§ 2. ТЕОРИЯ ПРОСТОГО МАЯТНИКА

150. Движение тяжелой точки по вертикальной окружности.

В качестве приложения предшествующей теории рассмотрим движение тяжелой точки М, вынужденной

двигаться без трения по вертикальной окружности с центром О и с радиусом Движущаяся точка, находящаяся в этих условиях, представляет собой то, что называют простым, или математическим маятником.

Пусть точка М помещена в начальное положение и предоставлена, без начальной скорости, действию одной только силы тяжести.

Примем за ось горизонтальный диаметр, а за ось — вертикальный диаметр с ориентацией в сторону действия силы тяжести. Уравнение движения дается интегралом живой силы, т. е. в этом случае теоремой Торичелли.

Это уравнение позволяет предвидеть без всякой интеграции, каков будет характер движения. Предположим, что начальное положение не находится на вертикальном диаметре окружности, так что не есть положение равновесия (так как нормальная реакция не прямо противоположна весу). Точка М будет поэтому спускаться вдоль окружности со скоростью, возрастающей вместе с , до самого нижнего положения у основания вертикального диаметра, где v имеет наибольшее значение. Потом точка начнет годниматься по окружности с другой стороны от рертикального диаметра с убывающей скоростью до того момента, когда она достигнет своей начальной высоты в точке С, где ее скорость обратится в нуль. В этом положении не будет равновесия; точка М будет поэтому двигаться в обратном направлении, пока она не возвратится в свое начальное положение , где ее скорость снова обратится в нуль. В этот момент положение будет точно такое же, как в начале движения, поэтому далее весь процесс повторится. Таким образом, точка будет совершать колебательное движение в ту и другую сторону от Вертикали. Так как скорость проходит через одни и те же значения на одних и тех же уровнях, то продолжительность колебаний будет неизменной. Колебательное движение будет поэтому периодическим

Движение, которое точка должна совершить, чтобы перейти из начального положения в симметричное, положение С и возвратиться оттуда в начальное положение-представляет собой полное колебание маятника. Продолжительность этого движения, которую мы будем обозначать через называется периодом полного колебания. Найдем половину Т периода, т. е. время, необходимое для перехода из положения в симметричное положение. Этот промежуток равен удвоенному времени, необходимому для того, чтобы точка поднялась из самого низкого положения В до своего начального уровня С.

Пусть 0 есть угол между движущимся радиусом ОМ и вертикальным диаметром ОВ, считаемый положительным по направлению к ОС; пусть а — наибольшее значение О при котором ОМ совпадает с ОС, т. е. начальное отклонение. Тогда имеем:

Интеграл живых сил получает вид:

откуда следует:

Знак + нужно брать в том случае, когда имеют одинаковые знаки, т. е. когда при возрастании t возрастает и , что имеет место при движении из в С. Знак — нужно брать, когда убывает при возрастании t, что имеет место при движении в обратную сторону. Рассмотрим движение от А к С; мы должны при этом взять знак . В этой фазе движения t возрастает на изменяется от до а. Поэтому, интегрируя

предыдущее уравнение для этой фазы движения, получим

так как можно написать

Положим для упрощения

тогда

Выполняя эти подстановки, получим

Интеграл, входящий в формулу (2), называется полным эллиптическим интегралом. Он не может быть выражен в конечной форме при помощи элементарных функций; существуют таблицы, которые дают его значения для различных значений параметра . Если угол а очень мал, т. е. если амплитуда колебаний незначительна, то можно легко получить приближенное значение интеграла. Заметим,

что точное значение интеграла лежит между двумя его значениями, которые мы получим, заменяя последовательно двумя его крайними значениями 0 и 1. Таким способом найдем:

Если k очень мало, то эти два граничных значения для Т очень мало отличаются друг от друга, и мы можем положить

Эта формула дает значение для половины периода бесконечно малого колебания маятника.

Значение Т можно выразить сходящимся рядом по положительным степеням . По формуле бинома (ряд сходится, так как имеем:

Подставляя это разложение в интеграл Лежандра (2) и интегрируя его почленно, получим:

Если пренебречь членами четвертого порядка и выше, то значение полупериода приближенно выражается следующей формулой:

Такое приближение почти всегда оказывается достаточным.

151. Свойства простого маятника.

Простой маятник состоит из тяжелой материальной точки М, подвешенной к неподвижной точке О при помощи невесомого стержня (или нити) неизменяемой длины. Стержень отклоняют от

вертикали и предоставляют маятник действию силы тяжести. Точка М будет при этом описывать окружность в вертикальной плоскости с центром О согласно законам, полученным выше. Половина периода полного колебания определится формулой (2), где - длина маятника и а — начальное отклонение стержня от вертикали. Если это отклонение очень мало, то продолжительность Т полупериода с достаточной точностью определится формулой (3) и не будет зависеть от начального отклонения (т. е. от амплитуды колебаний). Это сеойство, которое называют изохронизмом малых колебаний, служит основанием для применения маятника к регулированию хода часов.

152. Измерение g.

Из формулы (3) получаем следующее выражение для

Эта формула дает средстго для точного определения ускорения g силы тяжести в каждом определенном месте. С этой целью в данном месте наблюдают колебания маятника длиной l и определяют число колебаний в заданный промежуток времени . Продолжительность половины полного колебания равна следовательно,

Таким именно способом было измерено изменение силы тяжести с широтой места на земной поверхности.

153. Замечание. Маятник на одной и двух нитях.

Если тяжелая точка М подвешена к неподвижной точке О одной нитью, то в действительности она будет двигаться по поверхности сферы с центром О, и движение ее будет представлять собой движение простого маятника лишь в том случае, когда начальная скорость равна нулю (как мы это предполагали) или, при более общей предположении, лежит в вертикальной плоскости, проходящей

через О. При всяком другом предположении точка М будет описывать пространственную сферическую кривую, и движение ее будет представлять собой движение сферического маятника, который мы рассмотрим несколько далее.

Чтобы осуществить движение простого маятника при всяких условиях, т. е. чтобы обеспечить движение точки М в вертикальной плоскости, можно подвесить точку на двух нитях одинаковой длины к двум точкам О и О, лежащим на горизонтальной прямой. Такое приспособление вынуждает точку двигаться в вертикальной плоскости, нормальной к отрезку в его середине. По этой именно причине простой маятник называют иногда маятником на двух нитях, в отличие от сферического маятника, который представляет собой маятник на одной нити.