§ 5. НЕПРЕРЫВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

72. Непрерывное движения тела параллельно неподвижной плоскости.

Если все точки твердого тела перемещаются параллельно неподвижной плоскости (Р), то говорят, что движение твердого тела параллельно этой плоскости. В этом случае сечение тела плоскостью (Р) есть плоская фигура (связанная с телом), движущаяся в своей плоскости (фиг. 13). Движение сечения (S) определяет

движение всего тела, так как мы покажем сейчас, что всякая точка М тела движется так же, как ее проекция М, на плоскость (Р). Прямая, проектирующая М на плоскость сечения (S), связана с твердым телом и перпендикулярна к неподвижной плоскости (Р); следовательно, она движется параллельно самой себе, и все ее точки описывают одинаковые траектории с равными скоростями. Значит, движение основания этого, перпендикуляра в плоскости сечения (S) определяет движение всей прямой. Отсюда выводим следующие заключения:

Фиг. 13.

1°. Если движение сечения (5) в своей плоскости есть мгновенное поступательное, то движение твердого тела будет также мгновенным поступательным.

2°. Если движение сечения (S) в своей плоскости есть мгновенное вращение вокруг центра С, то движение твердого тела будет мгновенным вращением вокруг перпендикуляра, восставленного к плоскости сечения в точке С. Этот перпендикуляр представляет собой мгновенную ось вращения тела.

Рассмотрим теперь непрерывное движение твердого тела в течение некоторого промежутка времени. Оставим в стороне случай вращения вокруг неподвижной оси и предположим, что мгновенное движение ни в какой момент времени не вырождается в поступательное движение. В таком случае можно дать представление непрерывного движения твердого тела, аналогичное тому, которое мы только что рассмотрели для плоской фигуры. Движение сечения (5) можно осуществить, заставляя кривую неизменно связанную с сечением, катиться по неподвижной кривой так что точка касания будет совпадать с мгновенным

центром вращения С сечения. Мгновенная ось вращения твердого тела есть перпендикуляр к этому сечению, восставленный в точке С (фиг. 14). Она перемещается параллельно самой себе в пространстве и в теле и описывает два цилиндра, перпендикулярные к плоскости (Р): неподвижный цилиндр, имеющий основанием кривую (неподвижный аксоид), и движущийся цилиндр, связанный с твердым телом и имеющий основанием кривую (подвижный аксоид). Эти цилиндры касаются друг лруга в каждый момент вдоль общей образующей, представляющей собой мгновенную ось, а нормальные сечения обоих цилиндров, касательные друг к другу, катятся без скольжения одно по другому. Отсюда следует, что движущийся цилиндр будет катиться без скольжения по неподвижному цилиндру. Таким образом, движение твердого тела, параллельное неподвижной плоскости, есть цилиндрическое качение.

Фиг. 14.

73. Движение твердого тела около неподвижной точки.

Если твердое тело закреплено в одной точке О, то скорость этой точки постоянно равна нулю, поэтому движение тела в каждый момент времени представляет собой мгновенное вращение вокруг оси OR, проходящей через точку О (п° 65). Если движение тела не есть непрерывное вращение вокруг неподвижной оси, мгновенная угловая скорость постоянно изменяется по направлению и по величине как в неподвижном пространстве, так и в движущемся теле. Геометрическое место мгновенных осей в пространстве есть коническая поверхность с Еершиной в точке О (неподвижный аксоид), геометрическое место этих осей в теле есть другая коническая поверхность с вершиной в той же точке (подвижный аксоид). В каждый момент времени

мгновенная ось OR представляет собой общую образующую этих двух конусов (фиг. 15). Если пересечь оба конуса одной сферой с центром в О, то сечения будут иметь в каждый момент общую точку С. Как и в случае плоской фигуры, можно доказать, что подвижное сечение постоянно касается неподвижного сечения в точке С и катится без скольжения по этой последней кривой. Следовательно, оба конуса постоянно касаются друг друга, и один из них катится по другому. Поэтому самое общее непрерывное движение твердого тела с одной неподвижной точкой можно осуществить, заставляя катиться один по другому два конуса, имеющих общую вершину в неподвижной точке; один из конусов неподвижен в пространстве, другой движется и связан с телом, увлекая его с собой в своем движении. Таким образом, самое общее непрерывное движение твердого тела около неподвижной точки есть коническое качение.

Фиг. 15.

74. Самое общее непрерывное движение свободного твердого тела.

Мы установили уже выше (п° 66) теорему Моцци;

Во всякий момент времени скорости всех точек свободного твердого тела таковы, как если бы оно вращалось вокруг некоторой оси и в то же время скользило вдоль нее; эта ось называется мгновенной осью вращения и скольжения, или осью Моцци.

Если бы такое движение было непрерывным, то оно было бы подобно движению винта в своей гайке. Оно называется поэтому винтовым движением. В соответствии

с этим теорему Моцци можно сформулировать так: самое общее мгновенное движение свободного твердого тела есть винтовое движение (мгновенное).

Конечно, в общем случае лишь скорости точек твердого тела в каждый момент будут такими же, как в некотором винтовом движении, само же движение тела не будет винтовым, так как мгновенная ось вращения и скольжения не остается неподвижной (как в случае винта), а непрерывно изменяет свое положение в пространстве.

Мгновенная ось описывает в этом случае в пространстве неподвижную поверхность; в то же время она описывает в теле поверхность, увлекаемую движением последнего. Эти две линейчатые поверхности касаются в каждый момент времени одна другой вдоль мгновенной оси, представляющей собой их общую образующую в этот момент. Чтобы осуществить непрерывное движение твердого тела в общем случае, нужно заставить подвижную поверхность, связанную с телом, катиться по неподвижной поверхности и одновременно скользить вдоль образующей соприкосновения.

75. Качение и верчение неизменяемой подвижной поверхности по неподвижной поверхности.

Предположим, что при движении твердого тела некоторая неизменяемая поверхность 5, связанная с телом, все время касается неподвижной поверхности в одной точке А, которая может при этом изменять свое положение от момента к моменту на каждой из этих поверхностей. В этом случае говорят, что подвижная поверхность S катится и вертится по поверхности , если только скорость точки А поверхности S, совпадающей с точкой касания, в каждый момент равна нулю.

Как известно, твердое тело обладает в этой случае мгновенным вращением о) вокруг оси, проходящей через точку А тела, скорость которой равна нулю. Если вектор мгновенной угловой скорости направлен по нормали к поверхности то говорят, что поверхность вертится на поверхности вектор w называется угловой скоростью

верчения, или верчением. Если же вектор лежит в общей касательной плоскости к двум поверхностям, то говорят, что поверхность катится по поверхности называется угловой скоростью качения, или качением.

В общем случае вектор направлен по наклонной к поверхности его нормальная составляющая представляет собой угловую скорость верчения, а касательная составляющая — угловую скорость качения.

Если точка касания А перемещается по одной из поверхностей, то она необходимо перемещается и по другой поверхности и описывает на обеих поверхностях дуги, постоянно равные друг другу по длине. Это можно доказать при помощи известного рассуждения (п° 70). Таким образом, точка А описывает две кривые: одну на поверхности S, другую на поверхности 6; при движении поверхности эти кривые остаются касательными между собой и катятся одна по другой без скольжения.

Рассмотрим теперь самый общий возможный случай движения, когда подвижная поверхность остается касательной к неподвижной поверхности Скорость точки А поверхности S, совпадающей с точкой касания обеих поверхностей, не будет уже равна нулю: пусть и — эта скорость. Она лежит в общей касательной плоскости, так как в противном случае поверхности отделились бы друг от друга. Мгновенное движение поверхности разлагается в этом случае на поступательное движение со скоростью и и на вращение «а вокруг оси, проходящей через точку А. Касательная и нормальная составляющие вектора (о и в этом случае называются качением и верчением поверхности S по скорость же и точки касания получает название скольжения S по