ГЛАВА IX. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ

210. Определение центра тяжести системы материальных точек.

Рассмотрим систему материальных точек . Обозначим через массу и через — прямоугольные или косоугольные координаты точки

Приложим к каждой из точек вектор величины тк и направим все эти векторы параллельно друг другу в одну сторону.

Центр этих параллельных векторов есть точка Г, не зависящая от направления векторов, координаты ее определяются формулами

где М есть общая масса системы, а суммирование распространяется на все точки системы.

Точка, определенная уравнениями (1), называется центром тяжести системы.

Три уравнения системы (1), определяющие , очевидно, могут быть соединены в одно векторное уравнение. Если обозначим через векторную координату точки и через Г векторную координату центра тяжести, то это векторное уравнение получит вид:

Опреаеление центра тяжести предполагает, как мы видим, введение определения массы, и вследствие этого теория

центра тяжести относится столько же к динамике, сколько и к статике. Между тем, само название «центр тяжести» выражает статическое свойство этой точки, имеющее место лишь при весьма ограничительных условиях: рассматриваемое тело должно быть сравнительно небольших размеров и находиться под действием силы тяжести на поверхности Земли.

Действительно, при этом предположении можно допустить, что ускорение g силы тяжести постоянно, так что вес материальной точки связан с ее массой формулой

Эта формула показывает, что веса пропорциональны массам. Центр тяжести твердого тела совпадает поэтому с центром параллельных векторов, изображающих веса всех точек тела, действие же тяжести на тело сводится к полному весу тела, приложенному в его центре тяжести, согласно теории приведения параллельных сил, приложенных к твердому телу (п° 188).

211. Определение центра тяжести при помощи статических моментов.

Уравнениям (1) можно дать геометрическую интерпретацию, позволяющую определить центр тяжести системы материальных точек независимо от какой-либо системы осей.

Назовем статическим моментом массы , сосредоточенной в точке М, относительно плоскости Р произведение массы на ее расстояние от плоскости, считаемое положительным в одну сторону и отрицательным в другую сторону от плоскости. Если принять во внимание то, что координаты точки, в прямоугольной или косоугольной системе осей, находятся в постоянном отношении к ее расстояниям от координатных плоскостей, то легко видеть, что уравнения (1) выражают следующую теорему.

Теорема. — Если всю массу материальной системы сосредоточить в ее центре тяжести, то статический момент, этой массы относительно какой-нибудь

плоскости равен сумме статических моментов относительно той же плоскости масс всех точек системы.

Центр тяжести данной материальной системы может быть определен применением этой теоремы к трем плоскостям, образующим трехгранный угол. Из теоремы следует, что если указанное в ней свойство оправдывается для трех таких плоскостей, то оно будет иметь место и для любой плоскости.

Можно, впрочем, убедиться в этом непосредственно. Если выбрать три первые плоскости в качестве координатных, то для центра тяжести соотношения (1) выполнены по определению. Всякая новая плоскость Р определяется уравнением

левая часть уравнения пропорциональна расстоянию точки от плоскости Р. Из уравнений (1) можем получить соотношение

в точности выражающее теорему о статическом моменте системы относительно плоскости Р.

212. Теорема.

Если вся материальная система расположена с одной стороны от некоторой плоскости Р. то центр тяжести ее находится по ту же сторону от плоскости. Поэтому центр тяжести материальной системы находится внутри всякой выпуклой поверхности, заключающей в себе всю данную систему.

В самом деле, статические моменты относительно плоскости Р всех точек системы имеют одинаковые знаки, поэтому момент центра тяжести должен иметь тот же знак. А это значит, что центр тяжести находится с той же стороны плоскости Р, как все точки системы.

213. Распределительное свойство центров тяжести.

Если разделить систему материальных точек на части S и то ее центр тяжести есть в то же время

центр тяжести двух масс систем помещенных соответственно в центрах тяжести этих двух систем.

Это свойство есть следствие уравнений (I). Будем отмечать обозначения одним или двумя штрихами, смотря по тому, относятся ли они к частным системам S или тогда получим соотношение

и другие аналогичные, что и доказывает теорему.