§ 5. РАВНОВЕСИЕ ВЕРЕВОЧНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА

195. Определение.

Веревочным многоугольником называют систему материальных точек из которых каждая связана со следующей гибкой и нерастяжимой нитью (или шнуром). Эта нить представляет собой связь, поперечное сечение которой весьма мало и которая не оказывает никакого сопротивления изгибу, кроме того, длина нити между двумя любыми ее точками остается неизменной. Точки суть вершины многоугольника и находятся под действием заданных сил . Задача заключается в определении условий и фигуры равновесия этой системы.

Свойства веревочных многоугольников послужили исходной точкой для целой системы графических построений, имеющих целью решение задач статики; этот метод составляет в настоящее время содержание отдельной ветви механики, известной под названием графической статики. Мы, однако, не будем ею заниматься в этом курсе.

196. Равновесие нити. Натяжение.

Найдем сначала условия равновесия отдельной нити. Для этого предположиим, что система материальных точек, о которой шла

речь выше, сводится только к двум точкам находящимся соответственно под действием сил Равновесие может иметь место лишь в том случае, если силы образуют систему, эквивалентную нулю, т. е. если они равны и прямо противоположны. Но так как нить не сопротивляется сжатию, то необходимо, чтобы силы ее растягивали; в этом случае мы допускаем, что равновесие осуществлено. Если бы обе силы были ориентированы в обратные стороны, то равновесие могло бы иметь место лишь при условии замены нити твердым стержнем, т. е. неизменяемым телом.

Фиг. 33.

Предположим, что нить находится в равновесии. Возьмем на нити точку А (фиг. 33) и выделим мысленно часть МХА. Эта часть находится в равновесии под действием силы приложенной в и под действием оставшейся части нити . Это последнее представляет собой, следовательно, силу, равную и прямо противоположную . В то же время часть нити подвергается со стороны действию силы, равной и прямо противоположной

Эти действие и противодействие, которые две части нити оказывают друг на друга в точке А, носят название натяжения нити в этой точке; натяжение остается таким же во всякой другой точке В нити. Обозначим через действие, испытываемое частью и через — действие, испытываемое в той же точке частью нити так что

197. Равновесие веревочного многоугольника.

Для равновесия веревочного многоугольника необходимо и достаточно, чтобы каждая из его вершин находилась в равновесии под действием прямо приложенной силы

и натяжения нити или нитей, оканчивающихся в этой вершине.

Крайние вершины будут в равновесии: первая, — под действием сил вторая — под действием сил

Промежуточная вершина будет в равновесии под действием сил

Условия равновесия выражаются соответственно векторными уравнениями:

Проверка этих условий выполняется при помощи очень простого геометрического построения, известного под названием многоугольника Вариньона.

198. Многоугольник Вариньона.

Начиная от произвольной точки А (фиг. 34), строим векторы проводя каждый последующий из конца предыдущего.

Фиг. 34.

Мы получаем таким способом многоугольник прямо приложенных сил; этот многоугольник в случае равновесия должен быть замкнутым, так как результирующий вектор должен быть равен нулю.

Рассмотрим первую сторону и последовательные диагонали эти векторы представляют собой по величине и направлению последовательные натяжения так как замкнутость двойного отрезка и треугольников показывает, что геометрические равенства, написанные в конце предыдущего п°, удовлетворяются.

Для равновесия веревочного многоугольника достаточно, чтобы его стороны были соответственно параллельны натяжениям полученным указанным способом, т. е. параллельны соответствующим диагоналям силового многоугольника, и чтобы ориентация этих сил отвечала действительно имеющемуся натяжению нитей, а не сжатию. В самом деле, в этом случае каждая сторона многоугольника будет в равновесии, так как она находится под действием двух равных и прямо противоположных сил, приложенных к ее концам.

Если бы сторона многоугольника подвергалась сжатию, то равновесие могло бы иметь место лишь при условии, что нить заменена твердым стержнем.

199. Условия на концах.

Может случиться, что силы, действующие на промежуточные вершины веревочного многоугольника, заданы, крайние же вершины подчинены условиям различного характера, которые называются условиями на концах. В этом случае задача заключается в определении фигуры равновесия и реакций в точках закрепления, если таковое имеет место. Мы рассмотрим лишь два наиболее простых случая.

1°. Концы свободны и находятся под действием данных сил. — В этом случае задача решается способом, указанным в предыдущем п°. Даны все силы, многоугольник этих сил должен быть замкнутым, чтобы равновесие было возможно. Натяжение сторон, а вместе с этим и направления их определяются диагоналями многоугольника Вариньона. Веревочный многоугольник, таким образом, может быть построен.

2°. Конец прикреплен к неподвижной точке, другой конец свободен и находится под действием данной силы Неизвестная реакция в неподвижной точке должна образовать вместе с другими силами замкнутый многоугольник. Она оказывается, таким образом, известной. Мы приходим к предыдущему случаю. Веревочный многоугольник строится начиная с неподвижной точки

200. Задача о цепном мосте.

Цепной мост состоит, в основном, из горизонтального настила, подвешенного на вертикальных стержнях к канату, прикрепленному своими концами к вершинам двух вертикальных башен.

Фиг. 35.

Предполагается, что стержни находятся на одинаковых расстояниях друг от друга и несут одинаковую нагрузку, что обе точки прикрепления каната находятся на одинаковой высоте и что число стержней четное. Канат представляет собой веревочный многоугольник, фигуру равновесия которого нужно определить.

Из условия симметрии следует, что средняя сторона многоугольника должна быть горизонтальна. С другой сто роны, так как все силы, передаваемые стержнями, вертикальны, две последовательные стороны и стержень, оканчивающийся в точке их пересечения, должны лежать в одной

вертикальной плоскости, так как это одно из условий равновесия этой вершины, и потому вся фигура равновесия расположена в одной вертикальной плоскости.

Возьмем вертикальнуо плоскость, содержащую канат, за плоскость и середину О горизонтальной стороны ММХ (фиг. 35) — за начало координат; ось Ох горизонтальна и направлена по ось Оу направим по вертикали вверх.

Пусть а есть расстояние между стержнями и нагрузка на каждый из них (весом стержней и каната пренебрегаем). Обозначим через координаты последовательных вершин многоугольника. Стрела прогиба каната, т. е. высота крайней вершины над горизонтальной плоскостью, дается заранее. Пусть будут углы наклона к горизонтальной плоскости последовательных сторон координаты точки тогда будут

Обозначим через натяжение горизонтальной части нити в направлении от М к и выразим то обстоятельство, что суммы проекций на оси Ох и Оу внешних сил системы, образованной частью многоугольника, соответственно равны нулю; мы получим да уравнения:

откуда

складывая эти равенства для будем иметь:

Следовательно,

Значение получается отсюда, если положить , так как тогда выполняя это, получим:

Окончательно значения будут:

Таким образом, мы имеем координаты вершин многоугольника, и задача решена, так как, зная вершины, мы можем найти длины стержней, далее — длины сторон многоугольника, а следовательно, и натяжения различных частей каната. По этим данным мост можно построить.

Следует заметить, что все вершины многоугольника лежат на одной и той же параболе, имеющей ось Оу осью симметрии; уравнение параболы получим, исключая k из двух уравнений:

Это исключение дает:

что действительно является уравнением параболы с осью, совпадающей с Оу.