§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ В ДВИЖУЩЕМСЯ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

60. Общие положения.

Основной результат, к которому мы придем в этом параграфе, заключается в том, что распределение скоростей в твердом теле при любом его движении таково же, как и распределение моментов некоторой системы векторов относительно различных точек пространства. Чтобы обнаружить это, мы докажем, что самое общее мгновенное движение твердого тела приводится к системе трех вращений. Скорости различных точек твердого тела представляют собой при этом результирующие моменты системы трех векторов, представляющих эти вращения После того как этот результат будет установлен, изучение распределения скоростей в твердом теле сведется к изучению изменения результирующего момента некоторой системы векторов при переходе от

одной точки пространства к другой, что составляет содержание параграфа 2 введения к курсу.

Мы установим указанный результат возможно более простым способом.

Положение твердого тела определяется положением трех его точек, не лежащих на одной прямой. Отсюда следует, что перемещения всех точек тела за промежуток времени М определяются перемещениями трех его точек, не лежащих на одной прямой. Непрерывное движение твердого тела определяется поэтому также движением трех его точек, и можно предвидеть на основании сказанного, что достаточно знать скорости трех точек тела, не лежащих на одной прямой, чтобы определить скорости всех других его точек. Мы укажем здесь одну очень простую теорему, которая позволяет построить все эти скорости при помощи трех из них. Эта теорема заключается в следующем:

61. Теорема.

При движении прямой геометрическая разность скоростей двух точек ее А и В перпендикулярна к этой прямой.

Проведем через точку А прямой три оси Ахуг, движущиеся поступательно со скоростью v этой точки. В своей движении относительно этих осей точка В прямой перемещается по сфере с центром в А. Отсюда следует, что ее относительная скорость, представляющая собой не что иное, как разность v' — v, перпендикулярна к радиусу АВ этой сферы.

Эта теорема допускает другую формулировку. Если спроектировать на прямую АВ скорости двух ее точек, то получим:

Отсюда следует, что проекция v равна проекции V. Поэтому указанная теорема может быть выражена также следующим образом:

При движении прямой проекции (прямоугольные) скоростей точек на прямую одинаковы для всех точек

прямой; эту общую проекцию можно назвать скоростью скольжения прямой (или просто скольжением). Если скольжение прямой равно нулю, то скорость каждой из ее точек перпендикулярна к прямой (или равна нулю).

62. Теорема.

Скорость любой точки твердого тела определяется скоростями трех его точек А, В, С, не лежащих на одной прямой 2).

Пусть сначала D — четвертая точка твердого тела, не лежащая в плоскости ABC. Скорость точки D определяется ее проекциями на три прямые AD, BD, СО, не лежащие в одной плоскости. Эти проекции известны, так как они представляют собой скорости скольжения каждой из этих прямых, которые равны соответственно проекциям на те же прямые скоростей трех точек А, В, С. Теперь известны скорости уже четырех точек тела, не лежащих в одной плоскости, и скорость всякой новой точки М тела может быть определена, как это только что было сделано, при помощи скоростей трех из этих четырех точек, выбранных таким образом, чтобы их плоскость не проходила через точку М.

Замечание. — Эта теорема имеет большое значение для определения мгновенного движения твердого тела, так как такое движение представляет собой не что иное, как состояние скоростей всех точек тела в определенный

момент времени. Если в данный момент скорости трех точек тела, не лежащих на одной прямой, такие же, как в некотором известном мгновенном движении, то мгновенное движение тела совпадает с этим известным движением. Этот именно принцип мы будем применять при доказательстве следующих далее теорем.

63. Теорема.

Если скорости трех точек твердого тела, не лежащих на одной прямой, в некоторый момент геометрически равны между собой, то движение тела в этот момент представляет собой мгновенное поступательное движение.

Пусть v есть общая скорость трех точек; эти точки имели бы такую же скорость в поступательном движении со скоростью v, поэтому мгновенное движение твердого тела совпадает с этим поступательным движением. Высказанная теорема означает только, что все точки тела имеют одну и ту же скорость в момент t; никаких других выводов из нее сделать нельзя. В частности, если в момент t скорости трех точек, не лежащих на одной прямой, равны нулю, то скорости всех других точек тела тоже равны нулю.

64. Теорема.

Если в момент t скорости двух точек А и В твердого тела равны нулю, то мгновенное движение тела есть вращение вокруг прямой АВ.

Пусть М есть третья точка твердого тела, взятая вне прямой АВ. Скольжение каждой из двух прямых AM и ВМ равно нулю в момент t, а потому скорость точки М перпендикулярна к плоскости МАВ или равна нулю. В первом случае скорость точки М можно получить при помощи подходящего вращения тела вокруг прямой АВ. Так как три точки тела А, В и М имеют такие же скорости, как при вращении и, то это справедливо и для всех других точек тела. В том исключительном случае, когда скорость точки М в момент t равна нулю, скорости трех точек тела обращаются в нуль, и твердое тело находится в состоянии мгновенного покоя.

65. Теорема.

Если скорость точки А твердого тела равна нулю в момент t, то мгновенное движение тела есть вращение вокруг оси, проходящей через точку А.

Пусть В есть некоторая отличная от А точка твердого тела. Если скорость ее равна нулю, то движение тела есть мгновенное вращение вокруг прямой АВ в силу предшествующей теоремы, и предложение, таким образом, доказано. В противном случае скорость v точки В перпендикулярна к прямой АВ, и скольжение этой прямой равно нулю. Проведем через АВ плоскость П, перпендикулярную и возьмем третью точку Стела, не лежащую в плоскости II. Скорость v точки С перпендикулярна к АС. Проведем через АС плоскость перпендикулярную к V. Две плоскости пересекаются по прямой . Я утверждаю, что скорость любой точки твердого тела, лежащей на прямой равна нулю, и следовательно, в силу предшествующей теоремы, мгновенное движение тела есть вращение вокруг AR. В самом деле, пусть М есть некоторая точка прямой если мы проведем МВ и МС, то эти прямые будут соответственно перпендикулярны к . Скольжение каждой из трех прямых МА, MB, МС, не лежащих в одной плоскости, равно нулю, т. е. проекции скорости точки М на эти три прямые равны нулю, а следовательно, и сама скорость равна нулю.

Ось мгновенного вращения есть, таким образом, общая прямая плоскостей, проведенных через различные точки тела перпендикулярно к соответствующим скоростям этих точек.

66. Мгновенное движение свободного твердого тела в самом общем случае.

Мгновенное движение свободного твердого тела в самом общем случае разлагается на два движения: поступательное движение со скоростью, равной скорости произвольной точки О тела, и мгновенное вращение вокруг оси, проходящей через эту точку.

Проведем через точку О твердого тела три взаимно перпендикулярные оси Охуz, движущиеся вместе с точкой О поступательно со скоростью, равной скорости а точки О. Движение тела по отношению к этим осям есть мгновенное вращение вокруг оси, проходящей через точку О, так как относительная скорость этой точки равна нулю. Переносное движение есть поступательное движение со скоростью и; это и будут два составляющие движения, указанные в формулировке теоремы.

Проекции скорости какой-нибудь точки твердого тела на подвижные оси Охуz (или на параллельные им неподвижные оси) легко получить, принимая во внимание это разложение. Пусть их, — проекции скорости а точки О; — проекции мгновенной угловой скорости ). Проекции вектора V представляют собой суммы проекций скоростей поступательного и вращательного движений; поэтому, согласно формулам (1) п° 55, будем иметь:

Эти формулы дают распределение скоростей в движущемся твердом теле в момент t. Они зависят от шести параметров их, , являющихся, вообще говоря, функциями от

Мы пришли, таким образом, к заключению, высказанному в виде теоремы в начале настоящего параграфа. Так как мгновенное поступательное движение эквивалентно паре вращений, движение твердого тела может быть разложено на три вращения, из которых два составляют пару, тогда скорости точек тела представляют собой результирующие моменты системы, состоящей из трех векторов угловых скоростей.

Система, состоящая из вектора и пары (определяющих соответственно вращение и поступательное движение) может быть заменена совершенно другой системой, эквивалентной

первой системе и состоящей тоже из вектора (вращение) и пары (поступательное движение). Если точка О (центр приведения) выбрана на центральной оси, то осевой момент пары параллелен вектору. Момент пары дает скорость точки О и, следовательно, скорость поступательного движения; вектор же представляет собой угловую скорость вращения вокруг точки О. Мы получили, таким образом, следующую теорему Мощи:

Теорема. — В любой момент времени скорости всех точек свободного твердого тела таковы, как если бы тело вращалось вокруг некоторой, оси и в то же время скользило вдоль этой оси, которая называется мгновенной осью вращения и скольжения (или осью Моцци).

Примером непрерывного движения, при котором твердое тело вращается вокруг неподвижной оси и в то же время скользит вдоль этой оси, является движение винта в своей гайке. Такое движение называется поэтому винтовым движением.

Два различных непрерывных движения твердого тела называются касательными в момент если в этот момент одни и те же точки тела имеют соответственно одинаковые скорости в обоих движениях. В соответствии с этим, теорема Моцци утверждает, что в каждый момент времени существует мгновенное винтовое движение, касательное к движению твердого тела. Можно также сказать, что самое общее мгновенное движение свободного твердого тела есть винтовое. Очевидно, что в частных случаях это движение может приводиться к одному вращению, к одному поступательному движению или даже к мгновенному покою.

67. Определение оси Моцци при помощи скоростей трех точек твердого тела.

Пусть скорости трех точек А, В и С (не лежащих на одной прямой). Движение твердого тела складывается из переносного поступательного движения со скоростью v точки А и из относительного вращательного движения вокруг этой точки.

В этом относительном движении геометрические скоррсти точек В и С равны и . Следовательно, плоскости, проведенные соответственно через точки В и С перпендикулярно к каждому из двух написанных векторов, пересекаются по оси w относительного вращения. Проекция скорости v на определенное таким способом направление есть скорость скольжения и вдоль оси Моцци. Следовательно, известные разности v — и, и представляют скорости точек В и С во вращательном движении вокруг оси Моцци, а потому плоскости, проведенные соответственно через В и С перпендикулярно к каждому из этих двух векторов, пересекаются по оси Моцци.

Чтобы определить направление центральной оси и скольжение и вдоль этой оси, можно еще поступать следующим образом.

От точки О, взятой в пространстве произвольно, откладывают скорости трех точек твердого тела. Пусть А, В, С — концы этих трех векторов; стороны треугольника АВС геометрически равны разностям трех скоростей, взятых попарно. Поэтому центральная ось будет перпендикулярна к плоскости треугольника АВС, откуда следует, что скольжение и тела (проекция на центральную ось) есть перпендикуляр, опущенный из точки О на плоскость АВС.