Системы, составленные из треугольников.

Стержневая система называется просто триангулированной, если она составлена из последовательности треугольников, из которых каждый является смежным со следующим. Каждый из треугольников оказывается, таким образом, смежным с двумя другими, за исключением двух крайних; каждый крайний оказывается смежным только с одним из треугольников системы (фиг. 36). Системы, просто триангулированные, представляют собой системы, строго неизменяемые и мгновенно изменяемые, так что определение

усилий, возникающих в стержнях, не представляет затруднений.

Каждый треугольник, за исключением двух крайних, обладает одной стороной, ограничивающей многоугольную фигуру стержневой системы и принадлежащей лишь этому треугольнику, и двумя сторонами, внутренними для этой фигуры, которые являются общими для данного треугольника и одного из смежных.

Фиг. 36.

Покажем сначала, что можно определить усилие, испытываемое каким-нибудь из стержней, расположенных на границе многоугольной фигуры.

Пусть есть один из этих стержней (фиг. 36). Заметим, что отбрасывание стержня разделяет систему на две части S и соединенные друг с другом в вершине треугольника а, противолежащей стороне Неизвестное усилие, производимое стержнем на часть S системы, должно уравновесить действие внешних сил, приложенных к S и стремящихся повернуть S вокруг вершины а. Это усилие, таким образом, можег быть определено из условия, что момент его относительно а уничтожается результирующим моментом внешних сил, действующих на

После определения усилий в крайних стержнях переходят к определению усилий, испытываемых стержнями, общими для двух треугольников системы. Здесь возможны два случая.

1°. Сторона, подобная разделяет два треугольника, у которых внешние стороны встречаются на в точке с.

Тогда усилие, производимое стержнем на эту точку, известно, так как оно уравновешивает внешнюю силу, приложенную в этом узле, и действия двух, внешних стержней уже вычисленные.

2°. Внутренняя сторона, подобная отделяет два треугольника, внешние стороны которых оканчиваются на двух противоположных концах стороны . В этом случае стержневую систему делят на две части S и мысленно разрезая три стержня Из всех внешних по отношению к части S сил остается неизвестным только усилие в стержне так как усилия в двух других стержнях уже вычислены. Поэтому усилие, производимое стержнем равно и противоположно равнодействующей всех других сил.

Замечание. — В последнем случае можно одновременно определить усилия в трех стержнях так как они уравновешивают силы, прямо приложенные к S. Сначала можно привести эти приложенные силы к двум силам, проходящим через точки а и d (п° 185); тогда первую можно разложить по стержням вторую — по стержням наконец, силы, действующие по заменить одной силой, и задача, таким образом, решена. Решение задач такого рода приводит к изящным построениям, составляющим предмет графической статики,