§ 8. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ РАССТОЯНИЮ

Когда на точку действует центральная сила, то из теоремы площадей (п° 121) следует, что движение ее происходит в некоторой плоскости. Возьмем эту плоскость за плоскость центр силы — за начало координат, тогда число уравнений движения сведется к двум.

136. Случай притяжения.

Пусть — радиус-вектор движущейся точки и х, у — ее координаты, которые могут быть прямоугольными или косоугольными. Величина ускоряющей силы (предполагаемая пропорциональной будет , где постоянная. Проекции силы на оси получим, замечая, что ее направляющие косинусы равны по величине и противоположны по знаку направляющим косинусам радиуса-вектора. Поэтому будет

Следовательно, обозначая точками производные по времени, получим дифференциальные уравнения движения в виде:

Обе переменные х и у удовлетворяют одному и тому же линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами без правой части. Не входя здесь в подробности общей теории этого уравнения, заметим, что значения удовлетворяют, как это видно с первого взгляда, уравнению поэтому решение, зависящее от двух произвольных постоянных а и b, получим, полагая

Это решение есть общий интеграл уравнения, так как оно позволяет, распоряжаясь соответствующим образом

неопределенными величинами а и b, выбрать произвольно начальные значения

Значение у получается таким же способом. Обозначая через и две новые постоянные, будем иметь:

Четыре постоянные определяются при помощи начальных условий. Чтобы упростить вычисления, проведем ось через начальное положение точки (тогда ), ось у — параллельно ее начальной скорости, предполагая, что эта скорость направлена под углом к радиусу-вектору (тогда ). Мы получим условия:

Конечные уравнения движения приводятся к виду:

Это есть не что иное, как параметрические уравнения эллипса, отнесенного к двум сопряженным диаметрам, центр которого совпадает с центром притяжения. Движение точки периодическое. Продолжительность обращения точки по этому эллипсу, или период есть Следует заметить, что период обращения совершенно не зависит от начальных данных, а следовательно, и от размеров эллипса, описываемого вокруг центра притяжения; он зависит лишь от постоянной притяжения

Если начальная скорость равна нулю или направлена по оси то движение будет прямолинейным и приведется к колебаниям вдоль оси х.

Мы возвратимся к этому случаю далее (п° 138).

Рассматриваемая задача имеет особый интерес, так как она дает закон малых колебаний, происходящих под действием упругих сил. В этом случае предполагают, что сила, которая действует на точку, выведенную из своего положения равновесия, пропорциональна смещению и стремится

возвратить точку в положение равновесия. Это закон, обычно применяемый при изучении колебательных движений.

137. Случай отталкивания.

Проекции ускоряющей силы в случае отталкивания по величине такие же, как в случае притяжения, но имеют обратные знаки. Это сводится к замене через — Уравнения движения имеют вид:

Значения представляют собой частные решения первого уравнения. Как и в предыдущем случае, общее решение получим, составляя линейную комбинацию двух частных решений. Пусть — четыре постоянных интегрирования, тогда общие решения предшествующих уравнений будут:

Постоянные определяются начальными данными.

Проведем оси так же, как в предыдущем случае: ось — через начальное положение движущейся точки, ось у — параллельно начальной скорости; тогда будем иметь:

отсюда

Уравнения движения в конечной форме запишутся так:

Они дают парамзтрическое представление траектории. Траектория есть гипербола, отнесенная к двум сопряженным диаметрам. Исключая t, получим уравнение этой перболы в виде:

Между этим случаем и предыдущим имеется коренное различие. В случае притяжения движущаяся точка остается сколь угодно близко от центра притяжения, лишь бы начальное расстояние и начальная скорость были достаточно малыми. В случае отталкивания, каковы бы ни были эти начальные данные, движущаяся точка все более и более отклоняется от центра отталкивания и удаляется в бесконечность.