§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ В ДВИЖУЩЕМСЯ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

92. Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку.

Рассмотрим сначала распределение ускорений в твердом теле, имеющем одну неподвижную точку. Возьмем эту точку за начало трех прямоугольных осей Oxyz. Пусть — проекции мгновенного вращения w твердого тела вокруг оси, проходящей через точку О. Проекции скорости точки М с координатами у, z тогда будут:

Проекции ускорения точки М на оси будут равны производным от этих выражений:

Направим ось z по мгновенной угловой скорости w в момент t в ту же сторону, как w; тогда будем иметь следовательно,

и предыдущие формулы для рассматриваемого момента t приводятся к виду:

(1)

Эти равенства показывают, что j есть результирующая двух векторов.

Первый вектор, проекции которого равны , есть нормальное ускорение , соответствующее непрерывному вращению w вокруг мгновенной оси, рассматриваемой как неподвижная.

Второй вектор имеет проекции на оси

Но в рассматриваемый момент равны нулю вследствие выбора осей координат; дифференцируя равенство и замечая, что получим Поэтому предыдущие проекции могут быть также написаны в виде:

Если бы мгновенная ось имела постоянное направление, то проекции касательного ускорения были бы - . Отсюда следует, что второй вектор отличается, вообще говоря, от касательного ускорения, вызванного вращением и в предположении, что оно непрерывное; он совпадает с этим касательным ускорением только в том частном случае, когда

Второй вектор в выражении ускорения допускает простое истолкование. Если вектор угловой скорости отложить от точки О, то скорость конца этого переменного вектора будет иметь проекциями . Отложим от точки О вектор геометрически равный указанной скорости; тогда второй вектор в выражении ускорения будет равен моменту относительно точки М определенного таким образом вектора, т. е. векторному произведению

93. Распределение ускорений в свободном твердом теле.

Рассмотрим теперь произвольное движение свободного твердого тела. Пусть О — какая-нибудь точка тела.

Проведем через нее три подвижные оси, движущиеся поступательно. Тогда движение твердого тела может быть разложено на движение по отношению к подвижным осям Oxyz и переносное, которое будет поступательным и определяется движением точки О тела. Сложное центробежное ускорение равно нулю в случае поступательного переносного движения; поэтому ускорение точки М тела равно геометрической сумме относительного ускорения, равного ускорению при движении тела вокруг неподвижной точки, и переносного ускорения, представляющего собой ускорение точки О. Пусть -ускорение точки О, и — проекции на оси переменного вращения тела; проведем ось z параллельно оси вращения в рассматриваемом ее положении и в сторону вектора о): тогда проекции абсолютного ускорения точки М (с координатами будут:

Это ускорение равно, таким образом, сумме трех ускорений: ускорения точки О тела, выбранной произвольно, нормального ускорения при непрерывном вращении вокруг оси, параллельной вектору и проходящей через О, наконец, третьего ускорения с проекциями интерпретацию которого мы дали в предшествующем n°.

Если направление вектора остается неизменным, то и q постоянно равны нулю, и третье ускорение совпадает с касательным ускорением, получающимся при вращении. Отсюда имеем следующую теорему:

Если вектор мгновенной угловой скорости остается параллельным постоянному направлению, то ускорение любой точки тела равно геометрической сумме ускорения точки О тела, взятой произвольно, и ускорений касательного и нормального в непрерывном вращении вокруг точки О.

94. Центр ускорений.

В движущемся твердом теле, вообще говоря, существует точка, ускорение которой равно нулю. Эта точка определяется следующей системой уравнений, вытекающей из системы (2):

Система (3) будет определенной, если ее детерминант

отличен от нуля, что имеет место в общем случае. Таким образом, если А отличен от нуля, то существует единственная точка тела, ускорение которой равно нулю. Эту точку называют центром ускорений.

Предположим, что мы выбрали подвижные оси Oxyz таким образом, что точка О в данный момент совпадает с центром ускорений; тогда w равно нулю, и уравнения (2) совпадут с уравнениями относящимися к случаю, когда точка О неподвижна. Отсюда получаем следующую теорему:

В каждый момент времени в движущемся твердом теле существует такая точка, что, с точки зрения ускорений, движение тела происходит так, как если бы оно совершало переменное вращение вокруг этой точки, рассматриваемой как неподвижная. Эта точка, изменяющая с течением времени свое положение в теле, есть центр ускорений.

95. Исключительный случай при определении центра ускорений.

Предыдущая теорема и существование единственного центра ускорений могут иметь исключение лишь в том случае, когда определитель А обращается в нуль в рассматриваемый момент

Для этого нужно, чтобы мы имели:

Первый случай. Пусть в момент t, тогда уравнения (3) будут несовместны, и мгновенный центр ускорений, вообще говоря, не существует. Исключение представит только тот случай, когда выполняется условие:

Это условие показывает, что если вектор w откладывается от неподвижной точки, то скорость его конца перпендикулярна к ускорению некоторой точки тела (которая в остальном может быть какой угодно). Если условие выполняется, то уравнения (3) представляют собой уравнения прямой, параллельной, все точки которой суть центры ускорений.

Если постоянно равно нулю, то тоже равны нулю постоянно, и уравнения (3) имеют следствием Центр ускорений может существовать при таких условиях лишь в том случае, когда движение твердого тела приводится к равномерному поступательному, что очевидно a priori.

Второй случай. Предположим, что вектор не равен нулю в момент t, но что Уравнения (3) приводятся к виду:

Так как последнее равенство, вообще говоря, не имеет места, то центра ускорений не существует. Центр ускорений существует лишь в том случае, когда удовлетворяется уравнение в этом случае имеется бесконечное число центров, расположенных на прямой, которая определяется двумя уравнениями, предшествующими этому последнему уравнению. Эта прямая параллельна оси следовательно, вектору а также и (так как p' = q' = 0).

Если имеем постоянно то скорость конца вектора (приложенного в неподвижной точке) параллельна самому вектору имеющему в данном случае неизменное направление. Центр ускорений существует лишь в том случае, когда т. е. когда скольжение вдоль оси Моцци равномерное. Такое скольжение не оказывает влияния на ускорение. Ускорения в этом случае будут такими же, как при цилиндрическом качении тела: мы приходим к случаю движения плоской фигуры в своей плоскости.